Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka, vzorec a plocha, výpočet



rovnoramenný trojuholník Je to trojstranný mnohouholník, kde dve z nich majú rovnaké meranie a tretia strana iné meranie. Táto posledná strana sa nazýva základňa. Vzhľadom na túto charakteristiku dostala toto meno, čo v gréčtine znamená "rovnaké nohy".

Trojuholníky sú polygóny považované za najjednoduchšie v geometrii, pretože sú tvorené tromi stranami, tromi uhlami a troma vrcholy. Sú to tie, ktoré majú najmenší počet strán a uhlov vzhľadom na ostatné polygóny, avšak jeho použitie je veľmi rozsiahle.

index

  • 1 Charakteristika rovnoramenných trojuholníkov
    • 1.1 Komponenty
  • 2 Vlastnosti
    • 2.1 Vnútorné uhly
    • 2.2 Súčet strán
    • 2.3 Súladné strany
    • 2.4 Zhodné uhly
    • 2.5 Výška, medián, bisector a bisector sú zhodné
    • 2.6 Relatívne výšky
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter sa zhodujú
  • 3 Ako vypočítať obvod?
  • 4 Ako vypočítať výšku?
  • 5 Ako vypočítať plochu?
  • 6 Ako vypočítať základňu trojuholníka?
  • 7 Cvičenia
    • 7.1 Prvé cvičenie
    • 7.2 Druhé cvičenie
    • 7.3 Tretie cvičenie
  • 8 Referencie

Charakteristika rovnoramenných trojuholníkov

Rovnoramenný trojuholník bol klasifikovaný pomocou miery jeho strán ako parameter, pretože dve jeho strany sú zhodné (majú rovnakú dĺžku).

Podľa amplitúdy vnútorných uhlov sú rovnoramenné trojuholníky klasifikované ako:

  • Obdĺžnikový rovnoramenný trojuholníkdve strany sú si rovné. Jeden z jeho uhlov je rovný (90 °)alebo) a ostatné sú rovnaké (45)alebo každý z nich)
  • Isosceles tupý uholníkdve strany sú si rovné. Jeden z jeho uhlov je tupý (> 90 °)alebo).
  • Rovnomerný ostrý trojuholníkdve strany sú si rovné. Všetky jeho uhly sú ostré (< 90alebo), kde dve majú rovnaké opatrenie.

komponenty

  • Medián: je čiara, ktorá vychádza zo stredu jednej strany a dosahuje opačný vrchol. Tri mediáni sa zhodujú v bode nazývanom centroid alebo centroid.
  • Sektor: je lúč, ktorý rozdeľuje uhol každého vrcholu na dva uhly rovnakej veľkosti. Preto je známa ako os symetrie a tento typ trojuholníkov má len jeden.
  • Mediatrix: je segment kolmý na stranu trojuholníka, ktorý vzniká v strede tohto trojuholníka. V trojuholníku sú tri mediatrie a sú v bode zvanom circuncentro.
  • Výška: je čiara, ktorá vedie od vrcholu k strane, ktorá je opačná a tiež táto čiara je kolmá na túto stranu. Všetky trojuholníky majú tri výšky, ktoré sa zhodujú v bode nazývanom ortocenter.

vlastnosti

Isoscelesove trojuholníky sú definované alebo identifikované, pretože majú niekoľko vlastností, ktoré ich reprezentujú, pochádzajú z teorémov navrhnutých veľkými matematikmi:

Vnútorné uhly

Súčet vnútorných uhlov je vždy rovný 180alebo.

Súčet strán

Súčet hodnôt dvoch strán musí byť vždy väčší ako miera tretej strany, a + b> c.

Súladné strany

Isosceles trojuholníky majú dve strany s rovnakou mierou alebo dĺžkou; to znamená, že sú zhodné a tretia strana sa od nich líši.

Zhodné uhly

Isoscelesove trojuholníky sú známe aj ako izo-uhlové trojuholníky, pretože majú dva uhly, ktoré majú rovnaké rozmery (kongruenty). Tie sú umiestnené na spodnej strane trojuholníka, naproti stranám, ktoré majú rovnakú dĺžku.

Kvôli tomu teorém, ktorý stanovuje, že:

"Ak má trojuholník dve kongruentné strany, uhly oproti týmto stranám budú tiež zhodné." Ak je teda trojuholník rovnoramenný, uhly jeho základov sú zhodné.

príklad:

Nasledujúci obrázok znázorňuje trojuholník ABC. Sledovaním jeho osi od vrcholu uhla B k základni je trojuholník rozdelený na dva trojuholníky, ktoré sa rovnajú BDA a BDC:

Uhol vrcholu B bol tiež rozdelený na dva rovnaké uhly. Bisector je teraz stranou (BD) spoločnou medzi týmito dvoma novými trojuholníkmi, zatiaľ čo strany AB a BC sú zhodné strany. Takže máte prípad kongruenčnej strany, uhla, strany (LAL).

To ukazuje, že uhly vrcholov A a C majú rovnaké rozmery, rovnako ako je možné tiež ukázať, že keďže trojuholníky BDA a BDC sú zhodné, strany AD a DC sú tiež zhodné..

Výška, medián, bisector a bisector sú zhodné

Čiara, ktorá je nakreslená z vrcholu naproti základni k stredu základne rovnoramenného trojuholníka, je zároveň výškou, stredom a bisectorom, ako aj bisectorom vzhľadom na opačný uhol základne..

Všetky tieto segmenty sa zhodujú v jednom, čo ich reprezentuje.

príklad:

Nasledujúci obrázok znázorňuje trojuholník ABC so stredným bodom M, ktorý rozdeľuje základňu na dva segmenty BM a CM.

Keď nakreslíte segment z bodu M do opačného vrcholu, podľa definície dostanete strednú hodnotu AM, ktorá je relatívna k vrcholu A a strane BC.

Vzhľadom k tomu, že segment AM delí trojuholník ABC na dva rovnaké trojuholníky AMB a AMC, znamená to, že prípad bočnej, uhlovej, bočnej kongruencie bude prijatý, a preto bude AM aj bisector BÂC.

To znamená, že bisector bude vždy rovný mediánu a naopak.

AM segment tvorí uhly, ktoré majú rovnaké rozmery pre AMB a AMC trojuholníky; to znamená, že sú doplnkové takým spôsobom, že opatrenie každého z nich bude:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180alebo

2 * Med. (AMC) = 180alebo

Med. (AMC) = 180alebo ÷ 2

Med. (AMC) = 90alebo

Môže byť známe, že uhly tvorené AM segmentom vzhľadom na základňu trojuholníka sú rovné, čo znamená, že tento segment je úplne kolmý na základňu..

Preto predstavuje výšku a bisector, s vedomím, že M je stred.

Preto priamka AM:

  • Predstavuje výšku BC.
  • Je to médium.
  • Je obsiahnutý v mediatrixi BC.
  • Je to polia vrcholového uhla Â

Relatívne výšky

Výšky, ktoré sú relatívne k rovným stranám, majú tiež rovnaké rozmery.

Keďže rovnoramenný trojuholník má dve rovnaké strany, ich dve príslušné výšky budú tiež rovnaké.

Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter sa zhodujú

Pretože výška, medián, bisector a bisector vzhľadom na základňu sú reprezentované súčasne tým istým segmentom, orthocenter, centrocentrický stimulátor a circumcenter budú kolineárne body, to znamená, že budú na tej istej čiare:

Ako vypočítať obvod?

Obvod polygónu sa vypočíta súčtom strán.

Rovnako ako v tomto prípade má rovnoramenný trojuholník dve strany s rovnakým meradlom, jeho obvod sa vypočíta podľa tohto vzorca:

P = 2*(strana a) + (strana b).

Ako vypočítať výšku?

Výška je čiara kolmá na základňu, delí trojuholník na dve rovnaké časti, pričom sa rozširuje na opačný vrchol.

Výška predstavuje opačnú nohu (a), polovicu základne (b / 2) k priľahlej vetve a stranu „a“ predstavuje preponku.

Pomocou Pythagorovej vety môžete určiť hodnotu výšky:

na2 + b2 = C2

kde:

na2 = výška (h).

b2 = b / 2.

C2 = strana a.

Nahradením týchto hodnôt v Pytagorovej vete a odstránením výšky máme:

hod2 + (b / 2)2 = na2

hod2 + b2 / 4 = na2

hod2 = na2 - b2 / 4

h = √ (na2 - b2 / 4).

Ak je známy uhol tvorený zhodnými stranami, výška sa môže vypočítať podľa tohto vzorca:

Ako vypočítať plochu?

Plocha trojuholníkov sa vždy vypočíta rovnakým vzorcom, vynásobením základne výškou a delením dvoma:

Sú prípady, keď sú známe iba merania dvoch strán trojuholníka a uhol medzi nimi. V tomto prípade je pre určenie plochy potrebné použiť goniometrické pomery:

Ako vypočítať základňu trojuholníka?

Keďže rovnoramenný trojuholník má dve rovnaké strany, na určenie hodnoty jeho základne je potrebné poznať aspoň mieru výšky alebo jedného z jej uhlov..

Znalosť výšky Pythagorovej vety sa používa:

na2 + b2 = c2

kde:

na2 = výška (h).

C2 = strana a.

b2 = b / 2, nie je známa.

Vyčistili sme b2 vzorca a musíme:

b2 = a2 - C2

b = √ a2 - C2

Keďže táto hodnota zodpovedá polovici základne, musí sa vynásobiť dvomi, aby sa získala úplná miera základne rovnoramenného trojuholníka:

b = 2 * (√ a2 - C2)

V prípade, že je známa len hodnota jeho rovných strán a uhol medzi nimi, použije sa trigonometria, ktorá sleduje čiaru od vrcholu k základni, ktorá rozdeľuje rovnoramenný trojuholník na dva pravé trojuholníky..

Týmto spôsobom sa polovica základne vypočíta s:

Je tiež možné, že je známa len hodnota výšky a uhla vrchola, ktorý je oproti základni. V tomto prípade pomocou trigonometrie by sa mohla stanoviť báza:

výcvik

Prvé cvičenie

Nájdite oblasť rovnoramenného trojuholníka ABC s vedomím, že dve jeho strany merajú 10 cm a tretia strana 12 cm..

riešenie

Ak chcete nájsť oblasť trojuholníka, je potrebné vypočítať výšku pomocou vzorca plochy, ktorá súvisí s Pytagorovou teorémou, pretože hodnota uhla medzi rovnými stranami nie je známa..

Máme nasledujúce údaje rovnoramenného trojuholníka:

  • Rovnaké strany (a) = 10 cm.
  • Základ (b) = 12 cm.

Hodnoty vo vzorci sa nahradia:

Druhé cvičenie

Dĺžka dvoch rovnakých strán rovnoramenného trojuholníka meria 42 cm, pričom spojenie týchto strán tvorí uhol 130 °alebo. Určite hodnotu tretej strany, oblasť tohto trojuholníka a obvod.

riešenie

V tomto prípade sú známe rozmery strán a uhol medzi nimi.

Ak chcete poznať hodnotu chýbajúcej strany, to znamená, že základňa tohto trojuholníka je nakreslená kolmo na ňu, delí sa uhol na dve rovnaké časti, jedna pre každý pravouhlý trojuholník, ktorý je vytvorený.

  • Rovnaké strany (a) = 42 cm.
  • Uhol (Ɵ) = 130alebo

Teraz pomocou trigonometrie sa vypočíta hodnota polovice základne, ktorá zodpovedá polovici prepony:

Pre výpočet plochy je potrebné poznať výšku tohto trojuholníka, ktorú je možné vypočítať pomocou trigonometrie alebo Pytagorova teoréma, teraz, keď hodnota základne už bola určená.

Pomocou trigonometrie to bude:

Obvod sa vypočíta:

P = 2*(strana a) + (strana b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tretie cvičenie

Vypočítajte vnútorné uhly rovnoramenného trojuholníka s vedomím, že uhol základne je  = 55alebo

riešenie

Na nájdenie dvoch chýbajúcich uhlov (Ê a Ô) je potrebné pamätať na dve vlastnosti trojuholníkov:

  • Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka bude vždy = 180alebo:

 + Ê + Ô = 180 alebo

  • V rovnoramennom trojuholníku sú uhly základne vždy zhodné, to znamená, že majú rovnaké rozmery, preto:

 = Ô

= 55alebo

Na určenie hodnoty uhla Ê, nahradiť hodnoty ostatných uhlov v prvom pravidle a jasné clear:

55alebo + 55alebo + Ô = 180 alebo

110 alebo + Ô = 180 alebo

Ô = 180 alebo - 110 alebo

Ô = 70 alebo.

referencie

  1. Álvarez, E. (2003). Prvky geometrie: s mnohými cvičeniami a geometrií kompasu. Univerzita Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technický výkres: aktivity poznámkového bloku.
  3. Angel, A. R. (2007). Elementárna algebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultúra.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematika 2.
  7. Tuma, J. (1998). Inžinierska matematická príručka. Wolfram MathWorld.