Trinómia formulára x ^ 2 + bx + c (s príkladmi)



Pred učením sa riešiť trojuholník tvaru x ^ 2 + bx + c, a ešte predtým, ako poznáme pojem trojičný, je dôležité poznať dva základné pojmy; konkrétne pojmy monomial a polynomial. Monomial je výraz typu a * xn, kde a je racionálne číslo, n je prirodzené číslo a x je premenná.

Polynóm je lineárna kombinácia monomialov formy an* xn+nan-1* xn-1+... + a2* x2+na1* x + a0, kde každý aja, s i = 0, ..., n je racionálne číslo, n je prirodzené číslo a a_n je nenulové číslo. V tomto prípade sa hovorí, že stupeň polynómu je n.

Polynóm tvorený súčtom len dvoch výrazov (dva monomálie) rôznych stupňov je známy ako binomický.

index

  • 1 Trinomálie
    • 1.1 Perfektný štvorcový trojuholník
  • 2 Charakteristiky trinomálií 2. stupňa
    • 2.1 Dokonalé námestie
    • 2.2 Vzorec rozpúšťadla
    • 2.3 Geometrická interpretácia
    • 2.4 Faktoring trinomálií
  • 3 Príklady
    • 3.1 Príklad 1
    • 3.2 Príklad 2
  • 4 Odkazy

trinomials

Polynóm tvorený súčtom iba troch výrazov (tri monomálie) rôznych stupňov je známy ako trojzložkový. Nasledujú príklady trinomálií:

  • x3+x2+5x
  • 2x4-x3+5
  • x2+6x + 3

Existuje niekoľko typov trinomial. Z týchto zdôrazňuje dokonalý štvorcový trojuholník.

Dokonalý štvorcový trojuholník

Dokonalý štvorcový trojuholník je výsledkom zvýšenia dvojčlenného štvorca. Napríklad:

  • (3x-2)2= 9x2-12x + 4
  • (2x3+y)2= 4x6+4x3y + y2
  • (4x2-2Y4)2= 16x4-16x2a4+4y8
  • 1 / 16x2a8-1 / 2xy4z + z2= (1 / 4xy4)2-2 (1 / 4xy4) z + z2= (1 / 4xy4-z)2

Charakteristiky trinomálií 2. stupňa

Dokonalé námestie

Všeobecne platí, že trojzubec formy sek2+bx + c je dokonalý štvorec, ak je jeho diskriminačný rovný nule; to znamená, ak b2-4ac = 0, pretože v tomto prípade bude mať iba jeden koreň a môže byť vyjadrený vo forme a (x-d)2= (√a (x-d))2, kde d je už spomínaný koreň.

Koreň polynómu je číslo, v ktorom sa polynóm stane nulovým; inými slovami, číslo, ktoré jeho nahradením v x vo výraze polynómu vedie k nule.

Vzorec rozpúšťadla

Všeobecný vzorec na výpočet koreňov polynómu druhého stupňa tvaru sek2+bx + c je vzorec rezolvera, ktorý uvádza, že tieto korene sú dané (-b ± √ (b2-4ac)) / 2a, kde b2-4ac je známy ako diskriminačný a zvyčajne sa označuje ako A. Z tohto vzorca vyplýva, že sekera2+bx + c má:

- Dva rôzne skutočné korene, ak Δ> 0.

- Jeden skutočný koreň, ak Δ = 0.

- Nemá žiadny skutočný koreň, ak Δ<0.

V nasledujúcom texte budeme brať do úvahy iba trinomálie formy x2+bx + c, kde jasne c musí byť nenulové číslo (inak by to bolo binomické). Tento typ trojzložiek má určité výhody pri faktoringu a prevádzke s nimi.

Geometrická interpretácia

Geometricky trinomiálna x2+bx + c je parabola, ktorá sa otvára smerom nahor a má vrchol v bode (-b / 2, -b2/ 4 + c) karteziánskej roviny, pretože x2+bx + c = (x + b / 2)2-b2/ 4 + c.

Táto parabola reže os Y v bode (0, c) a osi X v bodoch (d1,0) a d)2,0); potom d1 a d2 sú koreňmi trojice. Môže sa stať, že trojzubec má jeden koreň d, v tomto prípade by bol jediný rez s osou X (d, 0).

Mohlo by sa tiež stať, že trinómia nemá žiadne skutočné korene, v takom prípade by v žiadnom bode nerezala os X.

Napríklad x2+6x + 9 = (x + 3)2-9 + 9 = (x + 3)2 je parabola s vrcholom v (-3,0), ktorá rozreže os Y v (0,9) a os X v (-3,0).

Trinomická faktorizácia

Veľmi užitočným nástrojom pri práci s polynómami je faktoring, ktorým je vyjadrenie polynómu ako súčinu faktorov. Všeobecne platí, že vzhľadom k trinomial formy x2+bx + c, ak má dva odlišné korene d1 a d2, môže byť započítaná ako (x-d)1) (x-d)2).

Ak máte iba jeden koreň d, môžete ho zapísať ako (x-d) (x-d) = (x-d)2, a ak nemá žiadne skutočné korene, je ponechaná rovnaká; v tomto prípade nepodporuje faktorizáciu ako produkt iných faktorov ako je samotný.

To znamená, že s vedomím koreňov trojzubca už etablovanej formy môže byť jeho faktorizácia ľahko vyjadrená a ako už bolo uvedené, tieto korene môžu byť vždy určené pomocou resolventu..

Existuje však značné množstvo tohto typu trinomií, ktoré je možné bez toho, aby ste predtým poznali svoje korene, čo by mohlo uľahčiť prácu..

Korene môžu byť určené priamo z faktorizácie bez potreby použiť vzorec rezolvera; toto sú polynómy formy x2 +(a + b) x + ab. V tomto prípade máte:

x2+(a + b) x + ab = x2+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Odtiaľ sa dá ľahko pozorovať, že korene sú -a a -b.

Inými slovami, daný trojzložkový x2+bx + c, ak existujú dve čísla u a v tak, že c = uv a b = u + v, potom x2+bx + c = (x + u) (x + v).

To znamená, že daný trojzložkový x2+bx + c najprv overte, či existujú dve čísla, ktoré vynásobia nezávislý výraz (c) a pridajú (alebo odčítajú, v závislosti od prípadu), uveďte termín, ktorý sprevádza x (b).

Nie so všetkými trinomikami týmto spôsobom možno túto metódu použiť; tam, kde nie je možné, prejdete k riešiteľovi a použijete vyššie uvedené.

Príklady

Príklad 1

Faktor nasledujúceho trojzložkového x2+3x + 2 postupujeme nasledovne:

Musíte nájsť dve čísla tak, že keď ich pridáte, výsledok je 3, a keď ich vynásobíte, výsledok je 2.

Po vykonaní inšpekcie možno konštatovať, že požadované čísla sú: 2 a 1. Preto x2+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Príklad 2

Pre faktor triinómie x2-5x + 6 hľadáme dve čísla, ktorých súčet je -5 a jeho produkt je 6. Čísla, ktoré spĺňajú tieto dve podmienky, sú -3 a -2. Preto faktorizácia daného trinomia je x2-5x + 6 = (x-3) (x-2).

referencie

  1. Zdroje, A. (2016). ZÁKLADNÉ MATEMATIKA. Úvod do výpočtu. Lulu.com.
  2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Marilù Garo.
  3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematika pre správu a ekonomiku. Pearson Education.
  4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. prah.
  5. Preciado, C. T. (2005). Matematický kurz 3o. Editorial Progreso.
  6. Rock, N. M. (2006). Algebra I je ľahké! Tak ľahké. Team Rock Press.
  7. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometria. Pearson Education.