Vlastnosti mierky trojuholníka, vzorec a oblasti, výpočet



trojuholník Je to trojstranný polygón, kde každý má rôzne merania alebo dĺžky; Z tohto dôvodu je uvedené meno scalene, čo v latinčine znamená lezenie.

Trojuholníky sú polygóny považované za najjednoduchšie v geometrii, pretože sú vytvorené z troch strán, troch uhlov a troch vrcholov. V prípade skalnatého trojuholníka, pretože má všetky rôzne strany, znamená to, že jeho tri uhly budú tiež odlišné..

index

  • 1 Charakteristika skalárnych trojuholníkov
    • 1.1 Komponenty
  • 2 Vlastnosti
    • 2.1 Vnútorné uhly
    • 2.2 Súčet strán
    • 2.3 Nekonzistentné strany
    • 2.4 Nedôsledné uhly
    • 2.5 Výška, medián, bisector a bisector nie sú zhodné
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter nie sú zhodné
    • 2.7 Relatívne výšky
  • 3 Ako vypočítať obvod?
  • 4 Ako vypočítať plochu?
  • 5 Ako vypočítať výšku?
  • 6 Ako vypočítať strany?
  • 7 Cvičenia
    • 7.1 Prvé cvičenie
    • 7.2 Druhé cvičenie
    • 7.3 Tretie cvičenie
  • 8 Referencie

Charakteristiky skalných trojuholníkov

Meracie trojuholníky sú jednoduché mnohouholníky, pretože žiadna z ich strán alebo uhlov nemá rovnaké rozmery, na rozdiel od rovnoramenných a rovnostranných trojuholníkov..

Pretože všetky jeho strany a uhly majú rôzne merania, tieto trojuholníky sú považované za nepravidelné konvexné polygóny.

Podľa amplitúdy vnútorných uhlov sú skalné trojuholníky klasifikované ako:

  • Trojuholník mierky: všetky jeho strany sú odlišné. Jeden z jeho uhlov je rovný (90 °)alebo) a ostatné sú ostré as rôznymi opatreniami.
  • Trojuholník s tupým uhlom: všetky jeho strany sú odlišné a jeden z jeho uhlov je tupý (> 90alebo).
  • Trojuholník mierky ostrosti: všetky jeho strany sú odlišné. Všetky jeho uhly sú ostré (< 90alebo), s rôznymi opatreniami.

Ďalšou charakteristikou skalnatých trojuholníkov je, že vzhľadom na nesúlad ich strán a uhlov nemajú os symetrie.

komponenty

Medián: je čiara, ktorá vychádza zo stredu jednej strany a dosahuje opačný vrchol. Tri mediáni sa zhodujú v bode nazývanom centroid alebo centroid.

Sektor: je lúč, ktorý rozdeľuje každý uhol na dva uhly rovnakej veľkosti. Poliare trojuholníka sa zhodujú v bode zvanom stimro.

Mediatrix: je segment kolmý na stranu trojuholníka, ktorý vzniká v strede tohto trojuholníka. Existujú tri mediatrices v trojuholníku a súhlasiť v bode zvanom circumcenter.

Výška: je čiara, ktorá vedie od vrcholu k strane, ktorá je opačná a tiež táto čiara je kolmá na túto stranu. Všetky trojuholníky majú tri výšky, ktoré sa zhodujú v bode nazývanom ortocenter.

vlastnosti

Meracie trojuholníky sú definované alebo identifikované, pretože majú niekoľko vlastností, ktoré ich reprezentujú, pochádzajú z teorémov navrhnutých veľkými matematikmi. Sú to:

Vnútorné uhly

Súčet vnútorných uhlov je vždy rovný 180alebo.

Súčet strán

Súčet hodnôt dvoch strán musí byť vždy väčší ako miera tretej strany, a + b> c.

Nekonzistentné strany

Všetky strany trojuholníkov majú rôzne rozmery alebo dĺžky; to znamená, že sú nezlučiteľné.

Nekonzistentné uhly

Pretože všetky strany skalnatého trojuholníka sú odlišné, ich uhly budú tiež odlišné. Avšak súčet vnútorných uhlov bude vždy rovný 180 ° av niektorých prípadoch jeden z jeho uhlov môže byť tupý alebo rovný, zatiaľ čo v iných budú všetky jeho uhly akútne..

Výška, medián, bisector a bisector nie sú zhodné

Rovnako ako ktorýkoľvek trojuholník, aj skalpel má niekoľko úsekov rovných línií, ktoré ho tvoria, ako napríklad: výška, stredná, bisector a bisector.

Vzhľadom na osobitosť jeho strán, v tomto type trojuholníka sa žiadna z týchto línií nezhoduje v jednom.

Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter nie sú zhodné

Keďže výška, medián, bisector a bisector sú reprezentované rôznymi segmentmi rovných čiar, v skalnatom trojuholníku sa body stretnutia - ortocenter, centrocenter, incenter a circumcenter - nachádzajú v rôznych bodoch (nezhodujú sa).

V závislosti od toho, či je trojuholník akútny, obdĺžnikový alebo skalnatý, má ortocenter rôzne umiestnenia:

a. Ak je trojuholník akútny, ortocenter bude vo vnútri trojuholníka.

b. Ak je trojuholník obdĺžnik, ortocenter sa bude zhodovať s vrcholom rovnej strany.

c. Ak je trojuholník tupý, ortocenter bude na vonkajšej strane trojuholníka.

Relatívne výšky

Výšky sú relatívne k stranám.

V prípade skalnatého trojuholníka budú mať tieto výšky rôzne rozmery. Každý trojuholník má tri relatívne výšky a na výpočet je použitý vzorec Heron.

Ako vypočítať obvod?

Obvod polygónu sa vypočíta súčtom strán.

Rovnako ako v tomto prípade má skalnatý trojuholník všetky svoje strany s rôznym rozmerom, jeho obvod bude:

P = strana a + strana b + strana c.

Ako vypočítať plochu?

Plocha trojuholníkov sa vždy vypočíta rovnakým vzorcom, vynásobením základne výškou a delením dvoma:

Plocha = (základ * h) ÷ 2

V niektorých prípadoch výška skalnatého trojuholníka nie je známa, ale existuje vzorec, ktorý bol navrhnutý matematickým herónom, aby sa vypočítala oblasť, ktorá pozná meranie troch strán trojuholníka..

kde:

  • a, bac predstavujú strany trojuholníka.
  • sp, zodpovedá semiperimetra trojuholníka, tj polovica obvodu:

sp = (a + b + c) = 2

V prípade, že máte iba meranie dvoch strán trojuholníka a uhlu, ktorý je medzi nimi vytvorený, môže byť plocha vypočítaná pomocou goniometrických pomerov. Takže musíte:

Plocha = (strana * h) ÷ 2

Tam, kde výška (h) je výsledkom jednej strany sínusom opačného uhla. Napríklad pre každú stranu bude oblasť:

  • Plocha = (b * C * sen A) ÷ 2
  • Plocha = (a * C * sen B) ÷ 2.
  • Plocha = (a * b * c) ÷ 2

Ako vypočítať výšku?

Keďže všetky strany skalnatého trojuholníka sú odlišné, nie je možné vypočítať výšku pomocou Pythagorovej vety..

Zo vzorca Heron, ktorý je založený na meraniach troch strán trojuholníka, sa dá vypočítať plocha.

Výška môže byť vymazaná zo všeobecného vzorca oblasti:

Strana je nahradená meraním strany a, b alebo c.

Ďalší spôsob, ako vypočítať výšku, keď je známa hodnota jedného z uhlov, je aplikovať trigonometrické pomery, kde výška bude predstavovať nohu trojuholníka..

Napríklad, ak je známy opačný uhol k výške, bude určený sínusom:

Ako vypočítať strany?

Ak máte mieru dvoch strán a uhol proti nim, je možné určiť tretiu stranu použitím vety o kosínoch.

Napríklad v trojuholníku AB je vynesená výška relatívne k segmentu AC. Týmto spôsobom je trojuholník rozdelený na dva pravé trojuholníky.

Na výpočet c-strany (segment AB) sa pre každý trojuholník použije Pytagorova veta:

  • Pre modrý trojuholník musíte:

C2 = h2 + m2

Ako m = b - n sa nahradí:

C2 = h2 + b2 (b - n)2

C2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Pre ružový trojuholník musíte:

hod2 = a2 - n2

Nahrádza sa v predchádzajúcej rovnici:

C2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

C2 = a2 + b2 - 2BN.

Vediac, že ​​n = a * cos C sa nahradí v predchádzajúcej rovnici a získa sa hodnota strany c:

C2 = a2 + b2 - 2b* na * cos C.

Podľa zákona Cosines, strany môžu byť vypočítané ako:

  • na2 = b2 + C2 - 2b* C * cos A.
  • b2 = a2 + C2 - 2.* C * cos B.
  • C2 = a2 + b2 - 2b* na * cos C.

Existujú prípady, keď merania strán trojuholníka nie sú známe, ale ich výška a uhly, ktoré sú vytvorené vo vrcholoch. Na určenie plochy v týchto prípadoch je potrebné použiť trigonometrické pomery.

Ak poznáme uhol jedného zo svojich vrcholov, identifikujú sa nohy a použije sa zodpovedajúci trigonometrický pomer:

Napríklad katéter AB bude opačný pre uhol C, ale susedí s uhlom A. V závislosti od strany alebo katétru zodpovedajúceho výške, druhá strana sa uvoľní, aby sa získala táto hodnota..

výcvik

Prvé cvičenie

Vypočítajte plochu a výšku skalného trojuholníka ABC s vedomím, že jeho strany sú:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

riešenie

Ako údaje sú uvedené merania troch strán škálovaného trojuholníka.

Pretože nemáte hodnotu výšky, môžete oblasť určiť pomocou Heronovej formulácie.

Najprv sa vypočíta semiperimeter:

sp = (a + b + c) = 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm2

sp = 18 cm.

Teraz sú hodnoty vo vzorci Heron nahradené:

Znalosť plochy môže byť vypočítaná relatívna výška na strane b. Zo všeobecného vzorca:

Plocha = (strana * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2) * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Druhé cvičenie

Vzhľadom na rozsiahly trojuholník ABC, ktorého opatrenia sú:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Na vrchole B sa vytvorí uhol 50 °. Vypočítajte relatívnu výšku na stranu c, obvod a plochu tohto trojuholníka.

riešenie

V tomto prípade máte opatrenia dvoch strán. Na určenie výšky je potrebné vypočítať meranie tretej strany.

Vzhľadom k tomu, že je daný uhol oproti daným stranám, je možné na určenie merania na strane AC (b) použiť zákon cosines:

b2 = a2 + C2 - 2.*C * cos B

kde:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50alebo.

Údaje sa nahradia:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Ako už máte hodnotu troch strán, vypočítajte obvod tohto trojuholníka:

P = strana a + strana b + strana c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Teraz je možné určiť oblasť pomocou Heronovho vzorca, ale najprv sa musí vypočítať semiperimeter:

sp = P '2

sp = 59,18 m-2

sp = 29,59 m.

Merania strán a semiperimetra sú nahradené vo Heronovom vzorci:

Nakoniec, ak poznáme oblasť, možno vypočítať relatívnu výšku na strane c. Zo všeobecného vzorca je potrebné:

Plocha = (strana * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2) * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Tretie cvičenie

Na skalnatom trojuholníku ABC strana b meria 40 cm, strana c má rozmery 22 cm a vo vrchole A je vytvorený uhol 90 °.alebo. Vypočítajte plochu tohto trojuholníka.

riešenie

V tomto prípade sú uvedené merania dvoch strán škálovaného trojuholníka ABC, ako aj uhol, ktorý je vytvorený vo vrchole A.

Na určenie plochy nie je potrebné vypočítať mieru strany a, pretože pomocou goniometrických pomerov sa uhol používa na jej nájdenie.

Pretože je známy opačný uhol k výške, určí to výrobok na jednej strane a sínus uhla.

Nahradenie vo vzorci oblasti, ktorú musíte:

  • Plocha = (strana * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Plocha = (b * C * sen A) ÷ 2

Plocha = (40 cm) * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Plocha = (40 cm) * 22 cm * 1) ÷ 2

Plocha = 880 cm2 ÷ 2

Plocha = 440 cm2.

referencie

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technický výkres: aktivity poznámkového bloku.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometria. Technológia CR, .
  3. Angel, A. R. (2007). Elementárna algebra Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultúra.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Plochá euklidovská geometria. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Základy geometrie Mexiko: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Základná geometria pre vysokoškolských študentov. Cengage Učenie.
  8. Harpe, P. d. (2000). Témy v teórii geometrických skupín. University of Chicago Press.