Vlastnosti rovnostranného trojuholníka, vlastnosti, vzorce a plocha



rovnostranného trojuholníka je to mnohouholník s tromi stranami, kde všetky sú rovnaké; to znamená, že majú rovnaké opatrenie. Pre túto charakteristiku dostal názov rovnostranný (rovnaké strany).

Trojuholníky sú polygóny považované za najjednoduchšie v geometrii, pretože sú vytvorené z troch strán, troch uhlov a troch vrcholov. V prípade rovnostranného trojuholníka tým, že majú rovnaké strany, znamená to, že jeho tri uhly budú tiež.

index

  • 1 Charakteristika rovnostranných trojuholníkov
    • 1.1 Rovnaké strany
    • 1.2 Komponenty
  • 2 Vlastnosti
    • 2.1 Vnútorné uhly
    • 2.2 Vonkajšie uhly
    • 2.3 Súčet strán
    • 2.4 Súladné strany
    • 2.5 Zhodné uhly
    • 2.6 Polička, medián a mediatrix sú zhodné
    • 2.7 Os a výška sú zhodné
    • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter sa zhodujú
  • 3 Ako vypočítať obvod?
  • 4 Ako vypočítať výšku?
  • 5 Ako vypočítať strany?
  • 6 Ako vypočítať plochu?
  • 7 Cvičenia
    • 7.1 Prvé cvičenie
    • 7.2 Druhé cvičenie
    • 7.3 Tretie cvičenie
  • 8 Referencie

Charakteristiky rovnostranných trojuholníkov

Rovnaké strany

Rovnostranné trojuholníky sú ploché a uzavreté postavy, ktoré sa skladajú z troch segmentov rovných čiar. Trojuholníky sú klasifikované podľa ich charakteristík vzhľadom na ich strany a uhly; rovnostranný bol klasifikovaný pomocou miery jeho strán ako parameter, pretože sú presne rovnaké, to znamená, že sú zhodné.

Rovnostranný trojuholník je zvláštnym prípadom rovnoramenného trojuholníka, pretože dve jeho strany sú zhodné. Preto sú všetky rovnostranné trojuholníky tiež rovnoramenné, ale nie všetky rovnoramenné trojuholníky budú rovnostranné.

Týmto spôsobom majú rovnostranné trojuholníky rovnaké vlastnosti rovnoramenného trojuholníka.

Rovnostranné trojuholníky možno klasifikovať aj amplitúdou ich vnútorných uhlov ako rovnostranný uhlový trojuholník, ktorý má tri strany a tri vnútorné uhly s rovnakým meraním. Uhly budú ostré, to znamená, že budú menšie ako 90 °alebo.

komponenty

Trojuholníky všeobecne majú niekoľko riadkov a bodov, ktoré ju tvoria. Používajú sa na výpočet plochy, strán, uhlov, mediánu, osi, kolmice a výšky.

  • Medián: je čiara, ktorá vychádza zo stredu jednej strany a dosahuje opačný vrchol. Tri mediáni sa zhodujú v bode nazývanom centroid alebo centroid.
  • Sektor: je lúč, ktorý delí uhol vrcholov na dva uhly rovnakej veľkosti, preto je známy ako os symetrie. Rovnostranný trojuholník má tri osi symetrie.

V rovnostrannom trojuholníku je odrezok ťahaný od vrcholu uhla k jeho protiľahlej strane, pričom je rezaný v jeho strede. Tieto body sa nazývajú stimro.

  • Mediatrix: je segment kolmý na stranu trojuholníka, ktorý vzniká v strede tohto trojuholníka. V trojuholníku sú tri mediatrie a sú v bode zvanom circuncentro.
  • Výška: je čiara, ktorá vedie od vrcholu k strane, ktorá je opačná a tiež táto čiara je kolmá na túto stranu. Všetky trojuholníky majú tri výšky, ktoré sa zhodujú v bode nazývanom ortocenter.

vlastnosti

Hlavnou vlastnosťou rovnostranných trojuholníkov je, že budú vždy rovnoramennými trojuholníkmi, pretože rovnoramenné sú tvorené dvoma zhodnými stranami a rovnostranné trojuholníky..

Týmto spôsobom rovnostranné trojuholníky zdedili všetky vlastnosti rovnoramenného trojuholníka:

Vnútorné uhly

Súčet vnútorných uhlov je vždy rovný 180alebo, a keďže všetky jeho uhly sú zhodné, každý z nich bude merať 60alebo.

Vonkajšie uhly

Súčet vonkajších uhlov bude vždy rovný 360alebo, preto každý vonkajší uhol bude merať 120alebo. Je to preto, lebo vnútorné a vonkajšie uhly sú doplnkové, to znamená, že ich pridanie bude vždy rovné 180alebo.

Súčet strán

Súčet meraní dvoch strán musí byť vždy väčší ako miera tretej strany, to znamená, a + b> c, kde a, b a c sú rozmery každej strany.

Súladné strany

Rovnostranné trojuholníky majú tri strany s rovnakým rozmerom alebo dĺžkou; to znamená, že sú zhodné. Preto v predchádzajúcej položke máme a = b = c.

Zhodné uhly

Rovnostranné trojuholníky sú tiež známe ako rovnobežné trojuholníky, pretože ich tri vnútorné uhly sú navzájom zhodné. Je to preto, lebo všetky jeho strany majú rovnaké opatrenia.

Sektor, medián a mediatrix sú zhodné

Pás rozdeľuje stranu trojuholníka na dve časti. V rovnostranných trojuholníkoch bude táto strana rozdelená na dve presne rovnaké časti, to znamená, že trojuholník bude rozdelený do dvoch zhodných pravouhlých trojuholníkov..

Teda, bisector nakreslený z akéhokoľvek uhla rovnostranného trojuholníka sa zhoduje so strednou a bisectorom opačnej strany tohto uhla.

príklad:

Nasledujúci obrázok znázorňuje trojuholník ABC so stredným bodom D, ktorý rozdeľuje jednu zo svojich strán na dva segmenty AD a BD.

Keď nakreslíte čiaru z bodu D do opačného vrcholu, podľa definície dostanete stredný CD, ktorý je relatívny k vrcholu C a strane AB.

Keďže CD segment delí trojuholník ABC na dva trojuholníky, ktoré sa rovnajú CDB a CDA, znamená to, že budeme mať prípad kongruencie: side, angle, side a preto bude CD aj bisector BCD.

Pri kreslení segmentu CD rozdeľte vrcholový uhol do dvoch rovnakých uhlov 30alebo, uhol vrcholu A pokračuje k meraniu 60alebo a rovné CD tvorí uhol 90 °alebo vzhľadom na stred D.

Segmentové CD vytvára uhly, ktoré majú rovnaké meranie pre trojuholníky ADC a BDC, to znamená, že sú doplnkové takým spôsobom, že meranie každého z nich bude:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180alebo

2 * Med. (ADC) = 180alebo

Med. (ADC) = 180alebo ÷ 2

Med. (ADC) = 90alebo.

A tak, že CD segment je tiež bisector strany AB.

Súradnice a výška sú zhodné

Keď nakreslíte odrezok od vrcholu uhla k stredu opačnej strany, rozdelí rovnostranný trojuholník do dvoch zhodných trojuholníkov.

Týmto spôsobom sa vytvorí uhol 90 °alebo (Rovný). To znamená, že tento riadkový segment je úplne kolmý na túto stranu a že definícia by mala byť výška.

Týmto spôsobom sa priamka ľubovoľného uhla rovnostranného trojuholníka zhoduje s relatívnou výškou na opačnej strane tohto uhla..

Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter sa zhodujú

Pretože výška, medián, bisector a bisector sú súčasne reprezentované tým istým segmentom, v rovnostrannom trojuholníku budú body stretnutí týchto segmentov - ortocentra, barycentra, motivátora a circumcentera - v tom istom bode:

Ako vypočítať obvod?

Obvod polygónu sa vypočíta súčtom strán. Keďže v tomto prípade má rovnostranný trojuholník všetky svoje strany s rovnakým meraním, jeho obvod sa vypočíta podľa tohto vzorca:

P = 3 * bočné.

Ako vypočítať výšku?

Vzhľadom k tomu, že výška je čiara kolmá na základňu, rozdeľuje ju na dve rovnaké časti tým, že sa rozširuje na opačný vrchol. Takto sa vytvoria dva rovnaké pravé trojuholníky.

Výška (h) predstavuje opačnú stranu (a), polovica strany AC k priľahlej strane (b) a strana BC predstavuje preponku (c).

Pomocou Pythagorovej vety môžete určiť hodnotu výšky:

na2 + b2= c2

kde:

na2 = výška (h).

b2 = strana b / 2.

C2 = strana a.

Nahradením týchto hodnôt v Pytagorovej vete a odstránením výšky máme:

hod2 + ( l / 2)2 = l2

hod2 +  l2/ 4 = l2

hod2 = l2  -  l2/ 4

hod2 = (4)*l2 -  l2) / 4

hod2 =  3*l2/4

√hod2 = √ (3*l2/4)

Ak je známy uhol tvorený zhodnými stranami, výška (reprezentovaná nohou) sa môže vypočítať použitím trigonometrických pomerov.

Nohy sa nazývajú opačne alebo vedľa seba v závislosti od uhla, ktorý sa berie ako referencia.

Napríklad v predchádzajúcom obrázku bude katéter h opačný pre uhol C, ale susedí s uhlom B:

Výška sa teda môže vypočítať pomocou:

Ako vypočítať strany?

Existujú prípady, keď merania strán trojuholníka nie sú známe, ale ich výška a uhly, ktoré sú vytvorené vo vrcholoch.

Na určenie plochy v týchto prípadoch je potrebné použiť trigonometrické pomery.

Ak poznáme uhol jedného zo svojich vrcholov, identifikujú sa nohy a použije sa zodpovedajúci trigonometrický pomer:

Noha AB teda bude opačná pre uhol C, ale susedí s uhlom A. V závislosti od strany alebo nohy zodpovedajúcej výške, druhá strana sa uvoľní, aby sa získala táto hodnota, s vedomím, že v rovnostrannom trojuholníku sú tri strany budú mať vždy rovnakú veľkosť.

Ako vypočítať plochu?

Plocha trojuholníkov sa vždy vypočíta rovnakým vzorcom, vynásobením základne výškou a delením dvoma:

Plocha = (b * h) ÷ 2

S vedomím, že výška je daná vzorcom:

výcvik

Prvé cvičenie

Strany rovnostranného trojuholníka ABC meria 20 cm. Vypočítajte výšku a plochu tohto mnohouholníka.

riešenie

Na určenie plochy rovnostranného trojuholníka je potrebné vypočítať výšku, s vedomím, že pri jej ťahaní rozdeľuje trojuholník na dva rovnaké pravé trojuholníky.

Týmto spôsobom sa dá Pytagorova teoréma použiť na jej nájdenie:

na2 + b2= c2

kde:

a = 20/2 = 10 cm.

b = výška.

c = 20 cm.

Údaje vo vete sa nahrádzajú:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300 cm

b = 300 cm

b = 17,32 cm.

To znamená, že výška trojuholníka je 17,32 cm. Teraz je možné vypočítať plochu daného trojuholníka nahradením vo vzorci:

Plocha = (b * h) ÷ 2

Plocha = (20 cm) * 17,32 cm) ÷ 2

Plocha = 346,40 cm2 ÷ 2

Plocha = 173,20 cm2.

Ďalším jednoduchším spôsobom riešenia je nahradenie údajov priamym vzorcom oblasti, kde hodnota výšky je tiež implicitne:

Druhé cvičenie

V krajine, ktorá má tvar rovnostranného trojuholníka, budú vysadené kvety. Ak je obvod tejto pôdy 450 m, vypočítajte počet štvorcových metrov obsadených kvetmi.

riešenie

S vedomím, že obvod trojuholníka zodpovedá súčtu jeho troch strán a ako terén má tvar rovnostranného trojuholníka, budú mať tri strany tohto trojuholníka rovnakú mieru alebo dĺžku:

P = strana + strana + strana = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Teraz je potrebné len vypočítať výšku tohto trojuholníka.

Výška rozdeľuje trojuholník do dvoch zhodných pravouhlých trojuholníkov, kde jedna z nôh predstavuje výšku a druhá polovica základne. Podľa Pythagorovej vety je možné určiť výšku:

na2 + b2= c2

kde:

na = 150 m 2 = 75 m.

C = 150 m.

b = výška

Údaje vo vete sa nahrádzajú:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22 500 m

b2 = 22 500 m - 5 625 m

b2 = 16,875 m

b = √16,875 m

b = 129,90 m.

Takže oblasť, ktorá bude zaberať kvety, bude:

Plocha = b * h ÷ 2

Plocha = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Plocha = (19,485 m2) ÷ 2

Plocha = 9 742,5 m2

Tretie cvičenie

Rovnostranný trojuholník ABC je rozdelený úsečkou, ktorá vedie z jej vrcholu C do stredu D umiestneného na opačnej strane (AB). Tento segment meria 62 metrov. Vypočítajte plochu a obvod tohto rovnostranného trojuholníka.

riešenie

S vedomím, že rovnostranný trojuholník je rozdelený úsečkou, ktorá zodpovedá výške, čím sa vytvárajú dva kongruentné pravouhlých trojuholníkov, toto zase tiež rozdeľuje uhol vrchola C na dva uhly s rovnakým meraním,alebo každý.

Výška tvorí uhol 90 °alebo vzhľadom na segment AB a uhol vrcholu A potom meria 60alebo.

Potom sa použije ako referenčný uhol 30alebo, výška CD je vytvorená ako noha susediaca s uhlom a BC ako prepona.

Z týchto údajov možno určiť hodnotu jednej zo strán trojuholníka pomocou trigonometrických pomerov:

Ako v rovnostrannom trojuholníku, všetky strany majú presne rovnakú mieru alebo dĺžku, to znamená, že každá strana rovnostranného trojuholníka ABC je rovná 71,6 metra. S vedomím, že je možné určiť vašu oblasť:

Plocha = b * h ÷ 2

Plocha = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Plocha = 4,438,6 m2 ÷ 2

Plocha = 2,219,3 m2

Obvod je daný súčtom jeho troch strán:

P = strana + strana + strana = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

referencie

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technický výkres: aktivity poznámkového bloku.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultúra.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Plochá euklidovská geometria. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometria Transformačný prístup. USA: bratia Laidlaw.
  6. Euclid, R.P. (1886). Euclidove prvky geometrie.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometria a trigonometria.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integrovaná geometria Metropolitný technologický inštitút.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometria Pearson Education.