Zloženie izometrických transformácií, typy a príklady



Izometrické transformácie ide o zmeny polohy alebo orientácie určitého čísla, ktoré nemenia ani jeho formu ani veľkosť. Tieto transformácie sú rozdelené do troch typov: translácia, rotácia a reflexia (izometria). Vo všeobecnosti geometrické transformácie umožňujú vytvoriť novú postavu z iného daného.

Transformácia na geometrickú figúru znamená, že nejakým spôsobom bola vystavená nejakým zmenám; to znamená, že bol zmenený. Podľa zmyslu originálu a podobného v rovine možno geometrické transformácie rozdeliť do troch typov: izometrickej, izomorfnej a anamorfnej..

index

  • 1 Charakteristiky
  • 2 Typy
    • 2.1 Prekladom
    • 2.2 Otáčaním
    • 2.3 Odrazom alebo symetriou
  • 3 Zloženie
    • 3.1 Zloženie prekladu
    • 3.2 Zloženie rotácie
    • 3.3 Zloženie symetrie
  • 4 Odkazy

rysy

Izometrické transformácie sa vyskytujú vtedy, keď sú veličiny segmentov a uhlov medzi pôvodným obrazom a transformovaným uhlom zachované..

Pri tomto type transformácie sa nezmení ani tvar ani veľkosť obrázku (sú zhodné), je to len zmena polohy obrázku buď v orientácii, alebo v smere. Týmto spôsobom budú počiatočné a konečné údaje podobné a geometricky zhodné.

Izometria sa vzťahuje na rovnosť; to znamená, že geometrické obrazce budú izometrické, ak majú rovnaký tvar a veľkosť.

V izometrických transformáciách je jedinou vecou, ​​ktorá sa dá pozorovať, zmena polohy v rovine, k čomu dochádza vďaka tuhému pohybu, vďaka ktorému sa obraz pohybuje z východiskovej polohy do koncovej polohy. Toto číslo sa nazýva homológne (podobné) originálu.

Existujú tri typy pohybov, ktoré klasifikujú izometrickú transformáciu: preklad, rotáciu a odraz alebo symetriu.

typ

Prekladom

Sú to izometrie, ktoré umožňujú pohyb v priamke všetkých bodov roviny v danom smere a vzdialenosti.

Keď je postava transformovaná prekladom, nemení svoju orientáciu vo vzťahu k počiatočnej polohe, ani nestráca svoje vnútorné opatrenia, miery svojich uhlov a strán. Tento typ posunu je definovaný tromi parametrami:

- Adresa, ktorá môže byť horizontálna, vertikálna alebo šikmá.

- Zmysel, ktorý môže byť vľavo, vpravo, hore alebo dole.

- Vzdialenosť alebo veľkosť, čo je dĺžka od počiatočnej polohy po koniec akéhokoľvek bodu, ktorý sa pohybuje.

Pre izometrickú transformáciu, ktorá má byť splnená, musí spĺňať tieto podmienky:

- Obrázok musí mať vždy všetky rozmery, lineárne aj uhlové.

- Obrázok nemení svoju polohu vzhľadom na horizontálnu os; to znamená, že jeho uhol sa nikdy nemení.

- Preklady budú vždy zhrnuté v jednom, bez ohľadu na počet prekladov.

V rovine, kde je stred bod O, so súradnicami (0,0), je preklad definovaný vektorom T (a, b), ktorý označuje posun počiatočného bodu. To je:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Ak sa napríklad na súradnicový bod P (8, -2) použije preklad T (-4, 7), dostaneme:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

V nasledujúcom obrázku (vľavo) je vidieť, ako sa bod C posunul tak, aby sa zhodoval s bodom D. Urobil to vo vertikálnom smere, smer bol smerom hore a vzdialenosť alebo veľkosť CD bola 8 metrov. V pravom obrázku je pozorovaný preklad trojuholníka:

Otáčaním

Sú to tie izometre, ktoré umožňujú číslu otočiť všetky body roviny. Každý bod sa otáča po oblúku, ktorý má konštantný uhol a je určený pevný bod (stred otáčania).

To znamená, že všetky rotácie budú definované jeho stredom otáčania a uhlom rotácie. Keď je obrázok transformovaný rotáciou, zachováva si mieru jeho uhlov a strán.

Rotácia nastáva v určitom smere, je pozitívna, keď je rotácia proti smeru hodinových ručičiek (na rozdiel od toho, ako sa otáčajú ručičky hodín) a záporná, keď je jej otáčanie v smere hodinových ručičiek.

Ak sa bod (x, y) otočí vzhľadom na pôvod - to znamená, že jeho stred otáčania je (0,0) -, pod uhlom 90alebo až 360alebo Súradnice bodov budú:

V prípade, že rotácia nemá stred pri pôvode, musí byť pôvod súradnicového systému prenesený na nový daný pôvod, aby bolo možné otočiť postavu, ktorá má jej stred,.

Napríklad, ak bod P (-5,2) dostane rotáciu 90alebo, okolo pôvodu a v pozitívnom zmysle budú jeho nové súradnice (-2,5).

Odrazom alebo symetriou

Sú to transformácie, ktoré invertujú body a postavy roviny. Táto investícia môže byť vzhľadom na bod alebo môže byť aj vzhľadom na priamu čiaru.

Inými slovami, v tomto type transformácie je každý bod pôvodného obrázku spojený s iným bodom (obrazom) homologickej postavy takým spôsobom, že bod a jeho obraz sú v rovnakej vzdialenosti od čiary nazývanej os symetrie..

Ľavá časť obrázku bude teda odrazom pravej časti bez toho, aby sa zmenil jeho tvar alebo rozmery. Symetria transformuje jednu postavu na inú, aj keď v opačnom smere, ako je možné vidieť na nasledujúcom obrázku:

Symetria je prítomná v mnohých aspektoch, ako v niektorých rastlinách (slnečnice), zvieratách (páv) a prírodných fenoménoch (snehové vločky). Ľudská bytosť ho odráža na tvári, čo je považované za faktor krásy. Odraz alebo symetria môže byť dvoch typov:

Centrálna symetria

Je to tá transformácia, ktorá sa vyskytuje s ohľadom na bod, v ktorom obrázok môže zmeniť svoju orientáciu. Každý bod pôvodnej postavy a jej obraz sú v rovnakej vzdialenosti od bodu O, nazývaného stred symetrie. Symetria je centrálna, keď:

- Bod aj jeho obraz a stred patria k rovnakému riadku.

- S rotáciou 180 °alebo centrum O dostanete hodnotu rovnajúcu sa originálu.

- Zdvih počiatočnej hodnoty je rovnobežný s ťahmi vytvoreného útvaru.

- Zmysel pre obrázok sa nemení, vždy bude v smere hodinových ručičiek.

Táto transformácia sa uskutočňuje vzhľadom na os symetrie, kde každý bod počiatočného obrázku je spojený s iným bodom obrazu a tieto sú v rovnakej vzdialenosti od osi symetrie. Symetria je axiálna, keď:

- Segment, ktorý spája bod so svojím obrazom, je kolmý na jeho os symetrie.

- Čísla menia smer v smere otáčania alebo v smere hodinových ručičiek.

- Pri delení čísla stredovou čiarou (os symetrie) sa jedna z výsledných polovíc úplne zhoduje s druhou polovicou..

zloženie

Zloženie izometrických transformácií sa týka postupnej aplikácie izometrických transformácií na rovnakom obrázku.

Zloženie prekladu

Zloženie dvoch prekladov má za následok ďalší preklad. Ak sa vykonáva na rovine, na horizontálnej osi (x) sa menia len súradnice tejto osi, zatiaľ čo súradnice vertikálnej osi (y) zostávajú rovnaké a naopak.

Zloženie rotácie

Zloženie dvoch otočení s tým istým stredom vedie k ďalšiemu otočeniu, ktoré má rovnaký stred a ktorého amplitúda bude súčtom amplitúdy dvoch otočení..

Ak stred má odbočky rozdielne centrum, rez oseca dvoch segmentov podobných bodov bude stredom otáčania.

Zloženie symetrie

V tomto prípade bude kompozícia závisieť od spôsobu jej použitia:

- Ak sa použije rovnaká symetria dvakrát, výsledkom bude identita.

- Ak sa použijú dve symetrie vzhľadom na dve rovnobežné osi, výsledkom bude preklad a jeho posun je dvojnásobok vzdialenosti týchto osí:

- Ak sa použijú dve symetrie vzhľadom na dve osi, ktoré sú vyrezané v bode O (stred), získa sa rotácia so stredom v bode O a jej uhol bude dvojnásobok uhla tvoreného osami:

referencie

  1. V Burgués, J. F. (1988). Materiály na vytvorenie geometrie. Madrid: Syntéza.
  2. Cesar Calavera, I. J. (2013). Technický výkres II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Základy geometrie Mexiko: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometria Transformačný prístup. USA: bratia Laidlaw.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Indukcia a formalizácia vo výučbe rigidných transformácií v prostredí CABRI.
  6. , P. J. (1996). Skupina rovinných izometrií. Madrid: Syntéza.
  7. Suárez, A. C. (2010). Transformácie v rovine. Gurabo, Portoriko: AMCT .