Transformovaná Laplaceova definícia, história, čo to je, vlastnosti



transformované z Laplace bol v posledných rokoch veľkého významu v štúdiu inžinierstva, matematiky, fyziky, okrem iných vedeckých oblastí, ako aj veľkého záujmu o teoretické otázky, poskytuje jednoduchý spôsob riešenia problémov, ktoré pochádzajú z vedy a techniky.

Laplaceovu transformáciu pôvodne prezentoval Pierre-Simon Laplace vo svojej štúdii o teórii pravdepodobnosti a spočiatku sa k nej pristupovalo ako k matematickému objektu, ktorý je len teoretickým záujmom..

Súčasné aplikácie vznikajú vtedy, keď sa rôzni matematici snažili formálne zdôvodniť "prevádzkové pravidlá", ktoré Heaviside použil pri štúdiu rovníc elektromagnetickej teórie..

index

  • 1 Definícia
    • 1.1 Príklady
    • 1.2 Veta (dostatočné podmienky pre existenciu)
    • 1.3 Laplaceova transformácia niektorých základných funkcií
  • 2 História
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Vlastnosti
    • 3.1 Linearita
    • 3.2 Prvá teória prekladu
    • 3.3 Druhá veta prekladu
    • 3.4 Zmena mierky
    • 3.5 Vymena Laplaceovho derivátu
    • 3.6 Laplaceova transformácia integrálov
    • 3.7 Násobenie tn
    • 3.8 Divízia podľa t
    • 3.9 Periodické funkcie
    • 3.10 Správanie sa F (s), ak má sklon k nekonečnu
  • 4 Inverzné transformácie
    • 4.1 Cvičenie
  • 5 Aplikácie Laplaceovej transformácie
    • 5.1 Diferenciálne rovnice
    • 5.2 Systémy diferenciálnych rovníc
    • 5.3 Mechanika a elektrické obvody
  • 6 Referencie

definícia

Nech f je funkcia definovaná pre t ≥ 0. Laplaceova transformácia je definovaná nasledovne:

Hovorí sa, že Laplaceova transformácia existuje, ak predchádzajúci integrál konverguje, inak sa hovorí, že Laplaceova transformácia neexistuje.

Všeobecne platí, že na označenie funkcie, ktorú chce transformovať, sa používajú malé písmená a veľké písmeno zodpovedá jej transformácii. Týmto spôsobom budeme mať:

Príklady

Zvážte konštantnú funkciu f (t) = 1. Máme, že jej transformácia je:

Vždy, keď sa integrál zbieha, vždy sa uvádza, že s> 0. Inak, s < 0, la integral diverge.

Nech g (t) = t. Vaša Laplaceova transformácia je daná

Integráciou podľa častí a vedomím, že vy-st má tendenciu 0, keď t inklinuje k nekonečnu a s> 0, spolu s predchádzajúcim príkladom máme:

Transformácia môže alebo nemusí existovať, napríklad pre funkciu f (t) = 1 / t integrál, ktorý definuje jeho Laplaceovu transformáciu, sa nekonverguje a preto jej transformácia neexistuje.

Dostatočné podmienky na zabezpečenie toho, aby existovala Laplaceova transformácia funkcie f, je to, že f je spojitá v častiach pre t ≥ 0 a je exponenciálneho poriadku.

Hovorí sa, že funkcia je spojitá v častiach pre t ≥ 0, keď pre ktorýkoľvek interval [a, b] s> 0 existuje konečný počet bodov.k, kde f má diskontinuity a je kontinuálne v každom subintervale [tK-1,Tk].

Na druhej strane sa hovorí, že funkcia je exponenciálneho rádu c, ak existujú reálne konštanty M> 0, c a T> 0, takže:

Ako príklady máme, že f (t) = t2 je exponenciálneho poriadku, pretože | t2| < e3t pre všetky t> 0.

Formálnym spôsobom máme nasledujúcu vetu

Veta (dostatočné podmienky pre existenciu)

Ak f je spojitá funkcia na časť pre t> 0 a exponenciálne poradie c, potom je tu Laplaceova transformácia pre s> c.

Je dôležité zdôrazniť, že toto je podmienka dostatočnosti, to znamená, že by mohla existovať funkcia, ktorá nespĺňa tieto podmienky, a dokonca aj vtedy, keď existuje Laplaceova transformácia..

Príkladom je funkcia f (t) = t-1/2 ktorá nie je spojitá v častiach pre t ≥ 0, ale jeho Laplaceova transformácia existuje.

Laplaceova transformácia niektorých základných funkcií

Nasledujúca tabuľka zobrazuje Laplaceove transformácie najbežnejších funkcií.

histórie

Laplaceova transformácia vďačí za svoj názov Pierrovi-Simonovi Laplaceovi, matematikovi a francúzskemu teoretickému astronómovi, ktorý sa narodil v roku 1749 a zomrel v roku 1827. Jeho sláva bola taká, že bol známy ako francúzsky Newton..

V roku 1744 venoval Leonard Euler štúdiá integrálom s formou

ako riešenia obyčajných diferenciálnych rovníc, ale rýchlo sa vzdali tohto vyšetrovania. Neskôr, Joseph Louis Lagrange, ktorý veľmi obdivoval Euler, tiež skúmal tento typ integrálov a spojil ich s teóriou pravdepodobnosti.

1782, Laplace

V roku 1782 Laplace začal študovať tieto integrály ako riešenia diferenciálnych rovníc a podľa historikov sa v roku 1785 rozhodol preformulovať tento problém, ktorý neskôr porodil Laplaceove transformácie tak, ako sú dnes chápané..

Po tom, čo bol zavedený do oblasti teórie pravdepodobnosti, mal malý záujem vedcov tej doby a bol vnímaný len ako matematický objekt len ​​teoretického záujmu..

Oliver Heaviside

To bolo v polovici devätnásteho storočia, keď anglický inžinier Oliver Heaviside zistil, že diferenciálne operátory môžu byť považované za algebraické premenné, čo dáva ich moderné aplikácie na Laplaceove transformácie.

Oliver Heaviside bol anglický fyzik, elektrotechnik a matematik, ktorý sa narodil v roku 1850 v Londýne a zomrel v roku 1925. Zatiaľ čo sa snažil riešiť problémy diferenciálnych rovníc aplikovaných na teóriu vibrácií a pomocou Laplaceových štúdií, začal formovať moderné aplikácie Laplaceových transformácií.

Výsledky, ktoré vystavil Heaviside, sa rýchlo rozšírili po celej vedeckej komunite v čase, ale keďže jeho práca nebola prísna, bola rýchlo kritizovaná tradičnejšími matematikmi..

Avšak užitočnosť Heavisidovej práce pri riešení fyzikálnych rovníc robila jeho metódy obľúbenými u fyzikov a inžinierov.

Napriek týmto nezdarom a po niekoľkých desaťročiach neúspešných pokusov bolo na začiatku 20. storočia možné prísne zdôvodniť operačné pravidlá dané Heaviside..

Tieto pokusy sa vyplatili vďaka úsiliu rôznych matematikov ako Bromwich, Carson, van der Pol, medzi inými..

vlastnosti

Medzi vlastnosti Laplaceovej transformácie patria:

linearity

Nech c1 a c2 sú konštanty a f (t) a g (t) funkcie, ktorých Laplaceove transformácie sú F (s) a G (s), potom musíme:

Vzhľadom na túto vlastnosť sa hovorí, že Laplaceova transformácia je lineárny operátor.

príklad

Prvá teória prekladu

Ak sa stane, že:

A 'a' je akékoľvek reálne číslo, potom:

príklad

Ako Laplaceova transformácia cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) potom:

Druhá veta prekladu

ak

potom

príklad

Ak f (t) = t ^ 3, potom F (s) = 6 / s ^ 4. A preto transformácia

je G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Zmena mierky

ak

A 'a' je nenulová reálna, musíme

príklad

Keďže transformácia f (t) = sin (t) je F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), musí byť

formovanie Laplaceov derivátov

Ak f, f ', f ", ..., f(N) sú spojité pre t ≥ 0 a sú exponenciálneho poriadku a f(N)(t) je spojitá v častiach pre t ≥ 0, potom

Laplaceova transformácia integrálov

ak

potom

Násobenie tn

Ak musíme

potom

Divízia podľa t

Ak musíme

potom

Periodické funkcie

Nech f je periodická funkcia s periódou T> 0, teda f (t + T) = f (t), potom

Správanie F (s), keď má sklon k nekonečnu

Ak je f spojité v častiach a exponenciálnom poradí a

potom

Inverzné transformácie

Keď aplikujeme Laplaceovu transformáciu na funkciu f (t), dostaneme F (s), čo predstavuje túto transformáciu. Rovnakým spôsobom môžeme povedať, že f (t) je inverzná Laplaceova transformácia F (s) a je zapísaná ako

Vieme, že Laplaceove transformácie f (t) = 1 a g (t) = t sú F (s) = 1 / s a ​​G (s) = 1 / s2 preto musíme

Niektoré bežné inverzné Laplaceove transformácie sú nasledovné

Okrem toho je inverzná Laplaceova transformácia lineárna, to znamená, že je splnená

cvičenie

nájsť

Na vyriešenie tohto cvičenia sa musíme zhodovať s funkciou F s jednou z predchádzajúcich tabuliek. Ak v tomto prípade vezmeme n + 1 = 5 a použijeme lineárnu vlastnosť inverznej transformácie, násobíme a delíme 4! získavanie

Pre druhú inverznú transformáciu aplikujeme čiastkové zlomky na prepísanie funkcie F (s) a potom vlastnosti linearity, získania

Ako môžeme vidieť z týchto príkladov, je bežné, že funkcia F (s), ktorá sa hodnotí, nesúhlasí presne s niektorou z funkcií uvedených v tabuľke. Pre tieto prípady, ako je pozorované, postačuje prepísať funkciu až do dosiahnutia príslušného formulára.

Aplikácie Laplaceovej transformácie

Diferenciálne rovnice

Hlavnou aplikáciou Laplaceových transformácií je riešenie diferenciálnych rovníc.

Použitie vlastnosti transformácie derivátu je jasné, že

A derivátov n-1 hodnotených pri t = 0.

Táto vlastnosť robí transformáciu veľmi užitočnou na riešenie problémov s počiatočnou hodnotou, kde sú zahrnuté diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi.

Nasledujúce príklady ukazujú, ako použiť Laplaceovu transformáciu na riešenie diferenciálnych rovníc.

Príklad 1

Vzhľadom na nasledujúce počiatočné hodnoty problém

Na nájdenie riešenia použite Laplaceovu transformáciu.

Na každý člen diferenciálnej rovnice aplikujeme Laplaceovu transformáciu

Pre majetok transformácie derivátu máme

Vyvinutím všetkého výrazu a zúčtovania (a) sme ponechaní

Pomocou čiastkových zlomkov prepíšte pravú stranu rovnice, ktorú získame

Naším cieľom je nájsť funkciu y (t), ktorá spĺňa diferenciálnu rovnicu. Použitie inverznej Laplaceovej transformácie nám dáva výsledok

Príklad 2

vyriešiť

Podobne ako v predchádzajúcom prípade aplikujeme transformáciu na obidve strany rovnice a samostatný termín podľa termínu.

V dôsledku toho máme ako výsledok

Nahradenie zadanými počiatočnými hodnotami a vymazaním Y (s)

Pomocou jednoduchých zlomkov môžeme rovnicu prepísať nasledovne

Výsledkom je použitie inverznej transformácie Laplaceovej

V týchto príkladoch by sme mohli dospieť k nesprávnemu záveru, že táto metóda nie je omnoho lepšia ako tradičné metódy riešenia diferenciálnych rovníc.

Výhody, ktoré ponúka Laplaceova transformácia, spočívajú v tom, že nie je potrebné použiť variácie parametrov alebo sa obávať rôznych prípadov metódy neurčitého koeficientu.

Popri riešení problémov počiatočnej hodnoty touto metódou, od začiatku používame východiskové podmienky, takže nie je potrebné vykonávať ďalšie výpočty na nájdenie konkrétneho riešenia..

Systémy diferenciálnych rovníc

Laplaceova transformácia môže byť tiež použitá na nájdenie riešení pre súčasné bežné diferenciálne rovnice, ako ukazuje nasledujúci príklad.

príklad

vyriešiť

S počiatočnými podmienkami x (0) = 8 e a (0) = 3.

Ak musíme

potom

Vyriešenie výsledkov v nás

A pri použití Laplaceovej inverznej transformácie máme

Mechanika a elektrické obvody

Laplaceova transformácia má veľký význam vo fyzike, hlavne má aplikácie pre mechanické a elektrické obvody.

Jednoduchý elektrický obvod sa skladá z nasledujúcich prvkov

Spínač, batéria alebo zdroj, induktor, odpor a kondenzátor. Keď je spínač zatvorený, vytvára sa elektrický prúd, ktorý je označený i (t). Náboj kondenzátora je označený q (t).

Podľa Kirchhoffovho druhého zákona musí byť napätie vytvorené zdrojom E do uzavretého okruhu rovné súčtu každého poklesu napätia..

Elektrický prúd i (t) súvisí s nábojom q (t) v kondenzátore pomocou i = dq / dt. Na druhej strane úbytok napätia je definovaný v každom z prvkov takto:

Pokles napätia v rezistore je iR = R (dq / dt)

Pokles napätia v induktore je L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Pokles napätia v kondenzátore je q / C

S týmito údajmi a použitím druhého Kirchhoffovho zákona na uzavretý jednoduchý okruh sa získa diferenciálna rovnica druhého poriadku, ktorá opisuje systém a umožňuje určiť hodnotu q (t).

príklad

Na batériu E je pripojený induktor, kondenzátor a odpor, ako je znázornené na obrázku. Induktor je 2 henries, kondenzátor 0,02 farad a odpor 16 onhm. V čase t = 0 je okruh uzavretý. Nájdite zaťaženie a prúd kedykoľvek t> 0, ak E = 300 voltov.

Máme, že diferenciálna rovnica, ktorá opisuje tento okruh, je nasledovná

Kde počiatočné podmienky sú q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Použijeme Laplaceovu transformáciu

A zúčtovanie Q (t)

Potom aplikujeme inverznú Laplaceovu transformáciu

referencie

  1. G. Holbrook, J. (1987). Laplaceova transformácia pre elektronikov. Limusa.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M. P. (2006). Diferenciálne rovnice a Laplaceova transformácia s aplikáciami. Redakcia UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Diferenciálne rovnice s aplikáciami a historickými poznámkami. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Laplaceove transformácie. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Diferenciálne rovnice s problémami hodnôt na hranici. Cengage Learning Editores, S.A..