Demonštrácia binomického veta a príklady

dvojčlenná veta je rovnica, ktorá nám hovorí, ako vytvoriť výraz formulára (a + b)ⁿ pre niektoré prirodzené číslo n. Binomický nie je väčší ako súčet dvoch prvkov, ako (a + b). To nám tiež umožňuje poznať na termín daný a^kb^n-k aký je koeficient, ktorý ide s ním.

Táto veta sa bežne pripisuje anglickému vynálezcovi, fyzikovi a matematikovi Sirovi Isaacovi Newtonovi; zistilo sa však, že na Blízkom východe bola jeho existencia už okolo roku 1000 známa.

index

• 1 kombinačné čísla
• 2 Demonštrácia
• 3 Príklady
  • 3.1 Identita 1
  • 3.2 Identita 2
• 4 Ďalšia demonštrácia
  • 4.1 Demonštrácia indukciou
• 5 Zaujímavosti
• 6 Referencie

Kombinatorické čísla

Dvojčlenná veta nám hovorí matematicky:

V tomto výraze a a b sú reálne čísla a n je prirodzené číslo.

Predtým, než ukážku ukážeme, pozrime sa na niektoré základné pojmy, ktoré sú potrebné.

Kombinatorické číslo alebo kombinácie n v k sú vyjadrené nasledovne:

Táto forma vyjadruje hodnotu, koľko podmnožín s k elementmi možno vybrať zo sady n elementov. Jeho algebraický výraz je daný:

Pozrime sa na príklad: predpokladajme, že máme skupinu siedmich loptičiek, z ktorých dve sú červené a zvyšok je modrý.

Chceme vedieť, koľko spôsobov ich môžeme objednať v rade. Jedným zo spôsobov by mohlo byť umiestnenie dvoch červených v prvej a druhej pozícii a zvyšok loptičiek v zostávajúcich pozíciách.

Podobne ako v predchádzajúcom prípade by sme mohli dať červenú guľu prvú a poslednú pozíciu, a obsadiť ostatné s modrými loptičkami.

Teraz, efektívny spôsob, ako spočítať, koľko spôsobov, ako môžeme objednať gule v rade je použitie kombinačné čísla. Každá pozícia sa zobrazuje ako prvok nasledujúceho súboru:

Ďalej je potrebné zvoliť len podmnožinu dvoch prvkov, v ktorých každý z týchto prvkov predstavuje pozíciu, ktorú budú červené guľôčky obsadzovať. Túto voľbu môžeme urobiť podľa vzťahu, ktorý dali:

Týmto spôsobom máme 21 spôsobov, ako usporiadať takéto lopty.

Všeobecná myšlienka tohto príkladu bude veľmi užitočná pri demonštrácii dvojčlennej vety. Pozrime sa na konkrétny prípad: ak n = 4, máme (a + b)⁴, čo nie je nič viac ako:

Pri vývoji tohto produktu máme súčet výrazov získaných vynásobením prvku každého zo štyroch faktorov (a + b). Budeme mať teda termíny, ktoré budú vo forme:

Ak by sme chceli dostať termín formulára⁴, len násobiť nasledujúcim spôsobom:

Všimnite si, že tento prvok je možné získať len jedným spôsobom; ale čo sa stane, ak teraz hľadáme termín formulára²b²? Keďže "a" a "b" sú reálne čísla, a preto je komutatívne právo platné, máme spôsob, ako získať tento termín, aby sa množil s členmi, ako je naznačené šípkami..

Vykonávanie všetkých týchto operácií je zvyčajne trochu únavné, ale ak vidíme termín "a" ako kombináciu, v ktorej chceme vedieť, koľko spôsobov, ako môžeme vybrať dva "a" zo súboru štyroch faktorov, môžeme použiť myšlienku predchádzajúceho príkladu. Máme teda nasledovné:

Takže vieme, že v konečnom vývoji výrazu (a + b)⁴ budeme mať presne 6a²b². Pri použití rovnakej myšlienky pre ostatné prvky musíte:

Potom pridáme predtým získané výrazy a musíme:

Je to formálna ukážka pre všeobecný prípad, v ktorom "n" je akékoľvek prirodzené číslo.

show

Všimnite si, že výrazy, ktoré zostávajú pri vývoji (a + b)ⁿ majú formu^kb^n-k, kde k = 0,1, ..., n. Pomocou myšlienky predchádzajúceho príkladu máme spôsob, ako zvoliť "k" premenné "a" z "n" faktorov je:

Voľbou týmto spôsobom automaticky volíme n-k premenné "b". Z toho vyplýva, že:

Príklady

Zváženie (a + b)⁵, Aký by bol jej vývoj?

Pri dvojčlennej vete musíme:

Dvojčlenná veta je veľmi užitočná, ak máme výraz, v ktorom chceme vedieť, aký je koeficient konkrétneho výrazu bez toho, aby sme museli vykonať úplný vývoj. Ako príklad môžeme uviesť nasledujúcu otázku: aký je koeficient x⁷a⁹ vo vývoji (x + y)¹⁶?

Pomocou dvojčlennej vety máme, že koeficient je:

Ďalším príkladom je: aký je koeficient x⁵a⁸ vo vývoji (3x-7y)¹³?

Najprv prepíšeme výraz pohodlným spôsobom; toto je:

Potom pomocou binomickej vety máme, že požadovaný koeficient je, keď máme k = 5

Ďalším príkladom použitia tejto vety je demonštrácia niektorých spoločných identít, ako sú tie uvedené nižšie.

Identita 1

Ak "n" je prirodzené číslo, musíme:

Pre demonštráciu používame dvojčlennú vetu, kde „a“ aj „b“ majú hodnotu 1. Potom máme:

Týmto spôsobom sme dokázali prvú identitu.

Identita 2

Ak "n" je prirodzené číslo, potom

Pri dvojčlennej vete musíme:

Ďalšia demonštrácia

Môžeme urobiť inú demonštráciu pre dvojčlennú vetu pomocou induktívnej metódy a pascalovej identity, ktorá nám hovorí, že ak "n" a "k" sú kladné celé čísla, ktoré spĺňajú n ≥ k, potom:

Demonštrácia indukciou

Najprv sa pozrime, či je indukčná báza splnená. Ak n = 1, musíme:

V skutočnosti vidíme, že je naplnený. Teraz n = j tak, aby bolo splnené:

Chceme vidieť, že pre n = j + 1 je splnené, že:

Musíme teda:

Podľa hypotézy vieme, že:

Potom pomocou distribučnej vlastnosti:

Následne rozvíjame všetky súhrny, ktoré máme:

Ak sa teraz zoskupíme pohodlným spôsobom, musíme:

Pomocou identity pascalu musíme:

Nakoniec si všimnite, že:

Preto vidíme, že binomická veta je splnená pre všetky "n" patriace k prirodzenému číslu, a tým končí test..

kuriozity

Kombinatorické číslo (nk) sa tiež nazýva binomický koeficient, pretože je to práve koeficient, ktorý sa objavuje vo vývoji binomického (a + b)ⁿ.

Isaac Newton dal zovšeobecnenie tejto vety pre prípad, v ktorom exponent je reálne číslo; táto veta je známa ako Newtonova dvojčlenná veta.

Už v staroveku bol tento výsledok známy pre konkrétny prípad, v ktorom n = 2. Tento prípad je uvedený v prvky euklidov.

referencie

1. Johnsonbaugh Richard. Diskrétna matematika PHH
2. Kenneth.H. Diskrétna matematika a jej aplikácie. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskrétna matematika. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskrétna a kombinovaná matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskrétna matematika a Combinatoria.Anthropos