Varigonove teoretické príklady a riešené úlohy



Varignonova veta zistí, že ak sú v akomkoľvek štvoruholníku všetky body kontinuálne spojené so stranami, vytvára sa rovnobežník. Túto vetu formuloval Pierre Varignon a publikoval v roku 1731 v knihe Prvky matematiky".

Vydanie knihy nastalo roky po jeho smrti. Vzhľadom k tomu, Varignon bol ten, kto predstavil túto vetu, rovnobežník je pomenovaný po ňom. Veta je založená na euklidovskej geometrii a predstavuje geometrické vzťahy štvoruholníkov.

index

  • 1 Čo je Varignonova veta??
  • 2 Príklady
    • 2.1 Prvý príklad
    • 2.2 Druhý príklad
  • 3 Riešené úlohy
    • 3.1 Cvičenie 1
    • 3.2 Cvičenie 2
    • 3.3 Cvičenie 3
  • 4 Odkazy

Čo je Varignonova veta??

Uvedené Varignon postava je definovaná stredy štvorhranu vždy k rovnobežníka, a táto oblasť je vždy polovica plocha štvoruholníka, ak je plochý a konvexné. Napríklad:

Na obrázku je znázornený štvoruholník s zóny X, kde stredy strán sú reprezentované E, F, G a H, a sú pripojené, tvoria paralelogram. Oblasť štvoruholníka je súčet plôch trojuholníkov vytvorených, a polovica z toho je oblasť paralelogramu.

Keďže plocha rovnobežníka je polovicou plochy štvoruholníka, obvod tohto rovnobežníka možno určiť.

Obvod je teda rovný súčtu dĺžok uhlopriečok štvoruholníka; je to preto, lebo medián štvoruholníka bude uhlopriečkou rovnobežníka.

Na druhej strane, ak sú dĺžky uhlopriečok štvoruholníka presne rovnaké, rovnobežník bude diamant. Napríklad:

Z obrázku je zrejmé, že spojením stredov strán štvoruholníka sa získa kosoštvorec. Na druhej strane, ak sú uhlopriečky štvoruholníka kolmé, rovnobežník bude obdĺžnik.

Rovnobežník bude tiež štvorcom, keď štvoruholník má uhlopriečky s rovnakou dĺžkou a tiež kolmý.

Veta nie je splnená len v plochých štvoruholníkoch, ale je tiež implementovaná v priestorovej geometrii alebo vo veľkých rozmeroch; to znamená v tých štvoruholníkoch, ktoré nie sú vypuklé. Príkladom toho môže byť oktaedron, kde stredy sú centroidy každej tváre a tvoria rovnobežník.

Týmto spôsobom, spojením stredov rôznych obrázkov, je možné získať paralelogramy. Jednoduchý spôsob, ako overiť, či je to naozaj pravda, je, že protiľahlé strany musia byť paralelné, keď sú predĺžené.

Príklady

Prvý príklad

Predĺženie protiľahlých strán, ktoré ukazuje, že ide o paralelogram:

Druhý príklad

Spojením stredov diamantu získame obdĺžnik:

Veta sa používa v spojení bodov umiestnených v strede strán štvoruholníka a môže sa použiť aj pre iné typy bodov, ako je napríklad trisection, penta-section, alebo dokonca nekonečný počet úsekov ( nth), aby sa strany akéhokoľvek štvoruholníka rozdelili na segmenty, ktoré sú proporcionálne.

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Na obrázku máme štvoruholník ABCD oblasti Z, kde stredy strán sú PQSR. Skontrolujte, či sa vytvoril rovnobežník Varignonu.

riešenie

Môžete vidieť, že by spájajúca body PQSR Varignon rovnobežník je tvorený práve preto, že v názve sú uvedené stredy na štvoruholník.

Demonštrovať stredy PQSR prvýkrát stretol, tak to môže byť zrejmé, že iné formy štvoruholníka. Aby sa preukázalo, že sa jedná o rovnobežník má len nakresliť čiaru od bodu C do bodu línie, a to môže byť zrejmé, že CA je rovnobežná s PQ a RS.

Podobne rozšírením strán PQRS možno poznamenať, že PQ a RS sú paralelné, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:

Cvičenie 2

obdĺžnik, je taká, že dĺžky všetkých strán sú rovnaké. Tým, spájajúcej stredy týchto strán je vytvorená s kosoštvorec ABCD, ktorý je rozdelený dvoma uhlopriečkami AC a BD = 7 cm = 10 cm, ktoré sa kryjú s opatreniami strán obdĺžnika. Stanoví sa plocha kosoštvorca a obdĺžnika.

riešenie

Pripomína, že plocha výsledného rovnobežníka je polovica prstenca, môže určiť oblasť nich poznať rozsah uhlopriečok zhoduje so stranami obdĺžnika. Takže musíte:

AB = D

CD = d

obdĺžnik = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

kosoštvorec = A obdĺžnik / 2

kosoštvorec = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Cvičenie 3

Na obrázku máme štvoruholník, ktorý má spojenie bodov EFGH, pričom sú uvedené dĺžky segmentov. Určite, či spojenie EFGH je paralelogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

riešenie

Vzhľadom na dĺžku segmentov je možné overiť, či existuje úmernosť medzi segmentmi; to znamená, že vieme, či sú paralelné a týkajú sa segmentov štvoruholníka nasledujúcim spôsobom:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Potom sa kontroluje proporcionalita, pretože:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Podobne, pri vykresľovaní čiary z bodu B do bodu D môžeme vidieť, že EH je paralelný s BD, rovnako ako BD je paralelný s FG. Na druhej strane, EF je paralelná s GH.

Týmto spôsobom je možné určiť, že EFGH je paralelogram, pretože opačné strany sú rovnobežné.

referencie

  1. Andres, T. (2010). Matematická olympiáda Tresure. skokan. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Plochá euklidovská geometria. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Štúdium geometrie. Mexiko: hispánsky - Američan.
  4. Ramo, G. P. (1998). Neznáme riešenia problémov Fermat-Torricelli. ISBN - Nezávislá práca.
  5. Vera, F. (1943). Prvky geometrie. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Niektoré dobrodružstvá v euklidovskej geometrii. Južná Afrika.