Zdieľam:
Veta Thales of Miletus Prvá, druhá a príklady
Prvá a druhá Veta o Thalesovi z Milétu sú založené na určovaní trojuholníkov z iných podobných (prvá veta) alebo obvodov (druhá veta). Boli veľmi užitočné v rôznych oblastiach. Napríklad prvá veta sa ukázala ako veľmi užitočná na meranie veľkých konštrukcií, keď neexistovali žiadne sofistikované meracie prístroje.
Thales of Miletus bol grécky matematik, ktorý poskytol veľké príspevky k geometrii, z ktorých tieto dve vety vyniknú (v niektorých textoch ich tiež napíšu ako Thales) a ich užitočné aplikácie. Tieto výsledky boli použité v celej histórii a umožnili riešenie širokej škály geometrických problémov.
index
- 1 Prvá veta príbehov
- 1.1 Aplikácia
- 1.2 Príklady
- 2 Druhá veta príbehov
- 2.1 Aplikácia
- 2.2 Príklad
- 3 Odkazy
Prvá veta príbehov
Prvá veta o príbehoch je veľmi užitočným nástrojom, ktorý okrem iného umožňuje vytvoriť podobný trojuholník, aký bol predtým známy. Odtiaľto odvodzujeme rôzne verzie vety, ktoré možno aplikovať vo viacerých kontextoch.
Predtým, ako vydáte svoje vyhlásenie, pamätajte na niektoré pojmy podobnosti trojuholníkov. V podstate sú dva trojuholníky podobné, ak ich uhly sú zhodné (majú rovnaké rozmery). To vedie k tomu, že ak sú dva trojuholníky podobné, ich zodpovedajúce strany (alebo homológy) sú proporcionálne.
Prvá veta o Thalesi uvádza, že ak je v danom trojuholníku priamka nakreslená rovnobežne s ktoroukoľvek z jej strán, získaný nový trojuholník bude podobný počiatočnému trojuholníku..
Dostanete tiež vzťah medzi uhlami, ktoré sú vytvorené, ako je vidieť na nasledujúcom obrázku.
prihláška
Medzi jeho početné aplikácie vyniká jeden z mimoriadneho záujmu a má čo do činenia s jedným zo spôsobov, ako boli merania z veľkých štruktúr v staroveku, čas, v ktorom Thales žil a v ktorom moderné meracie zariadenia neboli k dispozícii. teraz existujú.
Hovorí sa, že takto sa Thalesovi podarilo zmerať najvyššiu pyramídu v Egypte Cheops. Preto Thales predpokladal, že odrazy slnečných lúčov sa dotýkali zeme tvoriacej rovnobežné čiary. Za tohto predpokladu uviazol tyč alebo trstinu vertikálne do zeme.
Potom použil podobnosť dvoch výsledných trojuholníkov, z ktorých jeden bol tvorený dĺžkou tieňa pyramídy (ktorá sa dá ľahko vypočítať) a výškou pyramídy (neznáma) a druhá tvorená dĺžkami tieňa. a výška tyče (ktorá sa dá ľahko vypočítať).
Pomocou proporcionality medzi týmito dĺžkami, môžete jasné a poznať výšku pyramídy.
Hoci táto metóda merania môže poskytnúť významnú chybu aproximácie vzhľadom na presnosť výšky a závisí od paralelnosti slnečných lúčov (čo závisí od presného času), musíme uznať, že ide o veľmi dômyselnú myšlienku a ktoré poskytovali dobrú alternatívu merania v danom čase.
Príklady
Nájdite hodnotu x v každom prípade:
riešenie
Tu máme dve čiary rezané dvoma paralelnými čiarami. Prvou teorémou Thália je, že ich príslušné strany sú proporcionálne. Najmä:
riešenie
Tu máme dva trojuholníky, z ktorých jeden je tvorený segmentom rovnobežným s jednou zo strán druhej strany (presne strana dĺžky x). Pri prvej vete o rozprávkach musíte:
Druhá veta príbehov
Druhá veta o Thalesi určuje pravouhlý trojuholník zapísaný do obvodu v každom bode toho istého bodu.
Trojuholník, zapísaný do obvodu, je trojuholník, ktorého vrcholy sú na obvode, ktoré sú v ňom obsiahnuté.
Konkrétne, druhá veta Thales uvádza nasledujúce: daný kruh stredu O a priemer AC, každý bod B obvodu (iné ako A a C) určuje pravouhlý trojuholník ABC, s pravým uhlom Ako odôvodnenie treba uviesť, že OA aj OB a OC zodpovedajú polomeru obvodu; preto sú ich merania rovnaké. Odtiaľ sa získa, že trojuholníky OAB a OCB sú rovnoramenné, kde Je známe, že súčet uhlov trojuholníka je 180 °. Pomocou tohto trojuholníka ABC musíte: 2b + 2a = 180 °. Ekvivalentne máme, že b + a = 90º a b + a = Všimnite si, že pravý trojuholník poskytnutý Thalesovou druhou vetou je presne ten, ktorého prepona sa rovná priemeru obvodu. Preto je úplne určený polkruhom, ktorý obsahuje body trojuholníka; v tomto prípade horný polkruh. Všimnite si tiež, že v pravom trojuholníku získanom pomocou Thalesovej druhej vety je prepona rozdelená na dve rovnaké časti pomocou OA a OC (polomer). Toto opatrenie je zase rovné segmentu OB (aj polomer), ktorý zodpovedá mediánu trojuholníka ABC B. Inými slovami, dĺžka mediánu pravouhlého trojuholníka ABC zodpovedajúca vrcholu B je úplne určená polovicou prepony. Pripomeňme si, že medián trojuholníka je segmentom od jedného z vrcholov až po stred opačnej strany; v tomto prípade segment BO. Iný spôsob, ako vidieť Thalesovu druhú vetu, je cez kruh ohraničený pravým trojuholníkom. Vo všeobecnosti, kruh ohraničený polygónom pozostáva z obvodu, ktorý prechádza každým z jeho vrcholov, kedykoľvek je možné ho sledovať. Použitím druhej vety Thales, danej pravouhlým trojuholníkom, môžeme vždy konštruovať circumcircle ohraničený týmto, s polomerom rovnajúcim sa polovici prepony a circumcenter (stred obvodu) rovnajúcemu sa stredu prepony. Veľmi dôležitou aplikáciou druhej vety Tales, a možno najpoužívanejšou, je nájsť tangenciálne čiary k danému obvodu, bodom P, ktorý je k nemu (známy).. Všimnite si, že vzhľadom na obvod (nakreslený modrou farbou na obrázku nižšie) a vonkajší bod P, sú dve čiary tangenciálne k obvodu, ktoré prechádzajú cez P. Nech T a T 'sú body dotyku, r polomer obvodu a Alebo centrum. Je známe, že segment, ktorý prechádza od stredu kruhu k bodu dotyku, je kolmý na túto dotyčnicu. Potom je uhol OTP rovný. Z toho, čo sme videli skôr v prvej vete o Thalese a jeho rôznych verziách, vidíme, že je možné vpísať OTP trojuholník v inom obvode (červeno). Analogicky sa získa, že OT'P trojuholník môže byť napísaný v rovnakom predchádzajúcom obvode. Druhou teorémou Thalesa sa tiež dostaneme, že priemer tohto nového obvodu je presne prepona trojuholníka OTP (ktorá sa rovná preponke trojuholníka OT'P) a stred je stredom tejto prepony. Na výpočet stredu nového obvodu je potom postačujúce vypočítať stred medzi stredom - povedzme M - počiatočného obvodu (ktorý už poznáme) a bodom P (ktorý tiež vieme). Potom bude polomer vzdialenosť medzi týmto bodom M a P. S polomerom a stredom červeného kruhu môžeme nájsť jeho karteziánsku rovnicu, ktorú si pamätáme (x-h)2 + (Y-K)2 = c2, kde c je polomer a bod (h, k) je stredom kruhu. Poznajúc teraz rovnice oboch obvodov, môžeme ich pretínať riešením systému rovníc vytvorených týmito rovnicami, a tým získať body tangenciálnej T a T '. Nakoniec, aby sme poznali požadované dotyčnice, stačí nájsť rovnicu priamok prechádzajúcich cez T a P a T 'a P. Zvážte obvod priemeru AC, stred O a polomer 1 cm. Nech B je bod na obvode tak, že AB = AC. Koľko AB opatrenia? Druhým veta o Thalesi máme, že trojuholník ABC je obdĺžnik a prepona zodpovedá priemeru, ktorý v tomto prípade meria 2 cm (polomer je 1 cm). Potom podľa Pytagorovej vety musíme:
Obvod s obvodom
prihláška
príklad
riešenie
referencie