Moivreova veta o tom, čo sa skladá, Demonštrácia a Vyriešené cvičenia

Moivreho teorém aplikuje základné procesy algebry, ako sú právomoci a extrakcia koreňov v komplexných číslach. Veta bola vyjadrená renomovaným francúzskym matematikom Abrahamom de Moivre (1730), ktorý spojil komplexné čísla s trigonometriou.

Abraham Moivre urobil toto spojenie prostredníctvom výrazov prsníka a kosína. Tento matematik vytvoril druh vzorca, prostredníctvom ktorého je možné zvýšiť komplexné číslo z na moc n, čo je kladné celé číslo väčšie alebo rovné 1.

index

• 1 Čo je to Moivreova veta??
• 2 Demonštrácia
  • 2.1 Indukčná základňa
  • 2.2 Indukčná hypotéza
  • 2.3 Kontrola
  • 2.4 Negatívne celé číslo
• 3 Riešené úlohy
  • 3.1 Výpočet pozitívnych právomocí
  • 3.2 Výpočet negatívnych právomocí
• 4 Odkazy

Čo je Moivreova veta??

Moivreho teorém uvádza:

Ak máte komplexné číslo v polárnej forme z = r_ɵ, kde r je modul komplexného čísla z a uhol Ɵ sa nazýva amplitúda alebo argument akéhokoľvek komplexného čísla s hodnotou 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, na výpočet jeho n-tej sily nie je potrebné násobiť ho n-krát; to znamená, že nie je potrebné vykonať nasledujúci produkt:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_ɵ   n-krát.

Naopak, veta hovorí, že pri písaní z v jeho trigonometrickom tvare, pre výpočet n-tej moci, postupujeme nasledovne:

Ak z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), potom zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Napríklad, ak n = 2, potom z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Ak máte n = 3, potom z³ = z² _* z. Okrem toho:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Týmto spôsobom je možné získať trigonometrické pomery sínusového a kosínusového násobku uhla, pokiaľ sú známe trigonometrické pomery uhla..

Rovnakým spôsobom sa dá použiť na nájdenie presnejších a menej mätúcich výrazov pre n-tý koreň komplexného čísla z, takže zⁿ = 1.

Na demonštráciu Moivreho teorému sa používa princíp matematickej indukcie: ak celé číslo "a" má vlastnosť "P", a ak je pre akékoľvek celé číslo "n" väčšie ako "a", ktoré má vlastnosť "P" je spĺňa, že n + 1 má tiež vlastnosť "P", potom všetky celé čísla väčšie alebo rovné "a" majú vlastnosť "P".

show

Týmto spôsobom sa dôkaz o vete vykoná pomocou nasledujúcich krokov:

Indukčná báza

Prvá kontrola n = 1.

Ako z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1)_* Ɵ) + i _* sen (1)_* Ɵ)], máme, že pre n = 1 je veta splnená.

Indukčná hypotéza

Predpokladá sa, že vzorec platí pre niektoré kladné celé číslo, to znamená n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

testovanie

Je dokázané, že platí pre n = k + 1.

Ako z^{k + 1}= z^k _* z, potom z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Potom sa výrazy násobia:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(aj_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(aj_* senƟ)).

Na chvíľu sa faktor r ignoruje^{k + 1},  a spoločný faktor i je odstránený:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(SenƟ).

Ako som² = -1, nahradíme ho vo výraze a dostaneme:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

Teraz sú objednané reálne a imaginárne časti:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

Na zjednodušenie výrazu sa použijú trigonometrické identity súčtu uhlov pre kosínus a sínus, ktoré sú:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

V tomto prípade sú premenné uhly Ɵ a kƟ. Pri použití goniometrických identít máme:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Týmto spôsobom zostane výraz:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Mohlo by sa teda ukázať, že výsledok platí pre n = k + 1. Na základe princípu matematickej indukcie sa dospelo k záveru, že výsledok platí pre všetky kladné celé čísla; to znamená n ≥ 1.

Negatívne číslo

Moivreho teorém je aplikovaný aj keď n ≤ 0. Uvažujme záporné celé číslo „n“; potom "n" môže byť zapísané ako "-m", to znamená n = -m, kde "m" je kladné celé číslo. Z tohto dôvodu:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Ak chcete získať exponent "m" pozitívnym spôsobom, výraz je napísaný inverzne:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Teraz sa používa, že ak z = a + b * i je komplexné číslo, potom 1 ÷ z = a-b * i. Z tohto dôvodu:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Pomocou cos (x) = cos (-x) a -sen (x) = sin (-x) musíme:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Týmto spôsobom môžeme povedať, že veta sa vzťahuje na všetky celočíselné hodnoty "n".

Vyriešené cvičenia

Výpočet pozitívnych právomocí

Jednou z operácií s komplexnými číslami vo svojej polárnej forme je násobenie medzi dvoma z nich; v tomto prípade sa moduly násobia a argumenty sa pridajú.

Ak máte dve zložité čísla z₁ a z₂ a chcete vypočítať (z₁* z₂)², Potom postupujeme nasledovne:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + ja _* sen Ɵ₁)] [r₂ (cos Ɵ₂ + ja _* sen Ɵ₂)]

Použije sa distribučná vlastnosť:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + ja _* cos Ɵ_{1 *} ja _* sen Ɵ₂ + ja _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + ja²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Sú zoskupené, pričom výraz „i“ označuje ako spoločný faktor výrazov:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Ako som² = -1, sa nahradí výrazom:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Reálne pojmy sú preskupené s reálnymi a imaginárnymi s imaginárnymi:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Nakoniec sa použijú trigonometrické vlastnosti:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Na záver:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Cvičenie 1

Napíšte komplexné číslo v polárnej forme, ak z = - 2 -2i. Potom pomocou Moivreho teorémy vypočítajte z⁴.

riešenie

Komplexné číslo z = -2 -2i je vyjadrené v obdĺžnikovej forme z = a + bi, kde:

a = -2.

b = -2.

S vedomím, že polárna forma je z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), musíte určiť hodnotu "r" modulu a hodnotu "Ɵ" argumentu. Ako r = √ (a² + b²) sa dané hodnoty nahradia:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Na určenie hodnoty „Ɵ“ sa použije pravouhlá forma, ktorá je daná vzorcom:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Ako tan (Ɵ) = 1 a musíte<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Keďže hodnota "r" a "Ɵ" bola už získaná, komplexné číslo z = -2 -2i môže byť vyjadrené v polárnej forme nahradením hodnôt:

z = 2√2 (cos (5/4) + i _* sen (5Π / 4)).

Na výpočet z sa teraz používa veta Moivre⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Cvičenie 2

Nájdite produkt komplexných čísel vyjadrením v jeho polárnej forme:

z1 = 4 (cos 50^alebo + ja_* 50 sen^alebo)

z2 = 7 (cos 100^alebo + ja_* 100 sen^alebo).

Potom vypočítajte (z1 * z2) ².

riešenie

Najprv sa vytvorí produkt daných čísel:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^alebo + ja_* 50 sen^alebo)] [7 (cos 100^alebo + ja_* 100 sen^alebo)]

Potom násobte moduly dohromady a pridajte argumenty:

z₁ z₂ = (4) _* 7)_* [cos (50)^alebo + 100^alebo) + i_* sen (50. \ t^alebo + 100^alebo)]

Výraz je zjednodušený:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^alebo + (aj_* 150 sen^alebo).

Nakoniec sa aplikuje Moivreova veta:

(z1 * z2) ² = (28) _* (cos 150^alebo + (aj_* 150 sen^alebo)) ² = 784 (cos 300)^alebo + (aj_* 300 sen^alebo)).

Výpočet záporných mocností

Rozdelenie dvoch komplexných čísel z₁ a z₂ vo svojej polárnej forme je modul rozdelený a argumenty sú odpočítané. Podiel je teda z₁ . Z₂ a vyjadruje sa takto:

z₁ . Z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - ɵ₂)]).

Rovnako ako v predchádzajúcom prípade, ak chcete vypočítať (z1 ÷ z2) ³ najprv rozdelenie, potom sa použije veta Moivre..

Cvičenie 3

vzhľadom na to:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

vypočítať (z1 ÷ z2) ³.

riešenie

Podľa vyššie uvedených krokov je možné konštatovať, že:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

referencie

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Z Moivreovej vety o identitách triggovania. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyklopédia matematiky.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra a trigonometria.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineárna algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson Education.