Zdieľam:
Euklidova veta Veta, Demonštrácia, Aplikácia a Cvičenia
Euklidova veta demonštruje vlastnosti pravouhlého trojuholníka nakreslením čiary, ktorá ho rozdeľuje do dvoch nových pravouhlých trojuholníkov, ktoré sú si navzájom podobné a zase sú podobné pôvodnému trojuholníku; potom existuje vzťah proporcionality.
Euclid bol jedným z najväčších matematikov a geometrov staroveku, ktorý urobil niekoľko demonštrácií dôležitých viet. Jedným z hlavných je ten, ktorý nesie jeho meno a ktorý má široké uplatnenie.
Bolo to tak preto, že cez túto vetu to jednoduchým spôsobom vysvetľuje geometrické vzťahy existujúce v pravom trojuholníku, kde tieto nohy súvisia s ich projekciami v preponke.
index
- 1 Vzorce a ukážky
- 1.1 Veta výšky
- 1.2 Veta nohy
- 2 Vzťah medzi Euklidovými teorémami
- 3 Riešené úlohy
- 3.1 Príklad 1
- 3.2 Príklad 2
- 4 Odkazy
Vzorce a ukážky
Euclidova veta navrhuje, aby v každom pravouhlom trojuholníku, keď je nakreslená čiara - čo predstavuje výšku zodpovedajúcu vrcholu pravého uhla vzhľadom na preponu - dva pravé trojuholníky boli vytvorené z originálu.
Tieto trojuholníky budú navzájom podobné a budú tiež podobné pôvodnému trojuholníku, čo znamená, že ich podobné strany sú navzájom úmerné:
Uhly troch trojuholníkov sú zhodné; to znamená, že keď sa otočí o 180 stupňov na svojom vrchole, na druhej strane sa zhoduje uhol. To znamená, že každý bude rovnaký.
Týmto spôsobom môžete tiež overiť podobnosť, ktorá existuje medzi tromi trojuholníkmi, rovnosťou ich uhlov. Z podobnosti trojuholníkov určuje Euclid podiely týchto dvoch vetiev:
- Výška veta.
- Veta nohy.
Táto veta má široké uplatnenie. V antike sa používala na výpočet výšok alebo vzdialeností, čo predstavuje veľký pokrok pre trigonometriu.
V súčasnosti sa uplatňuje v niekoľkých oblastiach, ktoré sú založené na matematike, ako je strojárstvo, fyzika, chémia a astronómia, medzi mnohými inými oblasťami..
Výška veta
Táto veta hovorí, že v každom pravouhlom trojuholníku je výška ťahaná z pravého uhla vzhľadom na preponku geometrickým proporcionálnym priemerom (štvorcom výšky) medzi výstupkami nôh, ktoré určujú preponku.
To znamená, že štvorec výšky sa bude rovnať násobeniu premietnutých nôh, ktoré tvoria preponku:
hodC2 = m * n
show
Vzhľadom na trojuholník ABC, ktorý je obdĺžnikom na vrchole C, sa pri vykresľovaní výšky generujú dva podobné pravé trojuholníky, ADC a BCD; preto sú ich zodpovedajúce strany primerané:
Tak, že výška hC čo zodpovedá segmentu CD, zodpovedá hypotéze AB = c, takže musíme:
Na druhej strane to zodpovedá:
Vyčistenie prepony (hC), aby sa znásobili dvaja členovia rovnosti, musíte:
hodc * hodc = m * n
hodC2 = m * n
Hodnota prepony je teda daná:
Veta nohy
Táto veta hovorí, že v každom pravouhlom trojuholníku bude mierou každej nohy geometrický proporcionálny priemer (štvorec každej nohy) medzi meraním prepony (úplná) a projekciou každého z nich:
b2 = c * m
na2 = c* n
show
Vzhľadom k tomu, trojuholník ABC, ktorý je obdĺžnik na vrchole C, tak, že jeho prepona je c, pri vykresľovaní výšky (h) projekcie nôh a a b, ktoré sú segmenty m, resp. prepony.
Takže máme, že výška na pravom trojuholníku ABC generuje dva podobné pravé trojuholníky, ADC a BCD, takže zodpovedajúce strany sú proporcionálne, ako je toto:
DB = n, čo je projekcia nohy CB na preponke.
AD = m, čo je projekcia AC cievky na preponke.
Potom sa prepona c určuje súčtom nôh jej projekcií:
c = m + n
Vzhľadom na podobnosť trojuholníkov ADC a BCD musíme:
Vyššie uvedené je rovnaké ako:
Vymazaním nohy „a“, aby sa znásobili dvaja členovia rovnosti, musí človek:
na * a = c * n
na2 = c * n
Hodnota nohy "a" je teda daná:
Podobne, podobnosťou trojuholníkov ACB a ADC, musíme:
Vyššie uvedené sa rovná:
Vymazaním nohy „b“ na vynásobenie dvoch členov rovnosti je potrebné:
b * b = c * m
b2 = c * m
Hodnota nohy „b“ je teda daná hodnotou:
Vzťah medzi Euklidovými teorémami
Veta s odkazom na výšku a nohy sú navzájom prepojené, pretože miera oboch je urobená vzhľadom na preponku pravého trojuholníka..
Prostredníctvom vzťahu euklidovských teorémov možno tiež nájsť hodnotu výšky; to je možné zúčtovaním hodnôt m a n od vetvy nohy a sú nahradené vo výškovej vete. Týmto spôsobom sa výška rovná násobeniu nôh, vydelenému preponkou:
b2 = c * m
m = b2 . C
na2 = c * n
n = a2 . C
Vo výškovej vete sa m a n nahradia:
hodC2 = m * n
hodC2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)
hodC = (b2* na2) ÷ c
Vyriešené cvičenia
Príklad 1
Vzhľadom na trojuholník ABC, obdĺžnik v A, určte mieru AC a AD, ak AB = 30 cm a BD = 18 cm
riešenie
V tomto prípade máme merania jednej z premietnutých nôh (BD) a jednej z nôh pôvodného trojuholníka (AB). Týmto spôsobom môžete použiť vetvu nohy na nájdenie hodnoty nohy BC.
AB2 = BD * BC
(30)2 = 18 * BC
900 = 18 * BC
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
Hodnotu CD cathetus možno nájsť s vedomím, že BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Teraz je možné určiť hodnotu katétru AC, aplikujúc opäť teorém nohy:
AC2 = CD * BD
AC2 = 32 * 50
AC2 = 160
AC = 00 1600 = 40 cm
Na určenie hodnoty výšky (AD) sa použije výšková veta, pretože hodnoty projektovaných nôh CD a BD sú známe:
AD2 = 32 * 18
AD2 = 576
AD = 76576
AD = 24 cm
Príklad 2
Určite hodnotu výšky (h) trojuholníka MNL, obdĺžnika v N, s vedomím merania segmentov:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
riešenie
Meriate jednu z nôh premietanú na preponku (PM), ako aj meranie nôh pôvodného trojuholníka. Týmto spôsobom sa môže použiť teorém nôh na zistenie hodnoty inej premietanej nohy (LN):
NL2 = PM * LM
(10)2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Ako už poznáme hodnotu nôh a prepony, prostredníctvom vzťahu medzi vetami výšky a nôh možno určiť výšku výšky:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (b2* na2) ÷ c.
h = (10)2* 52) ÷ (20)
h = (100%) * 25) ÷ (20)
h = 2500 ÷ 20
h = 125 cm.
referencie
- Braun, E. (2011). Chaos, fraktály a podivné veci. Fondu hospodárskej kultúry.
- Cabrera, V. M. (1974). Moderná matematika, zväzok 3.
- Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3. ročník matematiky Caracas: Santillana.
- Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Hispánsky encyklopédia: Macropedia. Encyklopédia Britannica Publishers.
- Euclid, R.P. (1886). Euclidove prvky geometrie.
- Guardeño, A. J. (2000). Dedičstvo matematiky: od Euclida po Newtona, géniovia cez jeho knihy. Univerzita v Seville.