Chebyshov teorém Čo sa skladá z aplikácií a príkladov



Chebyshova veta (alebo Chebyshovova nerovnosť) je jedným z najdôležitejších klasických výsledkov teórie pravdepodobnosti. Umožňuje odhadnúť pravdepodobnosť udalosti opísanej pomocou náhodnej premennej X, poskytnutím dimenzie, ktorá nezávisí od distribúcie náhodnej premennej, ale od rozptylu X.

Veta je pomenovaná po ruskom matematikovi Pafnuty Chebyshovovi (tiež napísanom ako Chebychev alebo Tchebycheff), ktorý napriek tomu, že nie je prvým, kto tento teorém vyslovil, bol prvý, ktorý v roku 1867 dal demonštráciu..

Táto nerovnosť, čiže tie, ktoré sa svojimi vlastnosťami nazývajú Chebyshovovou nerovnosťou, sa používa najmä na priblíženie pravdepodobností pomocou výpočtu rozmerov..

index

  • 1 Z čoho sa skladá??
  • 2 Aplikácie a príklady
    • 2.1 Obmedzenia pravdepodobnosti
    • 2.2 Demonštrácia limitných teorém
    • 2.3 Veľkosť vzorky
  • 3 Nerovnosti typu Chebyshov
  • 4 Odkazy

Z čoho sa skladá??

V štúdii teórie pravdepodobnosti sa stáva, že ak poznáme distribučnú funkciu náhodnej veličiny X, môžeme vypočítať jej očakávanú hodnotu - alebo matematické očakávanie E (X) - a jej rozptyl Var (X), tak dlho ako uvedené sumy existujú. Recipročný však nie je nevyhnutne pravdivý.

To znamená, že poznanie E (X) a Var (X) nie je nevyhnutne možné získať distribučnú funkciu X, takže veličiny ako P (| X |> k) pre niektoré k> 0 je veľmi ťažké získať. Ale vďaka Chebyshovovej nerovnosti je možné odhadnúť pravdepodobnosť náhodnej premennej.

Chebyshov teorém nám hovorí, že ak máme náhodnú premennú X nad vzorkovacím priestorom S s pravdepodobnostnou funkciou p, a ak k> 0, potom:

Aplikácie a príklady

Medzi mnohými aplikáciami, ktoré má Chebyshov teorém, možno spomenúť:

Viazanie pravdepodobností

Toto je najbežnejšia aplikácia a používa sa na to, aby horná hranica pre P (| X-E (X) | ≥k) bola k> 0, len s rozptylom a očakávaním náhodnej premennej X, bez znalosti funkcie pravdepodobnosti.

Príklad 1

Predpokladajme, že počet výrobkov vyrobených vo firme počas týždňa je náhodná premenná s priemerom 50%.

Ak vieme, že rozptyl týždňa výroby je rovný 25, potom čo môžeme povedať o pravdepodobnosti, že v tomto týždni sa výroba bude líšiť o viac ako 10 z priemeru?

riešenie

Uplatňovanie nerovnosti Chebyshova musíme:

Z toho môžeme konštatovať, že pravdepodobnosť, že v týždni výroby počet článkov presiahne viac ako 10 na priemer, je najviac 1/4..

Demonštrácia limitných teorém

Nerovnosť Chebyshov hrá dôležitú úlohu v demonštrácii najdôležitejších hraničných teorém. Ako príklad uvádzame:

Slabý zákon veľkého počtu

Tento zákon stanovuje, že daný sled X1, X2, ..., Xn, ... nezávislých náhodných premenných s rovnakým priemerným rozdelením E (Xi) = μ a rozptyl Var (X) = σ2, a známa priemerná vzorka:

Potom pre k> 0 musíte:

Alebo ekvivalentne:

show

Najprv si všimnite nasledovné:

Pretože X1, X2, ..., Xn sú nezávislé, vyplýva to, že:

Preto je možné potvrdiť nasledovné:

Potom pomocou Chebyshovovej vety musíme:

Nakoniec, veta vyplýva zo skutočnosti, že limit vpravo je nula, keď n inklinuje k nekonečnu.

Treba poznamenať, že tento test sa uskutočnil len v prípade, keď existuje rozptyl Xi; to znamená, že sa neodlišuje. Preto pozorujeme, že veta je vždy pravdivá, ak existuje E (Xi).

Chebyshovova hraničná veta

Ak X1, X2, ..., Xn, ... je postupnosť nezávislých náhodných premenných tak, že existuje nejaká C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

show

Keďže postupnosť variácií je jednotne ohraničená, máme Var (Sn) ≤ C / n, pre všetky prirodzené n. Ale vieme, že:

Tým, že n smeruje k nekonečnu, nasledujúce výsledky:

Pretože pravdepodobnosť nemôže prekročiť hodnotu 1, získa sa požadovaný výsledok. Ako dôsledok tejto vety môžeme spomenúť konkrétny prípad Bernoulliho.

Ak sa experiment opakuje n krát nezávisle s dvomi možnými výsledkami (neúspech a úspech), kde p je pravdepodobnosť úspechu v každom experimente a X je náhodná premenná reprezentujúca počet dosiahnutých úspechov, potom pre každé k> 0 musíte:

Veľkosť vzorky

Čo sa týka rozptylu, Chebyshovova nerovnosť nám umožňuje nájsť veľkosť vzorky n, ktorá je dostatočná na zaručenie toho, že pravdepodobnosť, že | Sn-μ |> = k nastane, je taká malá, ako je to žiaduce, čo nám umožňuje mať aproximáciu priemer.

Presne, nech X1, X2, ... Xn je vzorka nezávislých náhodných veličín veľkosti n a predpokladajme, že E (Xi) = μ a jeho variácia σ2. Potom, kvôli Chebyshovovej nerovnosti, musíme:

príklad

Predpokladajme, že X1, X2, ... Xn sú vzorkou nezávislých náhodných premenných s Bernoulliho distribúciou, takže majú hodnotu 1 s pravdepodobnosťou p = 0,5.

Aká by mala byť veľkosť vzorky, aby bolo možné zaručiť, že pravdepodobnosť, že rozdiel medzi aritmetickým priemerom Sn a jeho očakávanou hodnotou (viac ako 0,1) je menšia alebo rovná 0,01.?

riešenie

Máme, že E (X) = μ = p = 0,5 a že Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Pre nerovnosť Chebyshov, pre akékoľvek k> 0 musíme:

Teraz, berieme k = 0,1 a δ = 0,01, musíme:

Týmto spôsobom sa dospelo k záveru, že je potrebná veľkosť vzorky najmenej 2500, aby sa zabezpečilo, že pravdepodobnosť udalosti | Sn - 0,5 |> = 0,1 je nižšia ako 0,01.

Nerovnosti typu Chebyshov

Existujú rôzne nerovnosti súvisiace s nerovnosťou Chebyshov. Jedným z najznámejších je Markovova nerovnosť:

V tomto výraze X je nezáporná náhodná veličina s k, r> 0.

Markovská nerovnosť môže mať rôzne podoby. Napríklad, nech Y je nezáporná náhodná veličina (tak P (Y> = 0) = 1) a predpokladajme, že existuje E (Y) = μ. Predpokladajme tiež, že (E (Y))r= μr existuje pre niektoré celé číslo r> 1. potom:

Ďalšia nerovnosť je Gaussova, ktorá nám hovorí, že daná unimodálna náhodná veličina X s režimom na nule, potom pre k> 0,

referencie

  1. Kai Lai Chung Elementárna teória pravdepodobnosti so stochastickými procesmi. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Diskrétna matematika a jej aplikácie. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Pravdepodobnosť a štatistické aplikácie. Inc. MEXIKO ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskrétne matematické problémy. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teória a problémy pravdepodobnosti. McGraw-Hill.