Bolzanova veta Vysvetlenie, aplikácie a cvičenia boli vyriešené

Bolzanova veta zistí, že ak je funkcia spojitá vo všetkých bodoch uzavretého intervalu [a, b] a je presvedčená, že obraz "a" a "b" (pod funkciou) má opačné znamienka, potom bude aspoň jeden bod "C" v otvorenom intervale (a, b), takže funkcia vyhodnotená v "c" bude rovná 0.

Táto veta bola formulovaná filozofom, teológom a matematikom Bernardom Bolzanom v roku 1850. Tento vedec, narodený v dnešnej Českej republike, bol jedným z prvých matematikov v histórii, ktorý formálne demonštroval vlastnosti kontinuálnych funkcií..

index

• 1 Vysvetlenie
• 2 Demonštrácia
• 3 Na čo slúži??
• 4 Riešené úlohy
  • 4.1 Cvičenie 1
  • 4.2 Cvičenie 2
• 5 Referencie

vysvetlenie

Bolzanova veta je tiež známa ako veta strednej hodnoty, ktorá pomáha pri určovaní špecifických hodnôt, najmä núl, určitých reálnych funkcií reálnej premennej.

V danej funkcii f (x) pokračuje - to znamená, že f (a) a f (b) sú spojené krivkou - kde f (a) je pod osou x (je záporná) a f (b) je nad osou x (je kladná), alebo naopak, graficky bude bod orezania na osi x, ktorý bude reprezentovať strednú hodnotu "c", ktorá bude medzi "a" a "b" a hodnotou f (c) sa rovná 0.

Graficky analyzujeme Bolzanovu vetu, vieme, že pre každú funkciu f spojitú definovanú v intervale [a, b], kde f (a)_*f (b) je menšie ako 0, v intervale bude aspoň jeden koreň "c" tejto funkcie (a, b).

Táto veta neurčuje počet bodov, ktoré existujú v tomto otvorenom intervale, len uvádza, že existuje aspoň 1 bod.

show

Na preukázanie Bolzanovho teorému sa predpokladá, že bez straty všeobecnosti je f (a) < 0 y f(b) > 0; týmto spôsobom môže existovať mnoho hodnôt medzi "a" a "b", pre ktoré f (x) = 0, ale stačí ukázať, že existuje jeden.

Začnite hodnotením f v strede (a + b) / 2. Ak f ((a + b) / 2) = 0, test tu končí; inak je potom f ((+ + b) / 2) kladné alebo záporné.

Jedna z polovíc intervalu [a, b] je zvolená tak, že znaky funkcie vyhodnotené na koncoch sú odlišné. Tento nový interval bude [a1, b1].

Ak nie je f vyhodnotené v strede [a1, b1] nula, potom sa vykoná rovnaká operácia ako predtým; to znamená, že je zvolená polovica tohto intervalu, ktorá spĺňa podmienky značiek. Tento nový interval [a2, b2].

Ak bude tento proces pokračovať, potom budú prijaté dve sukcesie an a bn, takže:

a sa zvyšuje a bn klesá:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Ak vypočítate dĺžku každého intervalu [ai, bi], budete musieť:

b1-al = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Preto limit, keď n inklinuje k nekonečnosti (bn-an), sa rovná 0.

Použitím toho, že a sa zväčšuje a ohraničuje a bn sa znižuje a ohraničuje, musí byť hodnota "c" taká, že:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Limit a je "c" a limit bn je tiež "c". Preto, ak je dané δ> 0, vždy existuje "n" tak, že interval [a, bn] je obsiahnutý v intervale (c-δ, c + δ).

Teraz sa musí ukázať, že f (c) = 0.

Ak f (c)> 0, potom pretože f je spojitá, existuje ε> 0 tak, že f je kladné v celom intervale (c-ε, c + ε). Avšak, ako je uvedené vyššie, existuje hodnota "n" taká, že f zmeny sa zapíšu do [an, bn] a navyše [a, bn] je obsiahnutá v (c-ε, c + ε), čo je rozpor.

Ak f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 tak, že f je záporné v celom intervale (c-ε, c + ε); ale existuje hodnota "n" taká, že f zmeny sa zapíšu [an, bn]. Ukazuje sa, že [a, bn] je obsiahnuté v (c-ε, c + ε), čo je tiež rozpor.

Preto f (c) = 0 a toto sme chceli demonštrovať.

Na čo slúži??

Z jeho grafickej interpretácie sa Bolzanova veta používa na nájdenie koreňov alebo núl v spojitej funkcii, cez bisekciu (aproximáciu), čo je metóda prírastkového vyhľadávania, ktorá vždy rozdeľuje intervaly na 2.

Potom vezmeme interval [a, c] alebo [c, b], kde dôjde k zmene znamienka, a proces opakujte, kým interval nebude menší a menší, takže sa môžete priblížiť k požadovanej hodnote; to znamená hodnota, ktorú funkcia robí 0.

V súhrne, aby sme použili Bolzanovu vetu a našli tak korene, vymedzili nuly funkcie alebo poskytli riešenie rovnici, vykonajú sa tieto kroky:

- Overuje sa, či f je spojitá funkcia v intervale [a, b].

- Ak interval nie je daný, je potrebné zistiť, kde je funkcia nepretržitá.

- Overuje sa, či extrémy intervalu dávajú opačné znamienka pri hodnotení v f.

- Ak nie sú získané opačné znamienka, interval by mal byť rozdelený do dvoch subintervalov pomocou stredného bodu.

- Vyhodnoťte funkciu v strede a overte, či je splnená Bolzanova hypotéza, kde f (a) _* f (b) < 0.

- V závislosti na znamienku (kladnom alebo zápornom) zistenej hodnoty sa proces opakuje s novým subintervalom, kým sa uvedená hypotéza nesplní..

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Určite, či funkcia f (x) = x² - 2, má aspoň jedno reálne riešenie v intervale [1,2].

riešenie

Máme funkciu f (x) = x² - 2. Keďže ide o polynóm, znamená to, že je kontinuálny v akomkoľvek intervale.

Žiadame vás, aby ste určili, či máte reálne riešenie v intervale [1, 2], takže teraz musíte len nahradiť konce intervalu vo funkcii, aby ste poznali ich znamenie a viete, či spĺňajú podmienku odlišnosti:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negatívne)

f (2) = 2² - 2 = 2 (pozitívne)

Znamienko f (1) ≠ znamenia f (2).

To zaisťuje, že existuje aspoň jeden bod "c", ktorý patrí do intervalu [1,2], kde f (c) = 0.

V tomto prípade možno hodnotu "c" ľahko vypočítať takto:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

√2 ≈ 1,4 teda patrí do intervalu [1,2] a spĺňa, že f (√2) = 0.

Cvičenie 2

Dokážte, že rovnica x⁵ + x + 1 = 0 má aspoň jedno reálne riešenie.

riešenie

Najskôr si všimnite, že f (x) = x⁵ + x + 1 je polynomická funkcia, čo znamená, že je kontinuálna vo všetkých reálnych číslach.

V tomto prípade sa neuvádza žiadny interval, preto by sa hodnoty mali vyberať intuitívne, prednostne na úrovni 0, aby sa vyhodnotila funkcia a našli sa zmeny znamienka:

Ak použijete interval [0, 1], musíte:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Keďže neexistuje žiadna zmena znamienka, proces sa opakuje s iným intervalom.

Ak použijete interval [-1, 0], musíte:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

V tomto intervale je zmena znamienka: znak f (-1) ≠ znak f (0), čo znamená, že funkcia f (x) = x⁵ + x + 1 má aspoň jeden skutočný koreň "c" v intervale [-1, 0], takže f (c) = 0. Inými slovami, je pravda, že x⁵ + x + 1 = 0 má reálne riešenie v intervale [-1,0].

referencie

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Príručka matematiky pre inžinierov a študentov ... Redakcia MIR.
2. George, A. (1994). Matematika a myseľ. Oxford University Press.
3. Ilín V, P.E. (1991). Matematická analýza V troch zväzkoch ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Učitelia stredného vzdelávania. Zväzok II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Základné vlastnosti analýzy v R. Editores, 20. december.
6. Piskunov, N. (1980). Diferenciálny a integrálny počet ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematika pre ekonomickú analýzu. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Nepretržitá symetria: Od Euclida po Kleina. Americká matematická sociológia.