Bernoulliho veta Bernoulliho rovnica, aplikácie a vyriešené cvičenia

Bernoulliho teorém, ktorý opisuje správanie sa tekutiny v pohybe, vyjadril matematik a fyzik Daniel Bernoulli vo svojej práci hydrodynamiky. Podľa princípu, ideálna tekutina (bez trenia alebo viskozity), ktorá je v obehu uzavretým potrubím, bude mať v ceste konštantnú energiu.

Veta môže byť odvodená z princípu zachovania energie a dokonca z Newtonovho druhého zákona pohybu. Okrem toho, Bernoulliho princíp tiež uvádza, že zvýšenie rýchlosti tekutiny znamená zníženie tlaku, ktorému je vystavený, zníženie jeho potenciálnej energie alebo oboje súčasne..

Veta má mnoho rôznych aplikácií, a to tak vo svete vedy, ako aj v každodennom živote ľudí.

Jeho dôsledky sú prítomné v sile lietadiel, v komínoch domov a priemyselných odvetví, vo vodovodných potrubiach, okrem iných oblastí..

index

• 1 Bernoulliho rovnica
  • 1.1 Zjednodušený formulár
• 2 Aplikácie
• 3 Cvičenie riešené
• 4 Odkazy

Bernoulliho rovnica

Hoci Bernoulli bol ten, kto odvodil, že tlak sa zvyšuje, keď sa rýchlosť prúdenia zvyšuje, pravda je taká, že to bol práve Leonhard Euler, ktorý v skutočnosti vyvinul Bernoulliho rovnicu spôsobom, aký je v súčasnosti známy..

Bernoulliho rovnica, ktorá nie je ničím iným ako matematickým vyjadrením jeho vety, je v každom prípade nasledovná:

proti² ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = konštanta

V tomto výraze v je rýchlosť tekutiny cez uvažovaný úsek, ƿ je hustota tekutiny, P je tlak tekutiny, g je hodnota gravitačného zrýchlenia a z je výška meraná v smere. gravitácie.

V Bernoulliho rovnici je implicitné, že energia tekutiny pozostáva z troch zložiek:

- Kinetická zložka, ktorá je výsledkom rýchlosti, ktorou sa tekutina pohybuje.

- Potencionálna alebo gravitačná zložka, ktorá je spôsobená výškou, v ktorej sa kvapalina nachádza.

- Tlaková energia, ktorá je to, čo tekutina vlastní v dôsledku tlaku, ktorému je vystavená.

Na druhej strane, Bernoulliho rovnica môže byť tiež vyjadrená takto:

proti₁² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

Tento posledný výraz je veľmi praktický na analýzu zmien, ktoré tekutina zažíva, keď sa jeden z prvkov, ktoré tvoria rovnicu, mení.

Zjednodušená forma

Pri určitých príležitostiach je zmena termínu ρgz Bernoulliho rovnice minimálna v porovnaní s tým, čo zažívajú ostatné termíny, takže je možné ju zanedbať. To sa napríklad deje v prúdoch, ktoré lietadlo za letu zažíva.

Pri týchto príležitostiach je Bernoulliho rovnica vyjadrená takto:

P + q = P₀

V tomto výraze q je dynamický tlak a rovná sa v ² ∙ ƿ / 2 a P₀ je to, čo sa nazýva celkový tlak a je súčtom statického tlaku P a dynamického tlaku q.

aplikácie

Bernoulliho teorém má mnoho a rôznorodých aplikácií v takých oblastiach, ako je veda, inžinierstvo, šport atď..

Zaujímavá aplikácia sa nachádza v konštrukcii komínov. Komíny sú postavené vysoko, aby sa dosiahol väčší tlakový rozdiel medzi základňou a výstupom komína, vďaka čomu je ľahšie extrahovať spaliny..

Samozrejme, Bernoulliho rovnica platí aj pre štúdium pohybu kvapalinových tokov v potrubiach. Z rovnice vyplýva, že redukcia priečneho povrchu rúry, aby sa zvýšila rýchlosť tekutiny prechádzajúcej cez ňu, tiež znamená zníženie tlaku..

Bernoulliho rovnica sa používa aj v letectve a vo vozidlách Formule 1. V prípade leteckej dopravy je Bernoulliho efekt pôvodom podpory lietadiel..

Krídla lietadla sú navrhnuté s cieľom dosiahnuť väčší prietok vzduchu v hornej časti krídla.

V hornej časti krídla je teda rýchlosť vzduchu vysoká a tým aj nižší tlak. Tento rozdiel tlaku vytvára silu smerovanú vertikálne smerom nahor (zdvíhacia sila), ktorá umožňuje lietadlám držať sa vo vzduchu. Podobný efekt sa dosiahol u krídeliek vozidiel Formule 1. \ t.

Určené cvičenie

Cez potrubie s prierezom 4,2 cm² prúd vody prúdi pri 5,18 m / s. Voda klesá z výšky 9,66 m na nižšiu úroveň s výškou nula, zatiaľ čo priečny povrch rúry sa zvyšuje na 7,6 cm.².

a) Vypočítajte rýchlosť prúdenia vody na nižšej úrovni.

b) Stanovte tlak v nižšej úrovni s vedomím, že tlak v hornej úrovni je 152000 Pa.

riešenie

a) Keďže tok musí byť zachovaný, je splnené, že:

Q_{najvyššej úrovni} = Q_{nižšej úrovni}

 proti₁ . S₁ = v₂ . S₂

 5,18 m / s. 4,2 cm² = v₂ . 7,6 cm ^²

Zúčtovanie:

proti₂ = 2,86 m / s

b) Uplatnenie Bernoulliho teorému medzi dvoma úrovňami a zohľadnenie, že hustota vody je 1000 kg / m³ , dostanete, že:

proti₁² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 kg / m³ . (5,18 m / s)² + 152000 + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m³ . (2,86 m / s)² + P₂ + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 0 m

Zúčtovanie P₂ dostanete sa na:

P₂ = 257926,4 Pa

referencie

1. Bernoulliho princíp. (N. D.). Vo Wikipédii. Získané 12. mája 2018, z es.wikipedia.org.
2. Bernoulliho princíp. (N. D.). Vo Wikipédii. Získané 12. mája 2018, z en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Úvod do dynamiky tekutín. Cambridge University Press.
4. Lamb, H. (1993). hydrodynamiky (6. vydanie). Cambridge University Press.
5. Mott, Robert (1996). Mechanika aplikovaných kvapalín (4. vydanie). Mexiko: Pearson Education.