Bayesova teoréma vysvetlenie, aplikácie, cvičenia



Bayesova veta je postup, ktorý nám umožňuje vyjadriť podmienenú pravdepodobnosť náhodnej udalosti A danej B, z hľadiska rozdelenia pravdepodobnosti danej udalosti B a pravdepodobnostného rozdelenia iba A.

Táto veta je veľmi užitočná, pretože vďaka nej môžeme priradiť pravdepodobnosť, že udalosť A nastane s vedomím, že nastal B, s pravdepodobnosťou, že opak nastane, to znamená, že B nastane A.

Bayesova veta bola strieborným návrhom reverenda Thomasa Bayesa, anglického teológa z 18. storočia, ktorý bol tiež matematikom. On bol autorom niekoľkých diel v teológii, ale je v súčasnej dobe známy pre niekoľko matematických pojednaní, medzi ktorými vyššie uvedený Bayes teorém vystupuje ako hlavný výsledok..

Bayes sa zaoberal týmto veta v dokumente s názvom "Esej k riešeniu problému v doktríne šancí", uverejnenej v roku 1763, a na ktorom boli vyvinuté veľké diela na riešenie problému doktríny možností. Štúdie s aplikáciami v rôznych oblastiach vedomostí.

index

  • 1 Vysvetlenie
  • 2 Aplikácie Bayesovej vety
    • 2.1 Vyriešené cvičenia
  • 3 Odkazy

vysvetlenie

Po prvé, pre ďalšie pochopenie tejto vety sú potrebné niektoré základné pojmy teórie pravdepodobnosti, najmä multiplikačná veta pre podmienenú pravdepodobnosť, ktorá uvádza, že

Pre E a A ľubovoľné udalosti priestoru vzorky S.

A definícia oddielov, ktorá nám hovorí, že ak máme A1 ,2,..., An udalosti vzorového priestoru S, budú tvoriť oddiel S, ak Aja navzájom sa vylučujú a ich spojenie je S.

S týmto nechať B byť ďalšie udalosti. Potom môžeme vidieť B ako

Kde Aja prelínajú s B sú vzájomne sa vylučujúce podujatia.

A následne,

Potom, použitím multiplikačného teorému

Na druhej strane podmienená pravdepodobnosť Ai B je definovaná

Substitúcia primerane musíme pre všetky i

Aplikácie Bayesovej vety

Vďaka tomuto výsledku sa výskumným skupinám a rôznym spoločnostiam podarilo zlepšiť systémy založené na vedomostiach.

Napríklad pri štúdiu chorôb môže Bayesova veta pomôcť rozpoznať pravdepodobnosť, že sa choroba nájde v skupine ľudí s danou vlastnosťou, pričom sa ako údaje berú do úvahy celkové miery ochorenia a prevaha uvedených charakteristík. ľudí, zdravých aj chorých.

Na druhej strane vo svete špičkových technológií ovplyvnil veľké spoločnosti, ktoré vďaka tomuto výsledku vyvinuli softvér „Based on Knowledge“..

Ako každodenný príklad máme asistenta balíka Microsoft Office. Bayesova veta pomáha softvéru vyhodnotiť problémy, ktoré užívateľ prezentuje, a určiť, aké rady poskytnúť, a tak byť schopný ponúkať lepšie služby podľa zvykov používateľa..

Treba poznamenať, že tento vzorec bol až donedávna ignorovaný, je to hlavne kvôli tomu, že keď bol tento výsledok vyvinutý pred 200 rokmi, pre nich bolo málo praktického využitia. V našej dobe však vedci vďaka veľkým technologickým pokrokom dosiahli spôsoby, ako tento výsledok uviesť do praxe.

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Bunková spoločnosť má dva stroje A a B. 54% vyrobených mobilných telefónov vyrába stroj A a zvyšok strojom B. Nie všetky vyrobené mobilné telefóny sú v dobrom stave.

Podiel chybných mobilných telefónov A je 0,2 a B je 0,5. Aká je pravdepodobnosť, že mobilný telefón uvedenej továrne je chybný? Aká je pravdepodobnosť, že s vedomím, že mobilný telefón je chybný, pochádza zo stroja A?

riešenie

Tu máte experiment, ktorý sa vykonáva v dvoch častiach; v prvej časti nastanú udalosti:

A: mobilný telefón vyrobený strojom A.

B: mobilný telefón vyrobený strojom B.

Keďže stroj A vyrába 54% mobilných telefónov a zvyšok vyrába stroj B, stroj B vyrába 46% mobilných telefónov. Uvádzajú sa pravdepodobnosti týchto udalostí, a to:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Udalosti druhej časti experimentu sú:

D: chybná bunka.

E: nepoškodená bunka.

Ako sa uvádza vo vyhlásení, pravdepodobnosť týchto udalostí závisí od výsledku získaného v prvej časti:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Pomocou týchto hodnôt môžete tiež určiť pravdepodobnosť komplementu týchto udalostí:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

a

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Teraz možno udalosť D zapísať nasledovne:

Použitím násobiteľnej vety o podmieňovanej pravdepodobnosti je výsledkom:

S ktorou je zodpovedaná prvá otázka.

Teraz musíme len vypočítať P (A | D), pre ktorý platí Bayesova veta:

Vďaka Bayesovej teoréme možno povedať, že pravdepodobnosť, že mobilný telefón bol vyrobený strojom A, s vedomím, že mobilný telefón je chybný, je 0.319.

Cvičenie 2

Tri boxy obsahujú biele a čierne gule. Zloženie každého z nich je nasledovné: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Jeden z boxov sa vyberie náhodne a náhodne sa z neho vyberie náhodná guľa, ktorá sa ukáže ako biela. Ktorá je najpravdepodobnejšia škatuľa?

riešenie

Prostredníctvom U1, U2 a U3 budeme reprezentovať aj zvolený box.

Tieto udalosti predstavujú rozdelenie S a overuje sa, že P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, pretože výber poľa je náhodný.

Ak B = extrahovaná guľa je biela, budeme mať P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Chceme získať pravdepodobnosť, že lopta bola vyňatá z krabice Ui s vedomím, že lopta bola biela, to znamená P (Ui | B), a zistiť, ktorá z týchto troch hodnôt bola najvyššia, ktorá je známa, box bol s najväčšou pravdepodobnosťou extrakcia bielej gule.

Použitie Bayesovej vety na prvé z polí:

A pre ostatné dva:

P (U2 | B) = 2/6 a P (U3 | B) = 1/6.

Potom je prvá z boxov tá, ktorá má vyššiu pravdepodobnosť, že bude vybraná na extrakciu bielej gule.

referencie

  1. Kai Lai Chung Elementárna teória pravdepodobnosti so stochastickými procesmi. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Diskrétna matematika a jej aplikácie. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Pravdepodobnosť a štatistické aplikácie. Inc. MEXIKO ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskrétne matematické problémy. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teória a problémy pravdepodobnosti. McGraw-Hill.