Vektor Algebra Základy, Magnitudes, Vektory



vektorová algebra je odbor matematiky zodpovedný za štúdium systémov lineárnych rovníc, vektorov, matíc, vektorových priestorov a ich lineárnych transformácií. Vzťahuje sa na oblasti ako inžinierstvo, riešenie diferenciálnych rovníc, funkčná analýza, operačný výskum, okrem iného počítačová grafika..

Ďalšou oblasťou, ktorá prijala lineárnu algebru, je fyzika, pretože bola vyvinutá na štúdium fyzikálnych javov, opisujúcich ich pomocou vektorov. To umožnilo lepšie pochopenie vesmíru.

index

  • 1 Základy
    • 1.1 Geometricky
    • 1.2 Analyticky
    • 1.3 Axiomaticky
  • 2 Magnitúd
    • 2.1 Škálová veľkosť
    • 2.2 Vektorová veličina
  • 3 Čo sú vektory?
    • 3.1 Modul
    • 3.2 Adresa
    • 3.3 Zmysel
  • 4 Klasifikácia vektorov
    • 4.1 Pevný vektor
    • 4.2 Voľný vektor
    • 4.3 Posuvný vektor
  • 5 Vlastnosti vektorov
    • 5.1
    • 5.2 Ekvivalentné vektory
    • 5.3 Rovnosť vektorov
    • 5.4 Opačné vektory
    • 5.5 Jednotkový vektor
    • 5.6 Nulový vektor
  • 6 Zložky vektora
    • 6.1 Príklady
  • 7 Operácie s vektormi
    • 7.1 Pridanie a odčítanie vektorov
    • 7.2 Násobenie vektorov
  • 8 Referencie

základy

Vektorová algebra vznikla zo štúdia kvartémií (rozšírenie reálnych čísel) 1, i, j, k, ako aj karteziánskej geometrie podporovanej Gibbsom a Heaviside, ktorí si uvedomili, že vektory budú slúžiť ako nástroj pre predstavujú rôzne fyzikálne javy.

Vektorová algebra je študovaná prostredníctvom troch základov:

geometricky

Vektory sú reprezentované čiarami, ktoré majú orientáciu a operácie ako je sčítanie, odčítanie a násobenie reálnymi číslami sú definované pomocou geometrických metód..

analyticky

Popis vektorov a ich operácií sa vykonáva pomocou čísel, nazývaných komponenty. Tento typ popisu je výsledkom geometrickej reprezentácie, pretože sa používa súradnicový systém.

axiomaticky

Urobí sa opis vektorov bez ohľadu na súradnicový systém alebo akýkoľvek typ geometrickej reprezentácie.

Štúdium obrázkov v priestore sa uskutočňuje prostredníctvom ich reprezentácie v referenčnom systéme, ktorý môže byť v jednom alebo viacerých rozmeroch. Medzi hlavné systémy patria:

- Jednorozmerný systém, čo je čiara, kde jeden bod (O) predstavuje pôvod a druhý bod (P) určuje mierku (dĺžku) a smer jej:

- Obdĺžnikový súradnicový systém (dvojrozmerný), ktorý sa skladá z dvoch kolmých čiar nazývaných os x a os y, ktoré prechádzajú bodom (O); týmto spôsobom je rovina rozdelená do štyroch oblastí nazývaných kvadranty. V tomto prípade je bod (P) v rovine daný vzdialenosťami, ktoré existujú medzi osami a P.

- Polárny súradnicový systém (dvojrozmerný). V tomto prípade sa systém skladá z bodu O (pôvod), ktorý sa nazýva stĺp a lúč s pôvodom O nazývaný polárna os. V tomto prípade je bod P roviny vzhľadom na pól a polárnu os daný uhlom (Ɵ), ktorý je tvorený vzdialenosťou medzi pôvodom a bodom P.

- Obdĺžnikový trojrozmerný systém tvorený tromi kolmými čiarami (x, y, z), ktoré majú v priestore bod O. Vytvoria sa tri súradnicové roviny: xy, xz a yz; priestor bude rozdelený do ôsmich oblastí nazývaných oktanty. Odkaz na bod P priestoru je daný vzdialenosťami, ktoré existujú medzi rovinami a P.

veličiny

Veľkosť je fyzická veličina, ktorá sa môže počítať alebo merať číselnou hodnotou, ako v prípade niektorých fyzikálnych javov; Často je však potrebné vedieť tieto javy opísať inými faktormi, ktoré nie sú numerické. Preto sú veličiny rozdelené do dvoch typov:

Skalárna veľkosť

Sú to také množstvá, ktoré sú definované a reprezentované číselne; to znamená modulom spolu s mernou jednotkou. Napríklad:

a) Čas: 5 sekúnd.

b) Hmotnosť: 10 kg.

c) Objem: 40 ml.

d) Teplota: 40 ° C.

Vektorová veľkosť

Sú to také množstvá, ktoré sú definované a reprezentované modulom spolu s jednotkou, ako aj zmyslom a smerom. Napríklad:

a) Rýchlosť: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Zrýchlenie: 13 m / s2; S 45 ° E.

c) Sila: 280 N, 120º.

d) Hmotnosť: -40 ĵ kg-f.

Vektorové veličiny sú graficky znázornené vektormi.

Čo sú vektory?

Vektory sú grafické znázornenia veľkosti vektora; to znamená, že sú to úseky priamky, v ktorých je ich posledný koniec špičkou šípky.

Tie sú určené dĺžkou modulu alebo segmentu, ich zmyslom, ktorý je vyznačený špičkou ich šípky a ich smerom podľa čiary, ku ktorej patria. Pôvod vektora je tiež známy ako miesto aplikácie.

Prvky vektora sú nasledovné:

modul

Je to vzdialenosť od začiatku ku koncu vektora, reprezentovaná reálnym číslom spolu s jednotkou. Napríklad:

OM | = | A | = A = 6 cm

adresa

Je to miera uhla, ktorá existuje medzi osou x (od pozitívnej) a vektorom, ako aj svetové strany (sever, juh, východ a západ)..

zmysel

Je daná šípkou, ktorá sa nachádza na konci vektora a udáva, kam smeruje.

Klasifikácia vektorov

Všeobecne sú vektory klasifikované ako:

Pevné vektor

Je to ten, ktorého miesto aplikácie (pôvod) je pevné; to znamená, že zostane zviazaný s bodom priestoru, dôvod, prečo v ňom nemôže byť premiestnený.

Voľný vektor

Môže sa voľne pohybovať v priestore, pretože jeho pôvod sa presúva do akéhokoľvek bodu bez zmeny jeho modulu, zmyslu alebo smeru.

Posuvný vektor

Je to ten, ktorý môže presunúť svoj pôvod pozdĺž línie svojej činnosti bez toho, aby zmenil svoj modul, zmysel alebo smer.

Vlastnosti vektorov

Medzi hlavné vlastnosti vektorov patria: \ t

Equipolentes vektory

Sú to tie voľné vektory, ktoré majú rovnaký modul, smer (alebo sú paralelné) a vnímajú, že posuvný vektor alebo pevný vektor.

Ekvivalentné vektory

Stáva sa to vtedy, keď dva vektory majú rovnakú adresu (alebo sú paralelné), rovnaký význam, a napriek tomu, že majú rôzne moduly a aplikačné body, spôsobujú rovnaké účinky.

Rovnosť vektorov

Majú rovnaký modul, smer a zmysel, aj keď ich východiskové body sú odlišné, čo umožňuje paralelnému vektoru pohybovať sa bez toho, aby ho ovplyvňoval..

Opačné vektory

Sú to tie, ktoré majú rovnaký modul a smer, ale ich zmysel je opačný.

Vektorová jednotka

Je to ten, v ktorom sa modul rovná jednotke (1). Toto sa získa delením vektora jeho modulom a používa sa na určenie smeru a zmyslu vektora, buď v rovine alebo v priestore, s použitím bázických alebo jednotných normalizovaných vektorov, ktorými sú:

Nulový vektor

Je to modul, ktorého modul sa rovná 0; to znamená, že ich miesto vzniku a extrém sa zhodujú v rovnakom bode.

Zložky vektora

Zložky vektora sú tie hodnoty projekcií vektora na osách referenčného systému; V závislosti od rozkladu vektora, ktorý môže byť v dvoch alebo troch dimenzionálnych osiach, sa získajú dve alebo tri zložky..

Zložky vektora sú reálne čísla, ktoré môžu byť kladné, záporné alebo dokonca nulové (0).

Ak teda máme vektor Â, ktorý pochádza z pravouhlého súradnicového systému v rovine xy (dvojrozmerná), projekcia na osi x je Āx a priemet na osi y je Āy. Vektor bude teda vyjadrený ako súčet jeho vektorov zložiek.

Príklady

Prvý príklad

Máme vektor Â, ktorý začína od počiatku a sú dané súradnice jeho koncov. Vektor Ā = (Âx;a) = (4; 5) cm.

Ak vektor Ā pôsobí pri vzniku trojrozmerného trojuholníkového súradnicového systému (v priestore) x, y, z, do iného bodu (P), priemety na jeho osiach budú Āx, Āy a Āz; vektor bude teda vyjadrený ako súčet jeho troch zložkových vektorov.

Druhý príklad

Máme vektor Â, ktorý začína od počiatku a sú dané súradnice jeho koncov. Vektor Ā = (A.)x;a; z) = (4; 6; -3) cm.

Vektory, ktoré majú svoje obdĺžnikové súradnice, sa môžu vyjadriť pomocou ich základných vektorov. Za týmto účelom sa musí každý súradnica vynásobiť príslušným vektorom jednotky tak, aby pre rovinu a priestor boli tieto:

Pre rovinu: Â = Axi + Aaj.

Pre priestor: À = Axi + Aaj + Azk.

Operácie s vektormi

Existuje mnoho veličín, ktoré majú modul, zmysel a smer, ako napríklad zrýchlenie, rýchlosť, posunutie, sila, medzi inými..

Aplikujú sa v rôznych oblastiach vedy a na ich aplikáciu je v niektorých prípadoch potrebné vykonávať operácie ako sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie vektorov a skalárov..

Pridanie a odčítanie vektorov

Sčítanie a odčítanie vektorov sa považuje za jednu algebraickú operáciu, pretože odčítanie môže byť zapísané ako súčet; napríklad odčítanie vektorov A a Ē môže byť vyjadrené ako:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Existujú rôzne metódy na vykonávanie sčítania a odčítania vektorov: môžu byť grafické alebo analytické.

Grafické metódy

Používa sa, keď má vektor modul, zmysel a smer. Na tento účel sa nakreslia čiary, ktoré tvoria obrázok, ktorý neskôr pomôže určiť výsledok. Medzi najznámejšie patria:

Metóda paralelogramu

Na pridanie alebo odčítanie dvoch vektorov sa na súradnicovej osi vyberie spoločný bod, ktorý bude reprezentovať bod pôvodu vektorov, pričom si zachová svoj modul, smer a smer..

Potom sa čiary nakreslia rovnobežne s vektormi, aby sa vytvoril paralelogram. Výsledný vektor je uhlopriečka, ktorá odchádza z bodu počiatku oboch vektorov až do vrcholu rovnobežníka:

Trojuholníková metóda

V tejto metóde sú vektory umiestnené jeden za druhým, pričom sa zachovávajú ich moduly, smery a smery. Výsledný vektor bude spojením pôvodu prvého vektora s koncom druhého vektora:

Analytické metódy

Pomocou geometrickej alebo vektorovej metódy môžete pridať alebo odčítať dva alebo viac vektorov:

Geometrická metóda

Keď dva vektory tvoria trojuholník alebo rovnobežník, modul a smer výsledného vektora možno určiť pomocou zákonov sínusového a kosínusového. Modul výsledného vektora, aplikujúci právo kosínus a metódou trojuholníka, je teda daný:

V tomto vzorci β je uhol opačný k strane R, a to je 180 ° - Ɵ.

Naproti tomu metódou rovnobežníka je výsledný vektorový modul:

Smer výsledného vektora je daný uhlom (a), ktorý tvorí výsledok s jedným z vektorov.

Podľa zákona sínusu, môže byť sčítanie alebo odčítanie vektorov uskutočnené aj trojuholníkovou alebo paralelogramovou metódou, s vedomím, že v každom trojuholníku sú strany úmerné prsiam uhlov:

Vektorová metóda

Toto sa môže uskutočniť dvomi spôsobmi: v závislosti od ich pravouhlých súradníc alebo ich základných vektorov.

Môže sa to uskutočniť prenesením vektorov, ktoré majú byť pridané alebo odpočítané na počiatok súradníc, a potom všetky projekcie na každej z osí pre rovinu (x, y) alebo medzeru (x, a z); nakoniec sú jeho komponenty pridané algebraicky. Takže pre lietadlo je to:

Modul výsledného vektora je:

Kým v priestore je:

Modul výsledného vektora je:

Pri vykonávaní vektorových súčtov sa používa niekoľko vlastností, ktorými sú:

- Asociatívna vlastnosť: výsledok sa nezmení pridaním dvoch vektorov a potom pridaním tretieho vektora.

- Komutatívna vlastnosť: poradie vektorov nemení výsledok.

- Vektorová distribučná vlastnosť: ak je skalár vynásobený súčtom dvoch vektorov, rovná sa násobeniu skaláru pre každý vektor.

- Skalárna distribučná vlastnosť: ak je vektor vynásobený súčtom dvoch skalárov, rovná sa násobeniu vektora pre každý skalárny.

Násobenie vektorov

Multiplikáciu alebo produkt vektorov možno vykonať ako sčítanie alebo odčítanie, ale tým stráca fyzický význam a takmer sa nenachádza v aplikáciách. Preto sú všeobecne najpoužívanejšími typmi produktov skalárny a vektorový produkt.

Skalárny produkt

Je tiež známy ako bodový produkt dvoch vektorov. Keď sú moduly dvoch vektorov vynásobené kosinusom vedľajšieho uhla, ktorý je medzi nimi vytvorený, získa sa skalárny. Na vloženie skalárneho produktu medzi dva vektory je medzi nimi umiestnený bod, ktorý možno definovať ako:

Hodnota uhla, ktorá existuje medzi dvoma vektormi, bude závisieť od toho, či sú rovnobežné alebo kolmé; Takže musíte:

- Ak sú vektory paralelné a majú rovnaký význam, cosine 0º = 1.

- Ak sú vektory paralelné a majú opačné zmysly, kosínus 180 ° = -1.

- Ak sú vektory kolmé, kosínus 90 ° = 0.

Tento uhol možno vypočítať aj s vedomím, že:

Skalárny produkt má nasledujúce vlastnosti:

- Komutatívna vlastnosť: poradie vektorov nemení skalárny.

-Distribučná vlastnosť: ak je skalár násobený súčtom dvoch vektorov, rovná sa násobeniu skaláru pre každý vektor.

Vektorový produkt

Výsledkom vektorového násobenia alebo krížového produktu dvoch vektorov A a B bude nový vektor C a exprimuje sa pomocou kríženia medzi vektormi:

Nový vektor bude mať svoje vlastné charakteristiky. Týmto spôsobom:

- Smer: tento nový vektor bude kolmý na rovinu, ktorá je určená pôvodnými vektormi.

- Zmysel: je určený pravidlom pravej ruky, kde sa vektor A otáča smerom k B tak, že prstami ukazuje smer rotácie a palcom je označený zmysel vektora.

- Modul: je určený násobením modulov vektorov AxB sínusom najmenšieho uhla, ktorý existuje medzi týmito vektormi. Vyjadruje sa:

Hodnota uhla, ktorá existuje medzi týmito dvoma vektormi, bude závisieť od toho, či sú rovnobežné alebo kolmé. Potom je možné potvrdiť nasledovné:

- Ak sú vektory paralelné a majú rovnaký význam, sin 0º = 0.

- Ak sú vektory paralelné a majú opačné zmysly, sínus 180 ° = 0.

- Ak sú vektory kolmé, sínus 90º = 1.

Ak je vektorový produkt vyjadrený ako jeho základné vektory, musí:

Skalárny produkt má nasledujúce vlastnosti:

- Nie je komutatívna: poradie vektorov mení skalár.

- Distribučná vlastnosť: ak je skalár násobený súčtom dvoch vektorov, rovná sa násobeniu skaláru pre každý vektor.

referencie

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Jednoduchá lineárna regresia." Nature Methods .
  2. Angel, A. R. (2007). Elementárna algebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr na Vectorial v príkladoch. Moskva: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Lineárna algebra a jej aplikácie. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Lineárna algebra: Vektorový priestor. Euklidovský vektorový priestor. Univerzita v Alicante.
  7. Mora, J. F. (2014). Lineárna algebra otčina.