Matematický logický pôvod, aké štúdie, typy



matematická logika alebo symbolická logika je matematický jazyk, ktorý obsahuje potrebné nástroje, pomocou ktorých možno matematické zdôvodnenie potvrdiť alebo poprieť.

Je dobre známe, že v matematike nie sú žiadne nejasnosti. Vzhľadom na matematický argument je toto platné alebo jednoducho nie je. Nemôže to byť zároveň falošné a pravdivé.

Osobitným aspektom matematiky je, že má formálny a prísny jazyk, prostredníctvom ktorého možno určiť platnosť odôvodnenia. Čo to robí určité odôvodnenie alebo akýkoľvek matematický dôkaz nevyvrátiteľný? O tom je matematická logika.

Logika je teda disciplína matematiky, ktorá je zodpovedná za štúdium matematických úvah a demonštrácií a poskytuje nástroje na to, aby bolo možné vyvodiť správny záver z predchádzajúcich výrokov alebo výrokov..

Na tento účel využíva axiómy a ďalšie matematické aspekty, ktoré budú vyvinuté neskôr.

index

  • 1 Pôvod a história
    • 1.1 Aristoteles
  • 2 Aké matematické logické štúdie?
    • 2.1 Návrhy
    • 2.2 Tabuľky pravdy
  • 3 Typy matematickej logiky
    • 3.1 Oblasti
  • 4 Odkazy

Pôvod a história

Presné termíny s ohľadom na mnohé aspekty matematickej logiky sú neisté. Väčšina bibliografií na túto tému však odhaľuje pôvod tohto antického Grécka.

Aristoteles

Začiatok prísneho zaobchádzania s logikou je čiastočne pripisovaný Aristotelovi, ktorý napísal súbor logických diel, ktoré neskôr zbierali a rozvíjali rôzni filozofi a vedci až do stredoveku. Toto by sa mohlo považovať za "starú logiku".

Potom, v tom, čo je známe ako súčasný vek, Leibniz, ťahaný hlbokou túžbou založiť univerzálny jazyk, aby matematicky uvažoval, a ďalší matematici ako Gottlob Frege a Giuseppe Peano, ovplyvnili najmä vývoj matematickej logiky s veľkými príspevkami. medzi nimi Axiomy Peano, ktoré formulujú nepostrádateľné vlastnosti prirodzených čísel.

Matematici George Boole a Georg Cantor boli v tomto období tiež veľkími vplyvmi, s dôležitými príspevkami v tabuľkách teórie a pravdivosti, okrem iných aspektov, booleovskej algebry (George Boole) a Axiom of Choice (George Cantor).

Tam je tiež Augustus De Morgan s dobre známymi zákonmi Morgan, ktorý kontemplovať popieranie, spojky, disjunctions a podmienené medzi propozície, kľúče pre rozvoj symbolickej logiky, a John Venn so slávnymi Venn diagramy.

V 20. storočí, približne medzi rokmi 1910 a 1913, Bertrand Russell a Alfred North Whitehead vynikajú svojím vydaním Principia mathematica, súbor kníh, ktoré zbierajú, rozvíjajú a postulujú sériu axiómov a logických výsledkov.

Aké matematické logické štúdie?

propozície

Matematická logika začína štúdiom výrokov. Návrh je tvrdenie, že bez akejkoľvek nejasnosti možno povedať, či je to pravda alebo nie. Nasledujú príklady návrhov:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • V roku 1930 došlo v Európe k zemetraseniu.

Prvý je pravdivý návrh a druhý je falošný návrh. Tretia, aj keď je možné, že osoba, ktorá ju číta, nevie, či je pravdivá alebo okamžite, je to vyhlásenie, ktoré možno overiť a určiť, či sa skutočne stalo alebo nie.

Nasledujú príklady výrazov, ktoré nie sú výroky:

  • Je blondína.
  • 2x = 6.
  • Poďme si zahrať!
  • Páči sa vám kino?

V prvom návrhu nie je špecifikované, kto je, preto nie je možné potvrdiť nič. V druhom návrhu nie je špecifikované to, čo predstavuje "x". Ak namiesto toho bolo povedané, že 2x = 6 pre niektoré prirodzené číslo x, v tomto prípade by to zodpovedalo tvrdeniu, v skutočnosti platí, pretože pre x = 3 je to splnené.

Posledné dve vyhlásenia nezodpovedajú tvrdeniu, pretože nie je možné ich odmietnuť alebo potvrdiť.

Pomocou známych prepojovacích konektorov (alebo konektorov) je možné kombinovať (alebo prepojiť) dve alebo viac návrhov. Sú to:

  • Popieranie: "Neprší".
  • Disjunkcia: "Luisa kúpila bielu alebo sivú tašku".
  • Spojenie: "42= 16 a 2 × 5 = 10 ".
  • Podmienečne: "Ak prší, potom poobede nechodím do posilňovne".
  • Biconditional: "Dnes popoludní idem do posilňovne, ak a len vtedy, ak to neprší".

Návrh, ktorý nemá žiadny z predchádzajúcich spojovacích prvkov, sa nazýva jednoduchý návrh (alebo atómový). Napríklad, "2 je menej ako 4", je jednoduchý návrh. Propozície, ktoré majú nejaké spojivo, sa nazývajú zložené výroky, ako napríklad „1 + 3 = 4 a 4 je párne číslo“.

Vyhlásenia urobené prostredníctvom propozícií sú zvyčajne dlhé, takže je zdĺhavé ich napísať vždy tak, ako sme to doteraz videli. Z tohto dôvodu sa používa symbolický jazyk. Propozície sú zvyčajne reprezentované veľkými písmenami ako napr P, Q, R, S, atď. A symbolické spojenie takto:

Tak, že

recipročné podmienečného návrhu

je návrh

A protikladných (alebo kontrapozitívne) návrhu

je návrh

Tabuľky pravdy

Ďalším dôležitým pojmom v logike je pravdivosť tabuliek pravdy. Hodnoty pravdivosti tvrdenia sú dve možnosti, ktoré sú k dispozícii pre návrh: pravda (ktorá bude označená ako V a jej hodnota pravdy bude označená ako V) alebo false (ktorá bude označená F a jej hodnota bude povedaná je to naozaj F).

Pravdivá hodnota zloženého návrhu závisí výlučne od pravdivosti hodnôt jednoduchých výrokov, ktoré sa v ňom objavujú.

Ak chceme pracovať všeobecnejšie, neberieme do úvahy špecifické výroky, ale premenné p, q, r, s, atď., ktoré budú predstavovať akékoľvek návrhy.

S týmito premennými a logickými prepojeniami sa vytvárajú dobre známe výrokové vzorce, ako sú konštruované zložené príkazy.

Ak je každá z premenných, ktoré sa objavia vo vzorcovom vzorci, nahradená návrhom, získa sa kompozitný návrh.

Nižšie sú pravdivé tabuľky pre logické prepojenia:

Existujú výrokové vzorce, ktoré vo svojej pravdivostnej tabuľke dostávajú len hodnotu V, to znamená, že posledný stĺpec ich tabuľky pravdy má len hodnotu V. Tento typ vzorcov je známy ako tautológie. Napríklad:

Nasleduje tabuľka pravdivosti vzorca

Hovorí sa, že vzorec α logicky znamená iný vzorec β, ak α je pravdivé zakaždým, keď je pravdivé β. To znamená, že v tabuľke pravdivosti α a β majú riadky, kde α má V, β aj V. Sú zaujímavé len riadky, v ktorých α má hodnotu V. Notácia pre logické implikácie je nasledovná: :

Nasledujúca tabuľka sumarizuje vlastnosti logického implikácie:

Hovorí sa, že dva výrokové vzorce sú logicky ekvivalentné, ak sú ich pravdivé tabuľky identické. Nasledujúca notácia sa používa na vyjadrenie logickej ekvivalencie:

Nasledujúce tabuľky sumarizujú vlastnosti logickej ekvivalencie:

Typy matematickej logiky

Existujú rôzne typy logiky, najmä ak vezmeme do úvahy pragmatickú alebo neformálnu logiku, ktorá poukazuje na filozofiu, okrem iných oblastí..

Čo sa týka matematiky, typy logiky by sa dali zhrnúť takto: \ t

  • Formálna alebo aristotelovská logika (antická logika).
  • Propozičná logika: je zodpovedná za štúdium všetkého, čo súvisí s platnosťou argumentov a propozícií s použitím formálneho jazyka a tiež symbolického.
  • Symbolická logika: zameraná na štúdium množín a ich vlastností, tiež s formálnym a symbolickým jazykom, a je hlboko spojená s výrokovou logikou.
  • Kombinatorická logika: jedna z najnovších, zahŕňa výsledky, ktoré môžu byť vyvinuté algoritmami.
  • Logické programovanie: používa sa v rôznych balíkoch a programovacích jazykoch.

oblasti

Medzi oblasťami, ktoré využívajú matematickú logiku nepostrádateľným spôsobom vo vývoji svojich úvah a argumentov, zdôrazňujú filozofiu, teóriu množín, teóriu čísel, konštruktívnu algebraickú matematiku a programovacie jazyky..

referencie

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, množiny a čísla. Mérida - Venezuela: Rada pre publikácie, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teórie čísel. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Základný kurz teórie čísel. Univerzita severu.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Ako rozvíjať matematické logické uvažovanie. Redakcia univerzity.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teória čísel. Redakčné vízie Knihy.