Zákony Morgana



Loči Morgana sú to pravidlá vyvodenia použité v výrokovej logike, ktoré určujú, čo je výsledkom odmietnutia disjunkcie a spojenia výrokov alebo výrokových premenných. Tieto zákony definoval matematik Augustus De Morgan.

Zákony Morgana predstavujú veľmi užitočný nástroj na preukázanie platnosti matematického uvažovania. Neskôr boli zovšeobecnené v rámci konceptu sád matematika Georgea Boolea.

Toto zovšeobecnenie vykonané Booleom je úplne ekvivalentné Morganovým počiatočným zákonom, ale je vyvinuté špeciálne pre súbory, nie pre návrhy. Toto zovšeobecnenie je tiež známe ako Morganove zákony.

index

  • 1 Prehľad výrokovej logiky
    • 1.1 Klam
    • 1.2 Návrhy
  • 2 Morganove zákony
    • 2.1 Demonštrácia
  • 3 Nastaví sa
    • 3.1 Únia, križovatka a komplety súprav
  • 4 Morganove zákony pre súbory
  • 5 Referencie

Prehľad výrokovej logiky

Predtým, než sa pozrieme na to, čo sú Morganove zákony konkrétne a ako sa používajú, je vhodné si zapamätať niektoré základné pojmy výrokovej logiky. (Viac informácií nájdete v článku výrokovej logiky).

V oblasti matematickej (alebo výrokovej) logiky je záver záverom, ktorý vychádza zo súboru priestorov alebo hypotéz. Tento záver spolu s uvedenými priestormi vedie k tomu, čo je známe ako matematické uvažovanie.

Toto odôvodnenie musí byť možné preukázať alebo odmietnuť; to znamená, že nie všetky závery alebo závery v matematickom uvažovaní sú platné.

klam

Falošný záver vychádzajúci z určitých predpokladov, o ktorých sa predpokladá, že sú pravdivé, je známy ako klam. Falošnosť má zvláštnosť, že sú argumenty, ktoré sa zdajú byť správne, ale matematicky nie.

Propozičná logika je zodpovedná za presný vývoj a poskytovanie metód, pomocou ktorých je možné bez nejasností overiť alebo vyvrátiť matematické uvažovanie; vyvodiť z priestorov platný záver. Tieto metódy sú známe ako pravidlá dedukcie, ktorých súčasťou sú aj Morganove zákony.

propozície

Základnými prvkami výrokovej logiky sú výroky. Propozície sú výroky, o ktorých možno povedať, či sú platné alebo nie, ale zároveň nemôžu byť pravdivé alebo nepravdivé. V tejto veci by nemala existovať žiadna nejednoznačnosť.

Rovnako ako čísla môžu byť kombinované operáciami sčítania, odčítania, násobenia a delenia, môžu byť výroky ovládané pomocou známych spojovacích (alebo konektorových) logických: negácií (¬, "nie"), disjunkcie (V , "O"), spojka (Ʌ, "a"), podmienená (→, "ak ..., potom ...") a biconditional (↔, "áno a len vtedy, ak").

Ak chceme pracovať všeobecnejšie, namiesto toho, aby sme uvažovali o špecifických výrokoch, uvažujeme o výrokových premenných, ktoré predstavujú akékoľvek výroky, a zvyčajne sa označujú malými písmenami p, q, r, s atď..

Propozičný vzorec je kombináciou výrokových premenných prostredníctvom niektorého logického prepojenia. Inými slovami, ide o zloženie výrokových premenných. Zvyčajne sa označujú gréckymi písmenami.

Hovorí sa, že výroková formulácia logicky znamená inú, ak je tá pravá zakaždým, keď je prvá pravda pravdivá. Označuje sa takto:

Ak je logická implikácia medzi dvomi výrokovými vzorcami recipročná - to znamená, keď predchádzajúca implikácia platí aj v opačnom smere - tieto vzorce sa označujú ako logicky ekvivalentné a označuje sa

Logická ekvivalencia je druh rovnosti medzi výrokovými vzorcami a umožňuje nahradiť jeden pre druhý v prípade potreby.

Zákony Morgana

Morganove zákony sa skladajú z dvoch logických ekvivalencií medzi dvoma formami výrokov, menovite:

Tieto zákony umožňujú oddeliť negáciu disjunkcie alebo spojenia, ako negácie príslušných premenných.

Prvá sa dá čítať nasledovne: negácia disjunkcie sa rovná spojeniu negácií. A druhá znie takto: negácia spojky je disjunkcia negácií.

Inými slovami, odmietnutie disjunkcie dvoch výrokových premenných je ekvivalentné spojeniu negácií oboch premenných. Podobne, odmietnutie spojenia dvoch výrokových premenných je ekvivalentné disjunkcii negácií oboch premenných.

Ako už bolo spomenuté, nahradenie tejto logickej ekvivalencie pomáha demonštrovať dôležité výsledky spolu s ďalšími existujúcimi pravidlami dedukcie. S nimi môžete zjednodušiť mnoho výrokových vzorcov, aby boli užitočnejšie.

Nasledujúci príklad je príkladom matematického dôkazu používajúceho pravidlá odvodenia, medzi týmito Morganovými zákonmi. Konkrétne sa ukazuje, že vzorec:

je ekvivalentná:

Toto je jednoduchšie pochopiť a rozvíjať.

show

Za zmienku stojí, že platnosť Morganových zákonov je možné demonštrovať matematicky. Jedným zo spôsobov je porovnanie vašich pravdivých tabuliek.

súpravy

Rovnaké pravidlá odvodzovania a pojmov logiky, ktoré sa uplatňujú na výroky, môžu byť tiež vyvinuté s ohľadom na množiny. To je to, čo je známe ako Boolean algebra, po matematik George Boole.

Na rozlíšenie prípadov je potrebné zmeniť notáciu a prenos do množín, všetky pojmy už videné v výrokovej logike.

Súbor je súbor objektov. Súpravy sú označené veľkými písmenami A, B, C, X, ... a prvky množiny sú označené malými písmenami a, b, c, x, atď. Ak prvok a patrí do množiny X, označuje sa ako:

Ak nepatrí do X, notácia je:

Spôsob reprezentovania množín je umiestnenie ich prvkov do kľúčov. Napríklad sada prirodzených čísel je reprezentovaná:

Sady môžu byť reprezentované aj bez toho, aby boli explicitne uvedené ich elementy. Môžu byť vyjadrené vo forme :. Tieto dva body sú čítané "tak, že". Premenná reprezentujúca prvky súpravy je umiestnená vľavo od dvoch bodov a vlastnosť alebo podmienka, ktorú spĺňajú, je umiestnená na pravej strane. Toto je:

Napríklad množina celých čísel väčších ako -4 môže byť vyjadrená ako:

Alebo ekvivalentne a skrátenejšie ako:

Podobne nasledujúce výrazy predstavujú množiny párnych a nepárnych čísel:

Únie, križovatky a komplety súprav

Ďalej uvidíme analógy logického prepojenia v prípade množín, ktoré sú súčasťou základných operácií medzi množinami.

A križovatke

Súbory a priesečníky množín sú definované nasledujúcim spôsobom:

Zvážte napríklad tieto množiny:

Potom musíte:

doplnok

Doplnok množiny je tvorený prvkami, ktoré nepatria do tejto množiny (rovnakého typu, aký predstavuje originál). Doplnok množiny A je označený:

Napríklad, v rámci prirodzených čísel, doplnok množiny párnych čísel je číslo nepárnych čísel a naopak.

Na určenie doplnku množiny musí byť jasné od začiatku univerzálny alebo hlavný súbor prvkov, ktoré sa zvažujú. Napríklad nie je rovnocenné zvážiť doplnok množiny na prirodzené čísla, ktoré sú na racionálnych číslach.

Nasledujúca tabuľka zobrazuje vzťah alebo analógiu, ktorá existuje medzi operáciami na vopred definovaných množinách a spojovacie prvky výrokovej logiky:

Zákony Morgana pre súbory

A nakoniec, Morganove zákony o súboroch sú:

Slovami: doplnok únie je križovatkou doplnkov a doplnok križovatky je spojením komplementov..

Matematickým dôkazom prvej rovnosti by boli:

Demonštrácia druhého je analogická.

referencie

  1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Editorial Limusa.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Logika, množiny a čísla. Mérida - Venezuela: Rada pre publikácie, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teórie čísel. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Základný kurz teórie čísel. Univerzita severu.
  5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Ako rozvíjať matematické logické uvažovanie. Redakcia univerzity.
  6. Guevara, M. H. (s.f.). Teória čísel. EUNED.
  7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teória čísel. Redakčné vízie Knihy.