Zákony exponentov (s príkladmi a cvičeniami)

zákony exponentov sú tie, ktoré sa vzťahujú na toto číslo, ktoré udáva, koľkokrát musí byť základné číslo vynásobené samotným číslom. Exponenty sú tiež známe ako sily. Potenciacia je matematická operácia pozostávajúca zo základne (a), exponentu (m) a sily (b), ktorá je výsledkom operácie.

Exponenty sa všeobecne používajú, keď sa používajú veľmi veľké množstvá, pretože to nie sú viac ako skratky, ktoré predstavujú násobenie toho istého čísla v určitom počte krát. Exponenty môžu byť pozitívne aj negatívne.

index

• 1 Vysvetlenie zákonov exponentov
  • 1.1 Prvé právo: exponentná sila rovná 1
  • 1.2 Druhé právo: exponentná sila rovná 0
  • 1.3 Tretí zákon: negatívny exponent
  • 1.4 Štvrtý zákon: násobenie moci s rovnakým základom
  • 1.5 Piaty zákon: rozdelenie moci s rovnakým základom
  • 1.6 Šiesty zákon: násobenie právomocí s iným základom
  • 1.7 Siedmy zákon: rozdelenie právomocí s iným základom
  • 1.8 Ôsmy zákon: sila moci
  • 1.9 Deviaty zákon: zlomkový exponent
• 2 Riešené úlohy
  • 2.1 Cvičenie 1
  • 2.2 Cvičenie 2
• 3 Odkazy

Vysvetlenie zákonov exponentov

Ako už bolo uvedené, exponenty sú skrátenou formou, ktorá predstavuje násobenie čísel niekoľkokrát, pričom exponent sa vzťahuje len na číslo vľavo. Napríklad:

2³ = 2x2 * 2 = 8

V tomto prípade číslo 2 je základom výkonu, ktorý sa vynásobí 3-násobkom, ako je uvedené exponentom, umiestneným v pravom hornom rohu základne. Existujú rôzne spôsoby čítania výrazu: 2 zvýšené na 3 alebo tiež 2 zvýšené na kocku.

Exponenty tiež udávajú, koľkokrát môžu byť rozdelené, a na rozlíšenie tejto operácie od násobenia exponent nesie znamienko mínus (-) pred ním (je záporné), čo znamená, že exponent je v menovateli frakcie. Napríklad:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

To by sa nemalo zamieňať s prípadom, v ktorom je báza záporná, pretože bude závisieť od toho, či exponent je dokonca alebo nepárny, aby určil, či bude moc pozitívna alebo negatívna. Takže musíte:

- Ak je exponent vyrovnaný, moc bude pozitívna. Napríklad:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Ak je exponent nepárny, výkon bude záporný. Napríklad:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Existuje špeciálny prípad, keď ak je exponent rovný 0, výkon je rovný 1. Existuje tiež možnosť, že základňa je 0; v tomto prípade, v závislosti od vystavenia, bude výkon neurčitý alebo nie.

Na vykonávanie matematických operácií s exponentmi je potrebné dodržiavať niekoľko pravidiel alebo pravidiel, ktoré uľahčujú nájdenie riešenia pre tieto operácie..

Prvé právo: exponentná mocnina rovná 1

Ak je exponent 1, výsledkom bude rovnaká hodnota základne: a¹ = a.

Príklady

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Druhé právo: exponentná mocnina rovná 0

Ak je exponent 0, ak je základňa nenulová, výsledkom bude :, a⁰ = 1.

Príklady

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Tretí zákon: negatívny exponent

Keďže exponte je negatívny, výsledkom bude zlomok, kde bude menovateľom moc. Napríklad, ak je m kladné, potom a^-m = 1 / a^m.

Príklady

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Štvrtý zákon: násobenie moci s rovnakým základom

Na násobenie síl, kde sú bázy rovnaké a odlišné od 0, sa báza udržuje a exponenty sa pridávajú: a^m _* naⁿ = a^{m + n}.    

Príklady

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2^{2 + 9} = 2¹¹

Piaty zákon: rozdelenie moci s rovnakým základom

Na rozdelenie právomocí, v ktorých sú bázy rovnaké a odlišné od 0, je báza zachovaná a exponenty sú odčítané nasledovne: a^m / aⁿ = a^m-n.    

Príklady

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Šiesty zákon: násobenie právomocí s iným základom

V tomto zákone máme opak toho, čo je vyjadrené vo štvrtej; to znamená, že ak existujú rôzne základy, ale s rovnakými exponentmi, bázy sa vynásobia a exponent sa zachová: a^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Príklady

- 10² _* 20² = (10) _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (45 * 9)^{11 =} 405¹¹.

Ďalší spôsob, ako reprezentovať tento zákon, je, keď sa násobenie zvýši na moc. Exponent teda bude patriť ku každému z výrazov: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Príklady

- (5_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

Siedmy zákon: rozdelenie právomocí s iným základom

Ak existujú rôzne základy, ale s rovnakými exponentmi, bázy sú rozdelené a exponent je zachovaný: a^m / b^m = (a / b)^m.

Príklady

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

Podobne, keď je rozdelenie povýšené na moc, exponent bude patriť ku každému z výrazov: (a) b) ^m = a^m / b^m.

Príklady

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25.05)² = 25² / 5² = 5².

Existuje prípad, v ktorom je exponent negatívny. Aby sme boli pozitívni, hodnota čitateľa je invertovaná k hodnote menovateľa takto:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Ôsmy zákon: sila moci

Ak máte silu, ktorá je zvýšená na inú moc - to znamená, že sú dva exponenty v rovnakom čase - základňa je udržiavaná a exponenty sa násobia: (a)^m)ⁿ= a^{m *n}.

Príklady

- (8³)² = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Deviaty zákon: zlomkový exponent

Ak má moc zlomok ako exponent, je vyriešená transformáciou na n-tý koreň, kde čitateľ zostáva ako exponent a menovateľ predstavuje koreňový index:

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Vypočítajte operácie medzi silami, ktoré majú rôzne bázy:

2⁴_* 4⁴ / 8².

riešenie

Použitím pravidiel exponentov, v čitateli sa základy vynásobia a exponent sa zachová, ako je tento:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (2)_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Keďže máme rovnaké základy, ale s rôznymi exponentmi, základňa je zachovaná a exponenty sú odpočítané:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Cvičenie 2

Vypočítajte operácie medzi vysokými výkonmi na iný výkon:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_* (2²)³

riešenie

Ak použijete zákony, musíte:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_* (2²)³

= 3⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶_* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3)_*2)⁶

= 6⁶

= 46,656

referencie

1. Aponte, G. (1998). Základy základnej matematiky. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematika aplikovaná na každodenný život.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matematika 1 SEP.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra a trigonometria.
5. Rees, P. K. (1986). Reverte.