Metóda syntetickej divízie a riešené úlohy

syntetické delenie je to jednoduchý spôsob rozdelenia polynómu P (x) ľubovoľným z tvarov d (x) = x - c. Je to veľmi užitočný nástroj, pretože okrem toho, že nám umožňuje rozdeliť polynómy, tiež nám umožňuje vyhodnotiť polynóm P (x) v ľubovoľnom čísle c, ktorý nám zase hovorí, či je toto číslo nula alebo nie polynómu..

Vďaka algoritmu delenia vieme, že ak máme dva polynómy P (x) a d (x) nie konštantné, existujú polynómy q (x) a r (x) jedinečné, že je pravda, že P (x) = q (x) d (x) + r (x), kde r (x) je nula alebo je menšie ako q (x). Tieto polynómy sú známe ako kvocient a zvyšok alebo zvyšok.

V prípadoch, keď polynóm d (x) má tvar x-c, syntetické delenie nám dáva krátky spôsob zistenia, ktorí sú q (x) a r (x).

index

• 1 Metóda syntetického delenia
• 2 Riešené úlohy
  • 2.1 Príklad 1
  • 2.2 Príklad 2
  • 2.3 Príklad 3
  • 2.4 Príklad 4
• 3 Odkazy

Metóda syntetického delenia

Nech P (x) = a_nxⁿ+na_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ polynóm chceme rozdeliť a d (x) = x-c deliteľ. Na rozdelenie metódou syntetického delenia postupujeme nasledovne:

1 - V prvom riadku zapíšeme koeficienty P (x). Ak sa neobjaví žiadna mocnina X, ako jej koeficient zadáme nulu.

2- V druhom riadku, vľavo od a_n miesto c a nakreslite deliace čiary tak, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:

3- Znižujeme počiatočný koeficient na tretí riadok.

V tomto výraze b_n-1= a_n

4- Vynásobíme c počiatočným koeficientom b_n-1 a výsledok sa zapíše do druhého riadku, ale do stĺpca vpravo.

5- Pridáme stĺpec, do ktorého sme napísali predchádzajúci výsledok a výsledok, ktorý sme mu dali pod túto sumu; to znamená v tom istom stĺpci, tretí riadok.

Výsledkom je pridanie_n-1+c * b_n-1, ktoré pre pohodlie zavoláme b_n-2

6- Vynásobíme c predchádzajúcim výsledkom a výsledok zapíšeme napravo v druhom riadku.

7- Opakujeme kroky 5 a 6, až kým nedosiahneme koeficient a₀.

8- Napíšte odpoveď; to znamená kvocient a zvyšok. Keďže sme ovplyvnili rozdelenie polynómu stupňa n medzi polynómom stupňa 1, máme, že vážny kvocient stupňa n-1.

Koeficienty polynómu kvocientu budú čísla tretieho riadku okrem posledného, ​​ktorý bude reziduálny polynóm alebo zvyšok delenia.

Vyriešené cvičenia

Príklad 1

Vykonajte nasledujúce rozdelenie metódou syntetického delenia:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

riešenie

Najprv napíšeme koeficienty dividend takto:

Potom napíšeme c na ľavej strane, v druhom rade, spolu s deliacimi čiarami. V tomto príklade c = -1.

Znižujeme počiatočný koeficient (v tomto prípade b_n-1 = 1) a vynásobte číslom -1:

Výsledok napíšeme vpravo v druhom riadku, ako je uvedené nižšie:

Do druhého stĺpca pridáme čísla:

Vynásobíme 2 číslom -1 a výsledok zapíšeme do tretieho stĺpca, druhý riadok:

Pridáme do tretieho stĺpca:

Postupujeme analogicky, až kým nedosiahneme posledný stĺpec:

Máme teda to, že posledné získané číslo je zvyšok delenia a zvyšné čísla sú koeficienty polynómu kvocientu. Toto je napísané takto:

Ak chceme overiť, či je výsledok správny, stačí overiť, či je splnená nasledujúca rovnica:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Môžeme teda overiť, že získaný výsledok je správny.

Príklad 2

Vykonajte ďalšie delenie polynómov metódou syntetického delenia

(7x³-x + 2): (x + 2)

riešenie

V tomto prípade máme termín x² neobjaví sa, takže napíšeme 0 ako jeho koeficient. Takže polynóm by bol ako 7x³+0x²-x + 2.

Napíšeme ich koeficienty v rade, to je:

Hodnotu C = -2 zapíšeme na ľavú stranu v druhom riadku a nakreslíme deliace čiary.

Znižujeme počiatočný koeficient b_n-1 = 7 a vynásobíme ho -2, zapíšeme výsledok do druhého riadku vpravo.

Pridáme a budeme postupovať tak, ako bolo vysvetlené vyššie, kým nedosiahneme posledný termín:

V tomto prípade je zvyšok r (x) = - 52 a získaný kvocient je q (x) = 7x²-14x + 27.

Príklad 3

Ďalší spôsob použitia syntetického delenia je nasledovné: predpokladajme, že máme polynóm P (x) stupňa n a chceme vedieť, čo je hodnota pri jeho hodnotení v x = c.

Algoritmom delenia máme, že môžeme napísať polynóm P (x) nasledujúcim spôsobom:

V tomto výraze q (x) a r (x) sú kvocient a zvyšok, v danom poradí. Teraz, ak d (x) = x-c, pri hodnotení v c v polynómu nájdeme nasledovné:

Na to potrebujeme len nájsť r (x), a to vďaka syntetickej divízii.

Napríklad máme polynóm P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37x-37 a chceme vedieť, aká je jeho hodnota pri hodnotení v x = 5. Pre túto metódu vykonáme delenie medzi P (x) a d (x) = x -5 metódou syntetického delenia:

Akonáhle sú operácie vykonané, vieme, že môžeme písať P (x) nasledujúcim spôsobom:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Preto pri hodnotení musíme:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Ako môžeme vidieť, je možné použiť syntetické delenie na nájdenie hodnoty polynómu pri jeho vyhodnocovaní v c namiesto namiesto nahradenia c x. 

Ak by sme sa snažili hodnotiť P (5) tradičným spôsobom, museli by sme vykonať niektoré výpočty, ktoré majú tendenciu byť únavné.

Príklad 4

Algoritmus delenia pre polynómy je tiež splnený pre polynómy s komplexnými koeficientmi av dôsledku toho, že metóda syntetického delenia funguje aj pre uvedené polynómy. Ďalej uvidíme príklad.

Použijeme metódu syntetického delenia, aby sme ukázali, že z = 1+ 2i je nula polynómu P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); to znamená, že zvyšok delenia P (x) medzi d (x) = x - z sa rovná nule.

Postupujeme ako predtým: v prvom riadku zapíšeme koeficienty P (x), potom v druhom napíšeme z a nakreslíme deliace čiary.

Rozdelili sme divíziu ako predtým; toto je:

Vidíme, že zvyšok je nula; preto konštatujeme, že z = 1+ 2i je nula P (x).

referencie

1. Baldor Aurelio. algebra. Redakčná skupina Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Graf, numerický, algebraický 7. vydanie Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. precalculus 4. Ed. Pearson Education.
5. Red. Armando O. Algebra 1 6. Ed. Athenaeum.