Rozdelenie diskrétnych charakteristík pravdepodobnosti a cvičení

Diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti sú funkcia, ktorá priradí každému prvku X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., kde X je daná diskrétna náhodná veličina a S je jej vzorový priestor, pravdepodobnosť, že uvedená udalosť nastane. Táto funkcia f X (S) definovaná ako f (xi) = P (X = xi) sa niekedy nazýva funkciou pravdepodobnostnej hmotnosti.

Táto hmotnosť pravdepodobností je zvyčajne reprezentovaná ako tabuľka. Pretože X je diskrétna náhodná premenná, X (S) má konečný počet udalostí alebo počítateľné nekonečno. Medzi najčastejšie diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti máme rovnomerné rozdelenie, binomické rozdelenie a Poissonovo rozdelenie.

index

• 1 Charakteristiky
• 2 Typy
  • 2.1 Jednotné rozdelenie na n bodov
  • 2.2 Binomické rozdelenie
  • 2.3 Poissonovo rozdelenie
  • 2.4 Hypergeometrické rozdelenie
• 3 Riešené úlohy
  • 3.1 Prvé cvičenie
  • 3.2 Druhé cvičenie
  • 3.3 Tretie cvičenie
  • 3.4 Tretie cvičenie
• 4 Odkazy

rysy

Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti musí spĺňať tieto podmienky:

Tiež, ak X trvá len konečný počet hodnôt (napríklad x1, x2, ..., xn), potom p (xi) = 0, ak i> ny, teda nekonečná séria podmienok b sa stáva konečných sérií.

Táto funkcia spĺňa aj tieto vlastnosti:

Nech B je udalosť spojená s náhodnou premennou X. To znamená, že B je obsiahnutý v X (S). Predpokladajme, že B = xi1, xi2, .... Z tohto dôvodu:

Inými slovami: pravdepodobnosť udalosti B sa rovná súčtu pravdepodobností jednotlivých výsledkov spojených s B.

Z toho môžeme vyvodiť, že ak a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

typ

Jednotné rozdelenie na n bodov

Hovorí sa, že náhodná premenná X sleduje distribúciu, ktorá je charakterizovaná tým, že je jednotná v n bodoch, ak každej hodnote je priradená rovnaká pravdepodobnosť. Jeho funkcia pravdepodobnostnej hmotnosti je:

Predpokladajme, že máme experiment, ktorý má dva možné výsledky, môže to byť hodenie mince, ktorej možné výsledky sú tvár alebo pečiatka, alebo výber celého čísla, ktorého výsledkom môže byť párne číslo alebo nepárne číslo; tento typ experimentu je známy ako Bernoulliho testy.

Všeobecne platí, že dva možné výsledky sa nazývajú úspech a neúspech, kde p je pravdepodobnosť úspechu a 1-p zlyhania. Môžeme určiť pravdepodobnosť x úspechov v n Bernoulliho testoch, ktoré sú na sebe nezávislé s nasledujúcou distribúciou.

Binomické rozdelenie

Je to práve táto funkcia, ktorá predstavuje pravdepodobnosť získania x úspechov v n nezávislých Bernoulliho testoch, ktorých pravdepodobnosť úspechu je p. Jeho funkcia pravdepodobnostnej hmotnosti je:

Nasledujúci graf predstavuje funkčnú hmotnosť pravdepodobnosti pre rôzne hodnoty parametrov binomického rozdelenia.

Nasledujúca distribúcia vďačí za svoj názov francúzskemu matematikovi Simeonovi Poissonovi (1781-1840), ktorý ho získal ako limit binomického rozdelenia..

Poissonovo rozdelenie

Hovorí sa, že náhodná veličina X má Poissonovo rozdelenie parametra λ, keď môže mať kladné celočíselné hodnoty 0,1,2,3, ... s nasledujúcou pravdepodobnosťou:

V tomto výraze λ je priemerné číslo zodpovedajúce výskytom udalosti pre každú jednotku času a x je počet, koľkokrát sa udalosť vyskytne.

Jeho funkcia pravdepodobnostnej hmotnosti je:

Ďalej graf, ktorý predstavuje funkciu pravdepodobnostnej hmotnosti pre rôzne hodnoty parametrov Poissonovho rozdelenia.

Všimnite si, že pokiaľ je počet úspechov nízky a počet n testov vykonaných v binomickom rozdelení je vysoký, môžeme tieto rozdelenia vždy priblížiť, pretože Poissonovo rozdelenie je limitom binomického rozdelenia..

Hlavným rozdielom medzi týmito dvoma distribúciami je, že zatiaľ čo binomický závisí od dvoch parametrov - menovite n a p -, Poissonovo závislosť závisí od λ, ktorá sa niekedy nazýva intenzita distribúcie..

Doteraz sme hovorili iba o rozdeleniach pravdepodobnosti pre prípady, v ktorých sú rôzne experimenty navzájom nezávislé; to znamená, že výsledok jedného nie je ovplyvnený iným výsledkom.

V prípade, že sa vyskytnú experimenty, ktoré nie sú nezávislé, je hypergeometrická distribúcia veľmi užitočná.

Hypergeometrické rozdelenie

Nech N je celkový počet objektov konečnej množiny, z ktorých môžeme nejakým spôsobom identifikovať k, tvoriac podmnožinu K, ktorej komplement je tvorený zostávajúcimi prvkami N-k.

Ak náhodne vyberieme n objektov, náhodná premenná X, ktorá predstavuje počet objektov patriacich K v týchto voľbách, má hypergeometrické rozdelenie parametrov N, n a k. Jeho funkcia pravdepodobnostnej hmotnosti je:

Nasledujúci graf predstavuje funkčnú hmotnosť pravdepodobnosti pre rôzne hodnoty parametrov hypergeometrického rozdelenia.

Vyriešené cvičenia

Prvé cvičenie

Predpokladajme, že pravdepodobnosť, že rádiová trubica (vložená do určitého typu zariadenia) pracuje dlhšie ako 500 hodín, je 0,2. Ak sa testuje 20 skúmaviek, aká je pravdepodobnosť, že presne k z nich bude fungovať viac ako 500 hodín, k = 0, 1,2, ..., 20?

riešenie

Ak X je počet elektróniek, ktoré pracujú viac ako 500 hodín, predpokladáme, že X má binomické rozdelenie. potom

A tak:

Pre k ≥ 11 sú pravdepodobnosti menšie ako 0,001

Môžeme teda vidieť, ako sa zvyšuje pravdepodobnosť, že tieto k pracujú viac ako 500 hodín, až kým nedosiahne svoju maximálnu hodnotu (s k = 4) a potom začne klesať.

Druhé cvičenie

Minca sa hodí 6 krát. Keď je výsledok drahý, povieme, že je to úspech. Aká je pravdepodobnosť, že dve tváre vyjdú presne?

riešenie

V tomto prípade máme n = 6 a pravdepodobnosť úspechu aj neúspechu je p = q = 1/2

Preto je pravdepodobnosť, že budú dané dve tváre (tj k = 2)

Tretie cvičenie

Aká je pravdepodobnosť nájdenia aspoň štyroch tvárí?

riešenie

V tomto prípade máme k = 4, 5 alebo 6

Tretie cvičenie

Predpokladajme, že 2% výrobkov vyrobených v továrni sú chybné. Zistite pravdepodobnosť P, že vo vzorke 100 položiek sú tri chybné položky.

riešenie

V tomto prípade by sme mohli aplikovať binomické rozdelenie pre n = 100 a p = 0,02, čo by malo za následok:

Keďže je však p malé, používame Poissonovu aproximáciu s λ = np = 2. tak,

referencie

1. Kai Lai Chung Elementárna teória pravdepodobnosti so stochastickými procesmi. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Diskrétna matematika a jej aplikácie. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Pravdepodobnosť a štatistické aplikácie. Inc. MEXIKO ALHAMBRA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskrétne matematické problémy. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teória a problémy pravdepodobnosti. McGraw-Hill.