Algebraické deriváty (s príkladmi)

algebraické deriváty spočívajú v štúdiu derivácie v konkrétnom prípade algebraických funkcií. Pôvod pojmu derivát siaha do starovekého Grécka. Vývoj tohto pojmu bol motivovaný potrebou riešiť dva dôležité problémy, jeden vo fyzike a druhý v matematike.

Vo fyzike derivát rieši problém stanovenia okamžitej rýchlosti pohybujúceho sa objektu. V matematike môžete nájsť dotyčnicu na krivke v danom bode.

Hoci existuje oveľa viac problémov, ktoré sa riešia pomocou derivácie, ako aj jej zovšeobecnenia, výsledky, ktoré prišli po zavedení jej konceptu.

Priekopníkmi diferenciálneho počtu sú Newton a Leibniz. Predtým, než sa formálne vymedzíme, budeme rozvíjať myšlienku z matematického a fyzického hľadiska.

index

• 1 Derivát ako sklon priamky dotyčnice k krivke
• 2 Derivácia ako okamžitá rýchlosť pohybujúceho sa objektu
  • 2.1 Algebraická funkcia
• 3 Pravidlá odvodenia
  • 3.1 Odvodené od konštanty
  • 3.2 Odvodenie výkonu
  • 3.3 Odvodené od sčítania a odčítania
  • 3.4 Derivácia produktu
  • 3.5 Odvodené od kvocientu
  • 3.6 Pravidlo reťazca
• 4 Odkazy

Derivát ako sklon priamky dotyčnice k krivke

Predpokladajme, že graf funkcie y = f (x) je súvislý graf (bez píkov alebo vrcholov alebo separácií) a nech je A = (a, f (a)) pevným bodom. Chceme nájsť rovnicu dotyčnice s grafom funkcie fv bode A.

Vezmite akýkoľvek iný bod P = (x, f (x)) grafu, v blízkosti bodu A, a nakreslite sečnu čiaru, ktorá prechádza cez body A a P. Šikmá čiara je čiara, ktorá vyrezáva graf krivky v jednom. alebo viac bodov.

Aby sme získali dotyčnicu, ktorú chceme, potrebujeme len vypočítať sklon, pretože už máme bod na čiare: bod A.

Ak presunieme bod P pozdĺž grafu a uvedieme ho bližšie a bližšie k bodu A, vyššie uvedená sečniaca čiara sa priblíži k dotyčnici, ktorú chceme nájsť. Ak vezmeme do úvahy limit, keď "P má tendenciu k A", obe čiary sa budú zhodovať, preto aj jeho svahy.

Sklon šikmej čiary je daný

Povedať, že prístupy P sú ekvivalentné s tým, že "x" sa približuje "a". Sklon priamky dotyčnice k grafu f v bode A sa bude rovnať:

Vyššie uvedený výraz je označený f '(a) a je definovaný ako derivácia funkcie f v bode "a". Vidíme teda, že analyticky, derivácia funkcie v bode je limit, ale geometricky je to sklon priamky dotýkajúcej sa grafu funkcie v bode..

Teraz uvidíme tento pojem z hľadiska fyziky. Dosiahneme to isté vyjadrenie predchádzajúceho limitu, hoci iným spôsobom, čím sa dosiahne jednomyseľnosť definície.

Derivácia ako okamžitá rýchlosť pohybujúceho sa objektu

Pozrime sa na krátky príklad toho, čo znamená okamžitá rýchlosť. Keď sa napríklad hovorí, že vozidlo, ktoré sa dostalo do cieľa, tak urobilo rýchlosťou 100 km za hodinu, čo znamená, že za hodinu prešlo 100 km..

Neznamená to však, že počas celej hodiny bolo vozidlo vždy 100 km vzdialené, rýchlomer auta mohol v niektorých okamihoch označiť menej alebo viac. Ak mal potrebu zastaviť sa na semafore, rýchlosť v tomto okamihu bola 0 km. Po jednej hodine však bola trasa 100 km.

To je to, čo je známe ako priemerná rýchlosť a je dané kvocientom prejdenej vzdialenosti medzi uplynutým časom, ako sme práve videli. Okamžitá rýchlosť je na druhej strane tá, ktorá označuje ihlu rýchlomera vozidla v stanovenom čase (čase)..

Pozrime sa teraz na to všeobecnejšie. Predpokladajme, že objekt sa pohybuje pozdĺž čiary a že toto posunutie je reprezentované pomocou rovnice s = f (t), kde premenná t meria čas a premennú s posunutím, berúc do úvahy jeho začiatok v okamžitý t = 0, kedy je tiež nula, to znamená f (0) = 0.

Táto funkcia f (t) je známa ako funkcia polohy.

Hľadá sa okamžitá rýchlosť objektu v pevnom okamihu "a". Pri tejto rýchlosti ju označíme písmenom V (a).

Nechajte t byť každý okamih blízko okamihu "a". V časovom intervale medzi "a" a "t" zmena polohy objektu je daná f (t) -f (a).

Priemerná rýchlosť v tomto časovom intervale je:

Čo je aproximácia okamžitej rýchlosti V (a). Táto aproximácia bude lepšia, keď sa priblíži k "a". teda,

Všimnite si, že tento výraz je rovný výrazu získanému v predchádzajúcom prípade, ale z inej perspektívy. Toto je to, čo je známe ako derivácia funkcie f v bode "a" a označuje sa f '(a), ako je uvedené vyššie.

Všimnite si, že pri zmene h = x-a máme, že keď "x" má tendenciu "a", "h" má tendenciu k 0 a predchádzajúci limit sa transformuje (ekvivalentne) na:

Oba výrazy sú rovnocenné, ale niekedy je lepšie použiť jeden namiesto druhého, v závislosti od prípadu.

Derivácia funkcie f je potom definovaná všeobecnejšie v ktoromkoľvek bode "x" patriacom do jeho domény ako

Najbežnejšia notácia pre reprezentáciu derivácie funkcie y = f (x) je tá, ktorú sme práve videli (f 'o a'). Avšak ďalšia široko používaná notácia je notácia Leibniz, ktorá je reprezentovaná ako ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov:

Vzhľadom na skutočnosť, že derivát je v podstate limitom, môže alebo nemusí existovať, pretože limity nie vždy existujú. Ak existuje, hovorí sa, že príslušná funkcia je v danom bode diferencovateľná.

Algebraická funkcia

Algebraická funkcia je kombináciou polynómov pomocou súčtov, odčítaní, produktov, kvocientov, mocností a radikálov..

Polynóm je vyjadrením formy

P_n= a_nxⁿ+ na_n-1x^n-1+ na_n-2x^n-2+... + a₂x²+ na₁x + a₀

Kde n je prirodzené číslo a celé číslo a_ja, s i = 0,1, ..., n sú racionálne čísla a a_n≠ 0 V tomto prípade sa hovorí, že stupeň tohto polynómu je n.

Nasledujú príklady algebraických funkcií:

Tu nie sú zahrnuté exponenciálne, logaritmické a trigonometrické funkcie. Pravidlá odvodenia, ktoré uvidíme nižšie, platia pre funkcie všeobecne, ale obmedzíme sa a aplikujeme ich v prípade algebraických funkcií.

Obísť pravidlá

Odvodené od konštanty

Stanovuje, že derivácia konštanty je nula. To znamená, že ak f (x) = c, potom f '(x) = 0. Napríklad derivácia konštantnej funkcie 2 sa rovná 0.

Odvodené od výkonu

Ak f (x) = xⁿ, potom f '(x) = nx^n-1. Napríklad derivát x³ Je to 3x². V dôsledku toho získame, že derivácia funkcie identity f (x) = x je f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Ďalším príkladom je: f (x) = 1 / x², potom f (x) = x^-2 a f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Táto vlastnosť je tiež platný korene, pretože korene sú racionálne sily a vyššie uvedené platí aj v tomto prípade. Napríklad derivácia druhej odmocniny je daná

Odvodené od súčtu a odčítania

Ak f a g sú diferencovateľné funkcie v x, potom súčet f + g je tiež odlišný a že (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogicky máme (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Inými slovami, derivácia súčtu (odčítanie) je súčtom (alebo odčítaním) derivátov.

príklad

Ak h (x) = x²+x-1

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Odvodené z produktu

Ak f a g sú diferencovateľné funkcie v x, potom je produkt fg tiež diferencovateľný v x a je splnený

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

V dôsledku toho máme, že ak c je konštanta a f je diferencovateľná funkcia v x, potom cf je tiež diferenciovateľná v x a (cf) '(x) = cf' (X).

príklad

Ak f (x) = 3x (x²+1)

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) „+ (1)“]

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Odvodené z kvocientu

Ak sú f a g diferencovateľné v x a g (x) ≠ 0, potom f / g je tiež diferencovateľné v x, a je pravda, že

príklad: ak h (x) = x³/ (x²-5x), potom

h '(x) = [(x³) “(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Pravidlo reťazca

Toto pravidlo umožňuje odvodenie zloženia funkcií. Stanovuje nasledovné: ak y = f (u) je diferencovateľné v u, yu = g (x) je diferencovateľné v x, potom je zložená funkcia f (g (x)) diferencovateľná v x a je splnená skutočnosť, že [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

To znamená, že derivácia zloženej funkcie je produktom derivácie vonkajšej funkcie (vonkajšieho derivátu) deriváciou vnútornej funkcie (vnútorný derivát).

príklad

Ak f (x) = (x⁴-2x)³, potom

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Existujú aj výsledky na výpočet derivácie inverzie funkcie, ako aj zovšeobecnenie na deriváty vyššieho rádu. Aplikácie sú rozsiahle. Medzi nimi vyzdvihujú svoje nástroje v problematike optimalizácie a maximálnych a minimálnych funkcií.

referencie

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferenciálny výpočet. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Výpočet 4000. Editorial Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematika pred výpočtom. Univerzita Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Úvod do výpočtu. Prahové vydania.
5. Zdroje, A. (2016). ZÁKLADNÉ MATEMATIKA. Úvod do výpočtu. Lulu.com.
6. Purcell, E. J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E. (2007). kalkulácie. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Diferenciálny výpočet (Druhé vydanie). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Výpočet: niekoľko premenných. Pearson Education.