Postupné deriváty (s riešenými úlohami)

 následných derivátov sú deriváty funkcie po druhom deriváte. Proces výpočtu následných derivátov je nasledovný: máme funkciu f, ktorú môžeme odvodiť, a tak získať derivačnú funkciu f '. K tomuto derivátu f môžeme odvodiť znova, získať (f ')'.

Táto nová funkcia sa nazýva druhá derivácia; všetky deriváty vypočítané z druhej sú postupné; Tieto, nazývané aj vyšší poriadok, majú skvelé aplikácie, ako napríklad poskytovanie informácií o grafe funkcie, druhý test derivácie pre relatívne extrémy a určenie nekonečných sérií.

index

• 1 Definícia
  • 1.1 Príklad 1
  • 1.2 Príklad 2
• 2 Rýchlosť a zrýchlenie
  • 2.1 Príklad 1
  • 2.2 Príklad 2
• 3 Aplikácie
  • 3.1 Zjednodušené odvodenie
  • 3.2 Príklad
  • 3.3 Relatívne konce
  • 3.4 Príklad
  • 3.5 Taylorov rad
  • 3.6 Príklad
• 4 Odkazy

definícia

Pomocou notácie Leibniz máme, že derivácia funkcie "a" vzhľadom na "x" je dy / dx. Ak chcete vyjadriť druhú deriváciu "a" pomocou notácie Leibniz, píšeme takto:

Vo všeobecnosti môžeme nasledujúce deriváty vyjadriť nasledujúcim spôsobom pomocou notácie Leibniz, kde n predstavuje poradie derivácie.

Ostatné použité označenia sú nasledovné:

Niektoré príklady, kde môžeme vidieť rôzne zápisy, sú:

Príklad 1

Získať všetky deriváty funkcie f definované:

Použitím obvyklých derivačných techník máme, že derivácia f je:

Opakovaním procesu môžeme získať druhý derivát, tretí derivát a tak ďalej.

Všimnite si, že štvrtá derivácia je nula a derivácia nula je nula, takže musíme:

Príklad 2

Vypočítajte štvrtú deriváciu nasledujúcej funkcie:

Výsledkom tejto funkcie je:

Rýchlosť a zrýchlenie

Jednou z motivácií, ktoré viedli k objaveniu derivátu, bolo hľadanie definície okamžitej rýchlosti. Formálna definícia je nasledovná:

Nech y = f (t) je funkcia, ktorej graf opisuje trajektóriu častice v momente T, potom jeho rýchlosť v momente t je daná:

Akonáhle sa získa rýchlosť častice, môžeme vypočítať okamžité zrýchlenie, ktoré je definované nasledovne:

Okamžité zrýchlenie častice, ktorej dráha je daná hodnotou y = f (t) je:

Príklad 1

Čiastočky sa pohybujú po priamke podľa funkcie polohy:

Kde sa "y" meria v metroch a "t" v sekundách.

- V akom okamihu je vaša rýchlosť 0?

- V akom okamihu je vaše zrýchlenie 0?

Pri odvodzovaní funkcie polohy "a" máme, že jej rýchlosť a zrýchlenie sú dané:

Na odpoveď na prvú otázku stačí určiť, kedy sa funkcia v stane nulou; toto je:

Podobne pokračujeme s nasledujúcou otázkou:

Príklad 2

Čiastočky sa pohybujú po priamke podľa nasledujúcej rovnice pohybu:

Určite "t, y" a "v", keď a = 0.

Vedieť, že rýchlosť a zrýchlenie sú dané

Pokračujeme v získavaní a získavaní:

Tým a = 0 máme:

Z toho môžeme odvodiť, že hodnota t pre a, ktorá sa má rovnať nule, je t = 1.

Potom, pri hodnotení funkcie polohy a funkcie rýchlosti na t = 1, musíme:

aplikácie

Zjednodušená derivácia

Následné deriváty sa môžu tiež získať implicitnou deriváciou.

príklad

Vzhľadom na nasledujúcu elipsu nájdite "a":

Implicitne odvodené s ohľadom na x máme:

Potom implicitným odvodením implicitne vo vzťahu k x nám dáva:

Nakoniec máme:

Relatívne konce

Ďalšie použitie, ktoré môžeme poskytnúť derivátom druhého rádu, je vo výpočte relatívnych koncov funkcie.

Kritérium prvého derivátu pre lokálne extrémy nám hovorí, že ak máme funkciu f spojitú v rozsahu (a, b) a existuje c, ktoré patrí do tohto intervalu, tak je f 'zrušené v c (to znamená, že c). je kritický bod), jeden z týchto troch prípadov môže nastať:

- Ak f '(x)> 0 pre akékoľvek x patriace k (a, c) a f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Ak f (x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 pre x patriace k (c, b), potom f (c) je lokálne minimum.

- Ak má f '(x) rovnaké znamienko v (a, c) a v (c, b), znamená to, že f (c) nie je miestnym koncovým bodom.

Pomocou kritéria druhého derivátu môžeme vedieť, či kritické číslo funkcie je maximálne alebo lokálne minimum, bez toho, aby sme museli vidieť, čo je znakom funkcie vo vyššie uvedených intervaloch.

Kritérium druhej derivácie nám hovorí, že ak f '(c) = 0 a že f "(x) je spojitá v (a, b), stáva sa, že ak f" (c)> 0 potom f (c) je miestne minimum a ak f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Ak f "(c) = 0, nemôžeme nič uzavrieť.

príklad

Vzhľadom na funkciu f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², nájsť relatívne maximá a minimá f aplikovania kritéria druhého derivátu.

Najprv vypočítame f '(x) a f "(x) a máme:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Teraz, f '(x) = 0 ak a len ak 4x (x + 2) (x - 1) = 0, a toto sa stane, keď x = 0, x = 1 alebo x = - 2.

Na zistenie, či získané kritické čísla sú relatívnymi extrémmi, stačí vyhodnotiť v písmene f "a teda pozorovať jeho znamienko.".

f "(0) = - 8, takže f (0) je lokálne maximum.

f "(1) = 12, takže f (1) je lokálne minimum.

f "(- 2) = 24, takže f (- 2) je lokálne minimum.

Taylorov rad

Nech f je funkcia definovaná nasledovne:

Táto funkcia má polomer konvergencie R> 0 a má deriváty všetkých rádov v (-R, R). Následné deriváty f nám:

Ak vezmeme x = 0, môžeme získať hodnoty c_n na základe svojich derivátov: \ t

Ak vezmeme n = 0 ako funkciu f (tj f ^ 0 = f), potom môžeme funkciu prepísať nasledovne:

Teraz zvážte funkciu ako sériu mocností v x = a:

Ak vykonáme analogickú analýzu s predchádzajúcou, museli by sme napísať funkciu f ako:

Tieto série sú známe ako Taylorov rad f v a. Keď a = 0 máme konkrétny prípad, ktorý sa nazýva Maclaurinova séria. Tento typ sérií má veľký význam najmä v numerickej analýze, pretože vďaka nim môžeme definovať funkcie v počítačoch ako napr.^x , sin (x) a cos (x).

príklad

Získajte radu Maclaurin pre e^x.

Všimnite si, že ak f (x) = e^x, potom f^(N)(x) = e^x a f^(N)(0) = 1, čo je dôvod, prečo je jeho séria Maclaurin:

referencie

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5ed výpočet. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). VÝPOČET s analytickou geometriou. HARLA, S.A..
3. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). kalkulácie. Mexiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciálny výpočet. prepona.
5. Saenz, J. (s.f.). Komplexný kalkul. prepona.