Čo sú Relatívne bratranci? Charakteristiky a príklady



Volá sa príbuzní bratranci (coprimos alebo bratranci voči sebe navzájom) na akýkoľvek pár celých čísel, ktoré nemajú spoločný deliteľ, okrem 1.

Inými slovami, dve celé čísla sú príbuzní bratranci, ak v ich rozkladoch v prvočíselách nemajú spoločný faktor.

Napríklad, ak sú zvolené 4 a 25, rozklady primárneho faktora sú 2 2 a 5 ². Ako je zrejmé, tieto nemajú žiadny spoločný faktor, preto 4 a 25 sú relatívne bratranci.

Na druhej strane, ak sa vyberú 6 a 24, pri ich rozklade v prvočíselných faktoroch dostaneme, že 6 = 2 * 3 a 24 = 2³ * 3.

Ako vidíte, tieto posledné dva výrazy majú aspoň jeden faktor spoločný, preto nie sú relatívnymi prvkami.

Relatívne Cousins

Jedna vec, na ktorú treba dávať pozor, je, že tvrdenie, že dvojica celých čísel je relatívna, je, že to neznamená, že niektorý z nich je prvočíslo.

Okrem toho, vyššie uvedenej definície je možné zhrnúť takto: dve celé čísla "a" a "b" sú relatívne primárne, ak a iba v prípade, že najväčší spoločný deliteľ z nich je jedna, to znamená, GCD ( a, b) = 1.

Dva bezprostredné závery tejto definície sú: \ t

-Ak "a" (alebo "b") je prvočíslo, potom mcd (a, b) = 1.

-Ak sú "a" a "b" prvočísla, potom mcd (a, b) = 1.

To znamená, že ak aspoň jedno z vybraných čísel je prvočíslo, potom priamo dvojica čísel je relatívna.

Ďalšie funkcie

Ďalšie výsledky, ktoré sa používajú na určenie, či sú dve čísla relatívnymi prvkami, sú:

-Ak sú dve celé čísla konsekutívne, potom sú to príbuzní bratranci.

-Dve prirodzené čísla "a" a "b" sú relatívne primy, ak a len vtedy, ak čísla "(2 ^ a) -1" a "(2 ^ b) -1" sú relatívne primy.

-dve celé čísla "a" a "b" sú relatívne prvočíslo vtedy a len vtedy, ak vynesením bodu (a, b) v karteziánske rovine, a postaviť linku prostredníctvom pôvodu (0,0) a (a b) neobsahuje žiadny bod s celočíselnými súradnicami.

Príklady

1.- Zoberme si celé čísla 5 a 12. Prvotné faktory rozkladu oboch čísel sú: 5 a 2² * 3. Na záver, gcd (5,12) = 1, preto 5 a 12 sú relatívne primy.

2.- Nechajte čísla -4 a 6. Potom -4 = -2² a 6 = 2 * 3, takže LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Na záver -4 a 6 nie sú príbuzní bratranci.

Ak vychádzame na pozemku priamku prechádzajúcu usporiadaných dvojíc (4,6) a (0,0), a určia rovnice tejto čiare, to môže byť preukázané, že tento prechádza bodom (-2,3).

Opäť sa dospelo k záveru, že -4 a 6 nie sú príbuzní bratranci.

3.- Čísla 7 a 44 sú relatívne primárne a vďaka vyššie uvedenému sa dajú rýchlo uzavrieť, pretože 7 je prvočíslo.

4.- Zvážte čísla 345 a 346. Pri dvoch po sebe idúcich číslach sa overuje, že mcd (345,346) = 1, preto 345 a 346 sú relatívne primy.

5.- Vzhľadom k tomu, čísla 147 a 74, potom sa jedná o relatívne prvočíslo, pretože 147 = 3 * 7² a 74 = 2 * 37 teda GCD (147,74) = 1.

6.- Čísla 4 a 9 sú relatívna pripravenosť. Na preukázanie tejto skutočnosti sa môže použiť druhá charakterizácia uvedená vyššie. V skutočnosti 2 ^ 4 = 16-1 = 15 a 2 až 9-1 = 512-1 = 511.

Čísla sú získané 15 a 511. Tieto rozklady primárnej faktorizácia z týchto čísel je 3 * 5 * 7 73 v tomto poradí, takže GCD (15511) = 1.

Ako vidíte, druhá charakterizácia je dlhšia a namáhavejšia úloha ako jej overenie priamo.

7.- Zvážte čísla -22 a -27. Potom je možné tieto čísla prepísať nasledovne: -22 = -2 * 11 a -27 = -3³. Preto gcd (-22, -27) = 1, takže -22 a -27 sú relatívne priméry.

referencie

  1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teórie čísel. EUNED.
  2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmetické prvky. Kníhkupectvo pánov a synov detí Calleja.
  3. Castañeda, S. (2016). Základný kurz teórie čísel. Univerzita severu.
  4. Guevara, M. H. (s.f.). Súbor celých čísel. EUNED.
  5. Vyšší inštitút pre prípravu učiteľov (Španielsko), J. L. (2004). Čísla, formy a objemy v prostredí dieťaťa. Ministerstvo školstva.
  6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktická matematika: aritmetika, algebra, geometria, trigonometria a slide slide (dotlač ed.). Reverte.
  7. Rock, N. M. (2006). Algebra I je ľahké! Tak ľahké. Team Rock Press.
  8. Smith, S.A. (2000). algebra. Pearson Education.
  9. Szecsei, D. (2006). Základná matematika a pre-algebra (znázornené na obr.). Kariéra Tlač.
  10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. Matematický kurz. Editorial Progreso.
  11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Základné princípy aritmetiky. ELIZCOM S.A.S.