Vlastnosti rovnosti

rovnosť odkazujú na vzťah medzi dvoma matematickými objektmi, buď číslami alebo premennými. Označuje sa symbolom "=", ktorý sa vždy nachádza medzi týmito dvoma objektmi. Tento výraz sa používa na zistenie, že dva matematické objekty predstavujú rovnaký objekt; iným slovom, že dva objekty sú to isté.

Existujú prípady, v ktorých je triviálne použiť rovnosť. Napríklad je jasné, že 2 = 2. Pokiaľ však ide o premenné, už nie je triviálne a má špecifické použitie. Napríklad, ak máte y = x a na druhej strane x = 7, môžete konštatovať, že aj y = 7.

Predchádzajúci príklad je založený na jednej z vlastností rovnosti, čo bude čoskoro vidieť. Tieto vlastnosti sú nevyhnutné pre riešenie rovníc (rovnosť zahŕňajúce premenné), ktoré tvoria veľmi dôležitú súčasť matematiky.

index

• 1 Aké sú vlastnosti rovnosti?
  • 1.1 Reflexné vlastnosti
  • 1.2 Symetrická vlastnosť
  • 1.3 Prechodné vlastníctvo
  • 1.4 Jednotný majetok
  • 1.5 Zrušenie majetku
  • 1.6 Náhradný majetok
  • 1.7 Vlastníctvo moci v rovnosti
  • 1.8 Vlastnosť koreňa v rovnosti
• 2 Referencie

Aké sú vlastnosti rovnosti?

Reflexné vlastnosti

Reflexná vlastnosť v prípade rovnosti uvádza, že každé číslo sa rovná sebe a je vyjadrené ako b = b pre akékoľvek reálne číslo b.

V konkrétnom prípade rovnosti sa táto vlastnosť javí ako zrejmá, ale v inom type vzťahu nie je. Inými slovami, nie každý vzťah reálnych čísel spĺňa túto vlastnosť. Napríklad takýto prípad „menej ako“ vzťahu (<); ningún número es menor que sí mismo.

Symetrická vlastnosť

Symetrická vlastnosť pre rovnosť hovorí, že ak a = b, potom b = a. Bez ohľadu na to, aké poradie sa používa v premenných, toto bude zachované vzťahom rovnosti.

Určitú analógiu tejto vlastnosti možno pozorovať s komutatívnou vlastnosťou v prípade pridania. Napríklad z dôvodu tejto vlastnosti je ekvivalentné zapisovať y = 4 alebo 4 = y.

Prechodná vlastnosť

Transitívna vlastnosť v rovnosti uvádza, že ak a = b a b = c, potom a = c. Napríklad 2 + 7 = 9 a 9 = 6 + 3; preto, tranzitívnou vlastnosťou máme 2 + 7 = 6 + 3.

Jednoduchá aplikácia je nasledovná: predpokladajme, že Julian má 14 rokov a že Mario je v rovnakom veku ako Rosa. Ak je Rosa v rovnakom veku ako Julian, ako starý je Mario??

Za týmto scenárom sa tranzitívna vlastnosť používa dvakrát. Matematicky sa interpretuje takto: „a“ vek Mario, „b“ vek Rosy a „c“ vek Juliana. Je známe, že b = c a c = 14.

Pre tranzitívnu vlastnosť máme b = 14; to znamená, že Rosa má 14 rokov. Pretože a = b a b = 14, použijeme opäť tranzitívnu vlastnosť a = 14; to znamená, že vek Mario je tiež 14 rokov.

Jednotná vlastnosť

Jednotná vlastnosť je taká, že ak sa pridajú alebo vynásobia obe strany rovnosti, tak sa zachová rovnosť. Napríklad, ak 2 = 2, potom 2 + 3 = 2 + 3, čo je číre, potom 5 = 5. Táto vlastnosť má viac užitočnosti, pokiaľ ide o riešenie rovnice.

Predpokladajme napríklad, že ste požiadaný, aby ste vyriešili rovnicu x-2 = 1. Je vhodné si uvedomiť, že riešenie rovnice spočíva v explicitnom určení príslušnej premennej (alebo premenných) na základe konkrétneho čísla alebo predtým špecifikovanej premennej.

Vráťme sa k rovnici x-2 = 1, čo treba urobiť, je nájsť explicitne koľko stojí. Na tento účel musí byť premenná vymazaná.

To bolo chybne učil, že v tomto prípade, ako číslo 2 je negatívny, to prechádza na druhú stranu rovnosti s pozitívnym znamením. Nie je správne povedať to tak.

V podstate to, čo sa deje, je uplatňovať jednotný majetok, ako uvidíme nižšie. Zámerom je vymazať "x"; to znamená, nechať ho na jednej strane rovnice. Podľa konvencie je zvyčajne vľavo.

Na tento účel je číslo, ktoré chcete "odstrániť", -2. Spôsob, ako to urobiť, by bolo pridanie 2, pretože -2 + 2 = 0 a x + 0 = 0. Aby to bolo možné vykonať bez zmeny rovnosti, musí sa na druhej strane použiť rovnaká operácia.

To umožňuje realizovať jednotnú vlastnosť: ako x-2 = 1, ak číslo 2 je pridané na oboch stranách rovnosti, jednotná vlastnosť hovorí, že to isté sa nemení. Potom máme to x-2 + 2 = 1 + 2, čo je ekvivalentné tomu, že x = 3. S tým by sa rovnica vyriešila.

Podobne, ak chcete vyriešiť rovnicu (1/5) y-1 = 9, môžete použiť jednotnú vlastnosť nasledovne:

Všeobecnejšie povedané, možno urobiť tieto vyhlásenia:

- Ak a-b = c-b, potom a = c.

- Ak x-b = y, potom x = y + b.

- Ak (1 / a) z = b, potom z = a ×

- Ak (1 / c) a = (1 / c) b, potom a = b.

Zrušenie majetku

Zrušenie majetku je osobitným prípadom jednotného vlastníctva, najmä s prihliadnutím na prípad odčítania a delenia (ktorý v konečnom dôsledku zodpovedá aj sčítaniu a násobeniu). Táto vlastnosť zaobchádza s týmto prípadom samostatne.

Napríklad, ak 7 + 2 = 9, potom 7 = 9-2. Alebo ak 2y = 6, potom y = 3 (delenie dvoma na oboch stranách).

Podobne ako v predchádzajúcom prípade je možné prostredníctvom majetku stornovania stanoviť nasledujúce výkazy:

- Ak a + b = c + b, potom a = c.

- Ak x + b = y, potom x = y-b.

- Ak az = b, potom z = b / a.

- Ak ca = cb, potom a = b.

Náhradný majetok

Ak poznáme hodnotu matematického objektu, substitučná vlastnosť uvádza, že táto hodnota môže byť nahradená v akejkoľvek rovnici alebo výraze. Napríklad, ak b = 5 a a = bx, potom nahradenie hodnoty "b" v druhej rovnosti, máme, že a = 5x.

Ďalším príkladom je: ak "m" delí "n" a tiež "n" delí "m", potom musí byť, že m = n.

V skutočnosti povedať, že "m" delí "n" (alebo ekvivalentne, že "m" je deliteľ "n") znamená, že delenie m ÷ n je presné; to znamená, že vydelením "m" písmenom "n" dostanete celé číslo, nie desatinné číslo. Toto môže byť vyjadrené tým, že existuje celé číslo "k" také, že m = k × n.

Pretože "n" tiež delí "m", potom existuje celé číslo "p" také, že n = p × m. Pre substitúčnú vlastnosť máme, že n = p × k × n, a na to, aby sa tak stalo, existujú dve možnosti: n = 0, v tomto prípade by sme mali identitu 0 = 0; alebo pxk = 1, kde identita by musela byť n = n.

Predpokladajme, že n je nenulové. Potom nevyhnutne p × k = 1; preto p = 1 a k = 1. Opätovným použitím substitúčnej vlastnosti, pri nahradení k = 1 v rovnosti m = k × n (alebo ekvivalentne, p = 1 v n = p × m) sa nakoniec získa, že m = n, čo bolo to, čo sa malo demonštrovať.

Vlastníctvo moci v rovnosti

Ako už bolo uvedené vyššie, bolo vidieť, že ak sa operácia vykonáva ako súčet, násobenie, odčítanie alebo delenie v obidvoch podmienkach rovnosti, zachováva sa tým istým spôsobom ako iné operácie, ktoré nemenia rovnosť..

Kľúčom k úspechu je vždy to urobiť na oboch stranách rovnosti a vopred sa uistiť, že operáciu možno vykonať. Taký je prípad splnomocnenia; to znamená, že ak sa obe strany rovnice zvýšia na rovnakú moc, stále existuje rovnosť.

Napríklad ako 3 = 3, potom 3²= 3² (9 = 9). Všeobecne platí, že dané celé číslo "n", ak x = y, potom xⁿ= yⁿ.

Vlastnosť koreňa v rovnosti

Toto je konkrétny prípad zosilnenia a je aplikovaný, keď moc je non-celé číslo racionálne číslo, ako je ½, ktorý predstavuje odmocninu. Táto vlastnosť uvádza, že ak je rovnaký koreň aplikovaný na oboch stranách rovnosti (kde je to možné), rovnosť je zachovaná.

Na rozdiel od predchádzajúceho prípadu musíte byť opatrní s paritou koreňa, ktorý sa bude aplikovať, pretože je dobre známe, že párny koreň záporného čísla nie je dobre definovaný.

V prípade, že radikál je vyrovnaný, nie je problém. Napríklad, ak x³= -8, aj keď je to rovnosť, nemôžete použiť napríklad odmocninu na oboch stranách. Ak však môžete použiť kubický koreň (čo je ešte výhodnejšie, ak chcete explicitne poznať hodnotu x), získame, že x = -2.

referencie

1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, množiny a čísla. Mérida - Venezuela: Rada pre publikácie, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. prah.
3. Lira, M.L. (1994). Simon a matematika: Matematický text pre druhý základný ročník: študentská kniha. Andres Bello.
4. Preciado, C. T. (2005). Matematický kurz 3o. Editorial Progreso.
5. Segovia, B. R. (2012). Matematické aktivity a hry s Miguelom a Luciou. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. Matematický kurz. Editorial Progreso.