Vlastnosti krížových produktov, aplikácie a vyriešené úlohy



Krížový produkt alebo produktový vektor Je to spôsob, ako znásobiť dva alebo viac vektorov. Existujú tri spôsoby, ako množiť vektory, ale žiadny z nich nie je násobením v obvyklom zmysle slova. Jedna z týchto foriem je známa ako vektorový produkt, ktorý vedie k tretiemu vektoru.

Vektorový produkt, ktorý sa tiež nazýva krížový produkt alebo externý produkt, má rôzne algebraické a geometrické vlastnosti. Tieto vlastnosti sú veľmi užitočné najmä pri štúdiu fyziky.

index

  • 1 Definícia
  • 2 Vlastnosti
    • 2.1 Nehnuteľnosť 1
    • 2.2 Nehnuteľnosť 2
    • 2.3 Nehnuteľnosť 3
    • 2.4 Nehnuteľnosť 4 (trojitý skalárny produkt)
    • 2.5 Nehnuteľnosť 5 (trojitý vektorový produkt)
    • 2.6 Nehnuteľnosť 6
    • 2.7 Nehnuteľnosť 7
    • 2.8 Nehnuteľnosť 8
  • 3 Aplikácie
    • 3.1 Objemový výpočet hranola
  • 4 Riešené úlohy
    • 4.1 Cvičenie 1
    • 4.2 Cvičenie 2
  • 5 Referencie

definícia

Formálna definícia vektorového produktu je nasledovná: ak A = (a1, a2, a3) a B = (b1, b2, b3) sú vektory, potom vektorový produkt A a B, ktorý budeme označovať ako AxB, je:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Vzhľadom k notácii AxB, to číta ako "A kríž B".

Príkladom použitia vonkajšieho produktu je, že ak A = (1, 2, 3) a B = (3, -2, 4) sú vektory, potom pomocou definície vektorového produktu máme:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Ďalší spôsob, ako vyjadriť vektorový produkt, je uvedený v zápise determinantov.

Výpočet determinantu druhého poriadku je daný:

Vzorec vektorového produktu uvedený v definícii sa preto môže prepísať takto:

Toto je zvyčajne zjednodušené v treťom poradí:

Kde i, j, k predstavujú vektory, ktoré tvoria základ R3.

Pomocou tohto spôsobu vyjadrenia krížového produktu máme, že predchádzajúci príklad možno prepísať ako:

vlastnosti

Niektoré vlastnosti, ktoré má vektorový produkt, sú nasledovné:

Nehnuteľnosť 1

Ak A je akýkoľvek vektor v R3, Musíme:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Tieto vlastnosti sa dajú ľahko skontrolovať pomocou definície. Ak A = (a1, a2, a3) musíme:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ak i, j, k predstavujú jednotkovú bázu R3, Môžeme ich napísať takto:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Potom musíme splniť nasledujúce vlastnosti:

Ako pravidlo mnemotechniky, na zapamätanie týchto vlastností sa zvyčajne používa nasledujúci kruh:

Mali by sme si všimnúť, že akýkoľvek vektor sám o sebe vedie k vektoru 0 a zvyšok produktov možno získať s nasledujúcim pravidlom:

Krížový produkt dvoch po sebe idúcich vektorov v smere hodinových ručičiek dáva nasledujúci vektor; a pri uvažovaní proti smeru hodinových ručičiek je výsledkom nasledujúci vektor so záporným znamienkom.

Vďaka týmto vlastnostiam vidíme, že vektorový produkt nie je komutatívny; stačí si všimnúť, že i x j ≠ j x i. Nasledujúca vlastnosť nám hovorí, ako sa AxB a BxA týkajú všeobecne.

Nehnuteľnosť 2

Ak A a B sú R vektory3, Musíme:

AxB = - (BxA).

show

Ak A = (a1, a2, a3) a B = (b1, b2, b3), podľa definície externého produktu máme:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Môžeme tiež pozorovať, že tento produkt nie je asociovaný s nasledujúcim príkladom:

ix (ixj) = ixk = -j ale (ixi) xj = 0xj = 0

Z toho môžeme vidieť, že:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Nehnuteľnosť 3

Ak A, B, C sú R vektory3 a r je skutočné číslo, platí nasledovné:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Vďaka týmto vlastnostiam môžeme vektorový produkt vypočítať pomocou zákonov algebry za predpokladu, že je rešpektovaný. Napríklad:

Ak A = (1, 2, 3) a B = (3, -2, 4), môžeme ich prepísať na základe kanonického základu R3.

A = i + 2j + 3k a B = 3i - 2j + 4k. Potom použite predchádzajúce vlastnosti:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Nehnuteľnosť 4 (trojitý skalárny produkt)

Ako sme uviedli na začiatku, existujú aj iné spôsoby, ako znásobiť vektory okrem vektorového produktu. Jedným z týchto spôsobov je skalárny produkt alebo vnútorný produkt, ktorý sa označuje ako A ∙ B a ktorého definícia je:

Ak A = (a1, a2, a3) a B = (b1, b2, b3), potom A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Vlastnosť, ktorá sa týka oboch produktov, je známa ako trojitý skalárny produkt.

Ak A, B a C sú R vektory3, potom A ∙ BxC = AxB ∙ C

Ako príklad si pozrime, že dané A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) a C = (- 5, 1, - 4), táto vlastnosť je splnená.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22 j + 17 k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Na druhej strane:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Ďalším trojitým produktom je Ax (BxC), ktorý je známy ako trojitý vektorový produkt.

Nehnuteľnosť 5 (trojitý vektorový produkt)

Ak A, B a C sú R vektory3,  potom:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Ako príklad si pozrime, že dané A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) a C = (- 5, 1, - 4), táto vlastnosť je splnená.

Z predchádzajúceho príkladu vieme, že BxC = (- 18, - 22, 17). Poďme vypočítať Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Na druhej strane musíme:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Musíme teda:

(A 'C) B - (A' B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Nehnuteľnosť 6

Je to jedna z geometrických vlastností vektorov. Ak A a B sú dva vektory v R3 a Θ je uhol, ktorý sa vytvára medzi nimi, potom:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), kde || ∙ || označuje modul alebo veľkosť vektora.

Geometrická interpretácia tejto vlastnosti je nasledovná:

Nech A = PR a B = PQ. Potom uhol tvorený vektormi A a B je uhol P trojuholníka RQP, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Preto oblasť rovnobežníka so susednými stranami PR a PQ je || A |||| B || sin (Θ), pretože môžeme brať ako základ || A || a jeho výška je daná || B || sin (Θ).

Z tohto dôvodu môžeme konštatovať, že || AxB || je plocha uvedeného rovnobežníka.

príklad

Vzhľadom na nasledujúce vrcholy štvoruholníka P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) a S (5,7, -3) ukazujú, že uvedený štvoruholník je paralelogram a nájde svoju oblasť.

Na tento účel najprv určíme vektory, ktoré určujú smer strán štvoruholníka. Toto je:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Ako môžeme pozorovať A a C majú rovnaký vektorový režisér, pre ktorý máme oba paralelné; rovnakým spôsobom sa to deje s B a D. Preto sme dospeli k záveru, že PQRS je paralelogram.

Ak chcete mať oblasť uvedeného rovnobežníka, vypočítame BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Preto bude štvorcová plocha:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Možno konštatovať, že rovnobežníková plocha bude druhou odmocninou 89.

Nehnuteľnosť 7

Dva vektory A a B sú paralelné v R3 áno a len vtedy, ak AxB = 0

show

Je zrejmé, že ak A alebo B sú nulovým vektorom, vyplýva to, že AxB = 0. Keďže nulový vektor je paralelný s akýmkoľvek iným vektorom, potom je vlastnosť platná.

Ak žiadny z týchto dvoch vektorov nie je nulovým vektorom, máme, že ich veličiny sú odlišné od nuly; to znamená oboje || A || As 0 ako || B || ≠ 0, takže budeme musieť || AxB || = 0 ak a len vtedy, ak hriech (Θ) = 0, a to sa deje iba vtedy, ak Θ = π alebo Θ = 0.

Preto môžeme uzavrieť AxB = 0, ak a len vtedy, ak Θ = π alebo Θ = 0, čo sa deje len vtedy, keď sú oba vektory navzájom paralelné.

Nehnuteľnosť 8

Ak A a B sú dva vektory v R3, potom AxB je kolmá na A aj B.

show

Pre túto ukážku pamätajte, že dva vektory sú kolmé, ak sa A ∙ B rovná nule. Okrem toho vieme, že:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ale AxA sa rovná 0. Preto musíme:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Môžeme konštatovať, že A a AxB sú kolmé na seba. Podobným spôsobom musíme:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Ako BxB = 0 musíme:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Preto sú AxB a B navzájom kolmé a tým sa prejavuje vlastnosť. To je veľmi užitočné, pretože nám umožňujú určiť rovnicu roviny.

Príklad 1

Získať rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi P (1, 3, 2), Q (3, 2, 2) a R (2, 1, 3).

Nech A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) a B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Potom A = - i + 3j + k a B = i - 2j + k. Ak chcete nájsť rovinu tvorenú týmito tromi bodmi, stačí nájsť vektor, ktorý je normálny k rovine, čo je AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

S týmto vektorom a berúc bod P (1, 3, 2), môžeme určiť rovnicu roviny nasledovne:

(5, 2, 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Takže máme rovnicu roviny 5x + 2y - z - 9 = 0.

Príklad 2

Nájdite rovnicu roviny, ktorá obsahuje bod P (4, 0, - 2) a ktorá je kolmá na každú z rovín x - y + z = 0 a 2x + y - 4z - 5 = 0 .

S vedomím, že vektor normály k rovine, ax + by + cz + d = 0 (a, b, c), máme (1, -1,1) je normálový vektor x - y + z = 0 a ( 2,1, - 4), sa jedná o normálny vektor 2x + y - 4z - 5 = 0.

Preto musí byť normálny vektor k požadovanej rovine kolmý na (1, -1,1) a a (2, 1, - 4). Uvedený vektor je:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Potom máme, že hľadaná rovina je tá, ktorá obsahuje bod P (4,0, - 2) a má vektor (3,6,3) ako normálny vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

aplikácie

Výpočet objemu rovnobežnostena

Aplikácia, ktorá má trojaký skalárny súčin je schopný vypočítať objem kvádra, ktorého hrany sú dané vektory A, B a C, ako je uvedené:

Táto aplikácia môže odvodiť nasledujúcim spôsobom: Ako je uvedené vyššie, je x B vektor je vektor, ktorý je kolmý k rovine A a B majú tiež vektor - (AXB) je iný vektor normály ku spomínanej rovine.

Vyberieme normálny vektor, ktorý tvorí najmenší uhol s vektorom C; bez straty všeobecnosti, nech je AxB vektor, ktorého uhol s C je najmenší.

Máme, že AxB aj C majú rovnaký východiskový bod. Okrem toho vieme, že plocha rovnobežníka, ktorý tvorí základ rovnobežnostena, je || AxB ||. Preto, ak je výška hranola daná h, máme, že jeho objem bude:

V = || AxB || h.

Na druhej strane zvážte skalárny produkt medzi AxB a C, ktorý možno opísať takto:

Podľa trigonometrických vlastností však máme, že h = || C || cos (Θ), takže musíme:

Týmto spôsobom musíme:

Celkovo sme kváder objem je daný absolútna hodnota skalárneho trojitého produktu x B ∙ C.

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Pretože body P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) a S = (2, 6, 9), sú tieto body tvoria kvádra, ktorého okraje sú PQ, PR a PS. Stanovenie objemu uvedeného rovnobežnostena.

riešenie

Ak vezmeme:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Pri použití vlastnosti trojitého skalárneho produktu musíme:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB = C = (8, -2, 20) '(-3, 2, 2) = -24 -4 + 80 = 52.

Preto máme, že objem uvedeného rovnobežnostena je 52.

Cvičenie 2

Stanovenie objemu hranola, ktorého hrany sú dané A = PQ, B = PR a C = PS, kde sú body P, Q, R a S (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) a (2, 2, 5), v tomto poradí.

riešenie

Najprv máme A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vypočítame AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Potom vypočítame AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Preto sme dospeli k záveru, že objem uvedenej rovnobežnostena je 1 kubická jednotka.

referencie

  1. Leithold, L. (1992). VÝPOČET s analytickou geometriou. HARLA, S.A..
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fyzika Vol. Mexiko: Continental.
  3. Saenz, J. (s.f.). Vektorový výpočet 1ed. prepona.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Vektorová analýza 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Výpočet rôznych premenných 4ed. Mc Graw Hill.