Definícia, charakteristika a príklady výpočtu hexagonálnej pyramídy



hexagonálna pyramída je polyhedron tvorený šesťuholníkom, ktorý je základňou, a šiestimi trojuholníkmi, ktoré začínajú od vrcholov šesťuholníka a sú v bode mimo roviny, ktorá obsahuje základňu. V tomto bode súbežnosti je známe ako vrchol alebo vrchol pyramídy.

Viacsten je uzavreté trojrozmerné geometrické teleso, ktorého tváre sú ploché. Šesťuholník je uzavretá plochá postava (mnohouholník) tvorená šiestimi stranami. Ak má šesť strán rovnakú dĺžku a tvoria rovnaké uhly, hovorí sa, že je pravidelná; inak je nepravidelná.

index

  • 1 Definícia
  • 2 Charakteristiky
    • 2.1 Konkávne alebo konvexné
    • 2.2 Hrany
    • 2.3 Apotema
    • 2.4 Označuje
  • 3 Ako vypočítať plochu? vzorca
    • 3.1 Výpočet v nepravidelných hexagonálnych pyramídach
  • 4 Ako vypočítať objem? vzorca
    • 4.1 Výpočet v nepravidelných hexagonálnych pyramídach
  • 5 Príklad
    • 5.1
  • 6 Referencie

definícia

Šesťhranná pyramída obsahuje sedem tvárí, základňu a šesť bočných trojuholníkov, z ktorých základňa je jediná, ktorá sa nedotýka vrcholu.

Hovorí sa, že pyramída je rovná, ak sú všetky bočné trojuholníky rovnoramenné. V tomto prípade je výška pyramídy segmentom, ktorý prechádza od vrcholu k stredu šesťuholníka.

Všeobecne platí, že výška pyramídy je vzdialenosť medzi vrcholom a rovinou základne. Hovorí sa, že pyramída je šikmá, ak nie všetky bočné trojuholníky sú rovnoramenné.

Ak je šesťuholník pravidelný a pyramída je tiež rovná, hovorí sa, že ide o pravidelnú hexagonálnu pyramídu. Podobne, ak je šesťuholník nepravidelný alebo pyramída je šikmá, hovorí sa, že je nepravidelná šesťuholníková pyramída..

rysy

Konkávne alebo konvexné

Polygon je konvexný, ak je miera všetkých vnútorných uhlov menšia ako 180 stupňov. Geometricky, toto je ekvivalentné s tým, že daný pár bodov vo vnútri mnohouholníka, úsečka, ktorá ich spája, je obsiahnutá v mnohouholníku. Inak sa hovorí, že mnohouholník je konkávny.

Ak je šesťuholník konvexný, hovorí sa, že pyramída je hexagonálna konvexná pyramída. V opačnom prípade bude povedané, že ide o konkávnu hexagonálnu pyramídu.

Aristas

Hrany pyramídy sú stranami šiestich trojuholníkov, ktoré tvoria.

apothem

Apotémom pyramídy je vzdialenosť medzi vrcholom a stranami základne pyramídy. Táto definícia dáva zmysel iba vtedy, keď je pyramída pravidelná, pretože ak je nepravidelná, táto vzdialenosť sa líši v závislosti od uvažovaného trojuholníka..

Naproti tomu v pravidelných pyramídach apotém zodpovedá výške každého trojuholníka (pretože každý je rovnoramenný) a bude rovnaký vo všetkých trojuholníkoch.

Základom základne je vzdialenosť medzi jednou zo strán základne a jej stredom. Spôsob, akým je definovaný, má zmysel len v pravidelných pyramídach.

významov

Výška hexagonálnej pyramídy bude označená hod, apotem základne (v bežnom prípade) o APB a apotem pyramídy (aj v bežnom prípade) AP.

Charakteristikou pravidelných hexagonálnych pyramíd je to hod, APB a AP tvoria pravý trojuholník prepony AP a nohy hod a APB. Podľa Pythagorovej vety musíte AP = √ (h^ 2 + APb ^ 2).

Predchádzajúci obrázok predstavuje pravidelnú pyramídu.

Ako vypočítať plochu? vzorca

Zvážte pravidelnú hexagonálnu pyramídu. Buďte prispôsobení každej strane šesťuholníka. Potom A zodpovedá rozmeru základne každého trojuholníka pyramídy, a teda aj okrajom základne.

Plocha mnohouholníka je súčinom obvodu (súčet strán) apotémou základne, vydelený dvoma. V prípade šesťuholníka by to bolo 3 * A * APb.

Je možné pozorovať, že plocha pravidelnej hexagonálnej pyramídy sa rovná šesťnásobku plochy každého trojuholníka pyramídy plus plocha základne. Ako už bolo spomenuté, výška každého trojuholníka zodpovedá apidému pyramídy, AP.

Preto je plocha každého trojuholníka pyramídy daná A * AP / 2. Takže oblasť pravidelnej hexagonálnej pyramídy je 3 * A * (APb + AP), kde A je hrana základne, APb je apotémou základne a AP apotémom pyramídy.

Výpočet v nepravidelných hexagonálnych pyramídach

V prípade nepravidelnej hexagonálnej pyramídy neexistuje žiadny priamy vzorec na výpočet plochy ako v predchádzajúcom prípade. Je to preto, že každý trojuholník pyramídy bude mať inú oblasť.

V tomto prípade musí byť plocha každého trojuholníka vypočítaná oddelene a plocha základne. Potom bude oblasť pyramídy súčtom všetkých oblastí vypočítaných predtým.

Ako vypočítať objem? vzorca

Objem pyramídy pravidelného šesťuholníkového tvaru je súčinom výšky pyramídy podľa plochy základne medzi tromi. Takže objem pravidelnej hexagonálnej pyramídy je daný A * APb * h, kde A je okraj základne, APb je apotémou základne a h je výška pyramídy.

Výpočet v nepravidelných hexagonálnych pyramídach

Analogicky k ploche, v prípade nepravidelnej hexagonálnej pyramídy, neexistuje žiadny priamy vzorec na výpočet objemu, pretože hrany základne nemajú rovnakú mieru, pretože ide o nepravidelný mnohouholník..

V tomto prípade musí byť plocha základne vypočítaná oddelene a objem bude (h * základná plocha) / 3.

príklad

Vypočítajte plochu a objem pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy s výškou 3 cm, ktorej základňa je pravidelným šesťhranom 2 cm na každej strane a okraj základne je 4 cm..

riešenie

Najprv musíme vypočítať apotem pyramídy (AP), ktorý je jediným chýbajúcim údajom. Pri pohľade na obrázok vyššie vidíte, že výška pyramídy (3 cm) a okraj základne (4 cm) tvoria pravouhlý trojuholník; preto na výpočet apotémy pyramídy používame Pytagorova veta:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Z vyššie uvedeného vzorca vyplýva, že plocha sa rovná 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

Na druhej strane, s použitím vzorca objemu získame, že objem danej pyramídy je 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

referencie

  1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2013). Matematika: prístup k riešeniu problémov učiteľov základných škôl. López Mateos Editori.
  2. Fregoso, R. S., & Carrera, S.A. (2005). Matematika 3. Editorial Progreso.
  3. Gallardo, G., & Pilar, P. M. (2005). Matematika 6. Editorial Progreso.
  4. Gutiérrez, C. T., & Cisneros, M. P. (2005). 3. Matematický kurz. Editorial Progreso.
  5. Kinsey, L., & Moore, T. E. (2006). Symetria, tvar a priestor: Úvod do matematiky prostredníctvom geometrie (ilustrovaný, dotlač ed.). Springer Science & Business Media.
  6. Mitchell, C. (1999). Oslňujúci Matematika Line vzory (Ilustrated ed.). Scholastic Inc.
  7. R., M. P. (2005). Kreslím 6º. Editorial Progreso.