Paralelné charakteristiky, typy, plocha, objem

kváder je geometrické teleso tvorené šiestimi plochami, ktorých hlavnou vlastnosťou je, že všetky ich tváre sú rovnobežníky a tiež ich protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné. Je to bežný mnohostenec v našom každodennom živote, pretože ho môžeme nájsť v krabiciach na topánky, v tvare tehly, v tvare mikrovlnnej rúry atď..

Bežný hranol je polyhedron a uzatvára konečný objem a všetky jeho plochy sú ploché. Je súčasťou skupiny hranolov, ktoré sú tie polyhedry, v ktorých sú všetky ich vrcholy obsiahnuté v dvoch paralelných rovinách.

index

• 1 Prvky Parallelepiped
  • 1.1 Tváre
  • 1.2 Hrany
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Diagonálne
  • 1.5 Stred
• 2 Charakteristiky paralelne
• 3 Typy
  • 3.1 Výpočet uhlopriečok
• 4 Oblasť
  • 4.1 Oblasť ortohedronu
  • 4.2 Plocha kocky
  • 4.3 Plocha rhombohedronu
  • 4.4 Plocha kosoštvorca
• 5 Objem hranola
  • 5.1 Perfektné hranolky
• 6 Bibliografia

Prvky rovnobežnostena

Caras

Každá z týchto oblastí je tvorená rovnobežníkmi, ktoré obmedzujú hranol. Hranolový hranol má šesť plôch, kde každá strana má štyri priľahlé plochy a jeden protiľahlý. Okrem toho je každá strana rovnobežná s jej protiľahlou stranou.

Aristas

Sú spoločnou stranou dvoch tvárí. Celkovo má hranol dvanásť hrán.

vrchol

Je to spoločný bod troch tvárí, ktoré sú vedľa seba dve až dve. Hranolový hranol má osem vrcholov.

uhlopriečka

Vzhľadom na dve protiľahlé strany rovnobežnostena, môžeme nakresliť úsečku, ktorá vedie od vrcholu jednej tváre k opačnému vrcholu druhého..

Tento segment je známy ako uhlopriečka rovnobežnostena. Každá hranola má štyri uhlopriečky.

centrum

Je to bod, v ktorom sa pretínajú všetky uhlopriečky.

Charakteristiky hranola

Ako sme spomínali, toto geometrické telo má dvanásť hrán, šesť tvárí a osem vrcholov.

V rovnobežníku môžete identifikovať tri sady tvorené štyrmi hranami, ktoré sú navzájom rovnobežné. Okrem toho hrany týchto súprav spĺňajú aj tú istú dĺžku.

Ďalšou vlastnosťou, že rovnobežnostenné hrany majú, je to, že sú konvexné, to znamená, že ak vezmeme akýkoľvek pár bodov patriacich do vnútra rovnobežnostena, segment určený uvedenou dvojicou bodov bude tiež vo vnútri hranola..

Okrem toho rovnobežnostenné hranoly, ktoré sú konvexnými polyhedrami, sú v súlade s Eulerovým teorémom pre polyhedra, čo nám dáva vzťah medzi počtom tvárí, počtom hrán a počtom vrcholov. Tento vzťah sa uvádza vo forme nasledujúcej rovnice:

C + V = A + 2

Táto vlastnosť je známa ako Eulerova charakteristika.

Kde C je počet tvárí, V počet vrcholov a A počet hrán.

typ

Môžeme klasifikovať paralepipy založené na ich tvárach v nasledujúcich typoch:

kváder

Sú to hranolky, kde ich tváre tvoria šesť obdĺžnikov. Každý obdĺžnik je kolmý na tie, ktoré zdieľa okraj. Oni sú najčastejšie v našom každodennom živote je to obvyklý spôsob, ako topánky krabíc a tehál.

Kocka alebo pravidelný hexahedron

Toto je konkrétny prípad predchádzajúceho, kde každá z tvárí je štvorec.

Kocka je tiež súčasťou geometrických telies nazývaných platonické pevné látky. Platónová tuhá látka je konvexný polyhedrón, takže obe jeho tváre a jeho vnútorné uhly sú si navzájom rovnaké.

romboedro

Je to hranol s diamantmi na tvári. Tieto diamanty sú si navzájom rovnaké, pretože zdieľajú hrany.

Romboiedro

Jeho šesť tvárí sú kosoštvorce. Pripomeňme, že kosodĺžnik je mnohouholník so štyrmi stranami a štyrmi uhlami, ktoré sa rovnajú dvom až dvom. Kosoštvorce sú rovnobežníky, ktoré nie sú ani štvorcové, ani obdĺžnikové, ani kosoštvorce.

Na druhej strane, šikmé rovnobežnostene sú tie, v ktorých aspoň jedna výška nesúhlasí s jej okrajom. V tejto klasifikácii môžeme zahrnúť rhombohedróny a kosočtverce.

Diagonálny výpočet

Na výpočet uhlopriečky orthohedronu môžeme použiť Pythagoreanovu vetu pre R³.

Pripomeňme, že ortohedron má charakteristiku, že každá strana je kolmá so stranami, ktoré zdieľajú okraj. Z tejto skutočnosti môžeme vyvodiť, že každá hrana je kolmá na tie, ktoré zdieľajú vrchol.

Na výpočet dĺžky uhlopriečky orthohedronu postupujeme nasledovne:

1. Vypočítame uhlopriečku jednej z tvárí, ktorú položíme ako základňu. Na tento účel používame Pytagorova teoréma. Názov tejto uhlopriečky d_b.

2. Potom s d_b môžeme vytvoriť nový pravouhlý trojuholník tak, že prepona uvedeného trojuholníka je hľadaná uhlopriečka D.

3. Opäť používame Pytagorovu vetu a máme, že dĺžka uvedenej uhlopriečky je:

Ďalší spôsob výpočtu uhlopriečok grafickejším spôsobom je súčet voľných vektorov.

Pripomeňme, že dva voľné vektory A a B sa pridajú umiestnením chvosta vektora B so špičkou vektora A.

Vektor (A + B) je vektor, ktorý začína na chvoste A a končí na špičke B.

Zvážte rovnobežník, ku ktorému chceme vypočítať uhlopriečku.

Identifikujeme hrany s vhodne orientovanými vektormi.

Potom pridáme tieto vektory a výsledným vektorom bude uhlopriečka rovnobežnostena.

rozloha

Plocha rovnobežnostena je daná súčtom každej z plôch ich plôch.

Ak určíme jednu zo strán ako základňu,

_L + 2A_B = Celková plocha

Kde A_L sa rovná súčtu plôch všetkých strán susediacich so základňou, nazývaných bočná plocha a A_B je základná plocha.

V závislosti od typu hranola, s ktorým pracujeme, môžeme tento vzorec prepísať.

Plocha ortohedronu

Je daná vzorcom

A = 2 (ab + bc + ca).

Príklad 1

Vzhľadom na nasledujúcu ortohronu, so stranami a = 6 cm, b = 8 cm a c = 10 cm, vypočítajte plochu rovnobežnostena a dĺžku jeho uhlopriečky..

Pomocou vzorca pre oblasť ortohedron musíme

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Všimnite si, že keďže je to ortohedron, dĺžka ktoréhokoľvek zo štyroch uhlopriečok je rovnaká.

Pomocou Pythagorovej vety o vesmíre musíme

D = (6)² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Plocha kocky

Pretože každý okraj má rovnakú dĺžku, máme a = b a a = c. Nahradenie v predchádzajúcom vzorci máme

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Príklad 2

Box hernej konzoly má tvar kocky. Ak chceme zabaliť túto krabičku s darčekovým papierom, koľko papiera by sme strávili s vedomím, že dĺžka okrajov kocky je 45 cm?

Pomocou vzorca kocky oblasti získame, že

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm)²= 12150 cm²

Oblasť rhombohedron

Keďže všetky ich tváre sú si rovné, stačí vypočítať plochu jedného z nich a vynásobiť ho šiestimi.

Plochu diamantu môžeme vypočítať pomocou uhlopriečok s nasledujúcim vzorcom

_R = (Dd) / 2

Z tohto vzorca vyplýva, že celková plocha rhombohedronu je

_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Príklad 3

Plochy nasledujúceho kosoštvorca sú tvorené kosoštvorcom, ktorého uhlopriečky sú D = 7 cm a d = 4 cm. Vaša oblasť bude

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Plocha kosoštvorca

Na výpočet plochy kosoštvorca musíme vypočítať plochu kosoštvorcov, ktoré ju tvoria. Vzhľadom k tomu, že rovnobežníky vyhovujú vlastnostiam, ktoré majú opačné strany v rovnakej oblasti, môžeme spojiť strany v troch pároch.

Týmto spôsobom budeme mať vašu oblasť

_T = 2b₁hod₁ + 2b₂hod₂ + 2b₃hod₃

Kde b_ja sú základy spojené so stranami a_ja jeho relatívna výška zodpovedajúca uvedeným základom.

Príklad 4

Zoberme do úvahy nasledujúce rovnobežnosti,

kde strana A a strana A '(jej protiľahlá strana) majú ako základňu b = 10 a pre výšku h = 6. Vyznačená plocha bude mať hodnotu

₁ = 2 (10) (6) = 120

B a B 'majú b = 4 a h = 6, potom

₂ = 2 (4) (6) = 48

A C a C 'majú b = 10 a h = 5, takže

₃ = 2 (10) (5) = 100

Nakoniec je oblasť rhombohedronu

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Objem rovnobežnostena

Vzorec, ktorý nám dáva objem rovnobežnostena, je súčinom plochy jednej z jeho plôch výškou zodpovedajúcou uvedenej ploche..

V = A_Chod_C

V závislosti od typu rovnobežnostena môže byť uvedený vzorec zjednodušený.

Tak napríklad máme objem ortohedronu

V = abc.

Kde a, b a c predstavujú dĺžku hrany ortohronu.

A v konkrétnom prípade kocky je

V = a³

Príklad 1

Existujú tri rôzne modely boxov cookies a chcete vedieť, v ktorých z týchto modelov môžete uložiť viac cookies, to znamená, ktorý z týchto boxov má najvyšší objem.

Prvou je kocka, ktorej okraj má dĺžku a = 10 cm

Jeho objem bude V = 1000 cm³

Druhý má hrany b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Jeho objem je teda V = 765 cm³

Tretia má hodnotu e = 9 cm, f = 9 cm a g = 13 cm

Jeho objem je V = 1053 cm³

Tretí je preto rámček s najväčším objemom.

Ďalšou metódou na získanie objemu rovnobežnostenu je uchýliť sa k vektorovej algebre. Najmä trojitý skalárny produkt.

Jedným z geometrických interpretácií, ktoré majú trojitý skalárny produkt, je objem rovnobežnostena, ktorého hrany sú tri vektory, ktoré zdieľajú rovnaký vrchol ako východiskový bod.

Týmto spôsobom, ak máme rovnobežník a chceme vedieť, aký je jeho objem, stačí ho reprezentovať v súradnicovom systéme v R³ zodpovedajúce jednému z jeho vrcholov.

Potom reprezentujeme hrany, ktoré sa zhodujú v počte s vektormi, ako je znázornené na obrázku.

A týmto spôsobom máme objem uvedeného rovnobežnostenu

V = | AxB ∙ C |

Alebo ekvivalentne je objem determinantom matice 3 × 3, tvorenej zložkami okrajových vektorov.

Príklad 2

Znázornením ďalšieho rovnobežnostena v R³ vidíme, že vektory, ktoré ju určujú, sú nasledujúce

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) a w = (-0,25, -4, 4)

Pomocou trojitého skalárneho produktu máme

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Z toho usudzujeme, že V = 60

Vezmite do úvahy nasledujúce rovnobežnosti v R3, ktorých hrany sú určené vektormi

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) a C = (3, 4, 4)

Použitie determinantov nám to dáva

Takže máme, že objem uvedeného rovnobežnostena je 112.

Obidva sú ekvivalentné spôsoby výpočtu objemu.

Perfektný paralepip

To je známe ako Eulerova tehla (alebo Eulerov blok) k ortohedronu, ktorý spĺňa vlastnosť, že ako dĺžka jeho okrajov, tak dĺžka uhlopriečok každej z jeho tvárí sú celé čísla..

Kým Euler nebol prvým vedcom, ktorý študoval ortohedróny, ktoré sa s týmto majetkom stretávajú, našiel o nich zaujímavé výsledky..

Menšiu tehlu Euler objavil Paul Halcke a dĺžky jej okrajov sú a = 44, b = 117 a c = 240.

Otvorený problém v teórii čísel je nasledovný

Sú tam dokonalé ortohedróny?

V súčasnosti nie je možné odpovedať na túto otázku, pretože nebolo možné dokázať, že tieto orgány neexistujú, ale nenašiel sa žiadny z nich..

Doteraz sa ukázalo, že existujú dokonalé hranoly. Prvá objavená má dĺžku svojich okrajov hodnoty 103, 106 a 271.

bibliografia

1. Guy, R. (1981). Nevyriešené problémy v teórii čísel. skokan.
2. Landaverde, F. d. (1997). geometria. pokrok.
3. Leithold, L. (1992). VÝPOČET s analytickou geometriou. HARLA, S.A..
4. Rendon, A. (2004). Technický výkres: Workbook 3 2. Baccalaureate . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fyzika Vol. Mexiko: Continental.