Metóda lineárnej interpolácie, riešené úlohy



lineárna interpolácia je metóda, ktorá pochádza zo všeobecnej interpolácie Newtona a umožňuje určiť aproximáciou neznámu hodnotu, ktorá je medzi dvoma danými číslami; to znamená, že existuje stredná hodnota. Používa sa aj na približné funkcie, kde hodnoty f(A) a f(B) sú známe a chcete poznať medziprodukt f(X).

Existujú rôzne typy interpolácie, ako sú lineárne, kvadratické, kubické a vyššie stupne, pričom najjednoduchšie je lineárna aproximácia. Cena, ktorá musí byť zaplatená lineárnou interpoláciou je, že výsledok nebude taký presný ako pri aproximáciách funkciami vyšších tried.

index

  • 1 Definícia
  • 2 Metóda
  • 3 Riešené úlohy
    • 3.1 Cvičenie 1
    • 3.2 Cvičenie 2
  • 4 Odkazy

definícia

Lineárna interpolácia je proces, ktorý umožňuje odvodiť hodnotu medzi dvoma presne definovanými hodnotami, ktoré môžu byť v tabuľke alebo v lineárnom grafe..

Napríklad, ak je známe, že 3 litre Lechenich v hodnote $ 4 až $ 5 litrov v hodnote 7, ale chce vedieť, čo sa hodnota 4 litre mlieka, je interpolovaním na určenie strednej hodnoty.

metóda

Na odhad strednej hodnoty funkcie je funkcia f aproximovaná(X) pomocou priamky r(X), čo znamená, že funkcia sa mení lineárne s "x" pre úsek "x = a" a "x = b"; to znamená pre hodnotu "x" v intervale (x0, x1) a (a0, a1), hodnota „y“ je daná čiarou medzi bodmi a je vyjadrená nasledujúcim vzťahom:

(a - a0) ÷ (x - x0) = (a1 - a0) ÷ (x1 - x0)

Pre interpolácie je lineárna, to je nutné, aby interpolačnou polynóm stupňa jedna (n = 1), aby sa zmestili do hodnoty x0 a x1.

Lineárny interpolácia je založené na podobnosti trojuholníkov, tak, že geometricky odvodenie vyššie uvedený výraz, možno získať hodnotu "y", ktorý predstavuje neznámu hodnotu "x".

Takto musíte:

a = tan Ɵ = (opačná strana1 ÷ priľahlé rameno1) = (na opačnej strane2 ÷ priľahlé rameno2)

Vyjadrené iným spôsobom, je to:

(a - a0) ÷ (x - x0) = (a1 - a0) ÷ (x1 - x0)

Vymazanie "a" výrazov, ktoré máte:

(a - a0) * (x1 - x0) = (x - x0) * (a1 - a0)

(a - a0) = (a1 - a0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Tak získame všeobecnú rovnicu pre lineárnu interpoláciu:

y = y0 + (a1 - a0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Všeobecne platí lineárna interpolácia poskytuje malú chybu na reálnu hodnotu reálne funkcie, a to aj v prípade, že chyba je minimálny v porovnaní s, ak sa rozhodnete intuitívne u číslo, ktoré chcete nájsť.

Táto chyba nastane, keď sa pokúsite priblížiť hodnotu krivky s priamkou; pre tieto prípady sa musí zmenšiť veľkosť intervalu, aby bola aproximácia presnejšia.

Na dosiahnutie lepších výsledkov s ohľadom na prístup je vhodné použiť funkcie triedy 2, 3 alebo dokonca vyššie triedy na vykonanie interpolácie. Pre tieto prípady je Taylorov teorém veľmi užitočným nástrojom.

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Počet baktérií na jednotku objemu existujúci v inkubácii po x hodinách je uvedený v nasledujúcej tabuľke. Chcete vedieť, aký je objem baktérií po dobu 3,5 hodiny.

riešenie

Referenčná tabuľka nenastavuje hodnotu udávajúce množstvo baktérií po dobu 3,5 hodiny, ale bude mať zodpovedajúce minimálne a maximálne hodnoty v čase 3 až 4 hodiny, v danom poradí. teda:

x0 = 3 a0 = 91

x = 3,5 y =?

x1 = 4 a1 = 135

Na zistenie interpolovanej hodnoty, ktorá je nasledovná, sa teraz používa matematická rovnica:

y = y0 + (a1 - a0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)].

Potom sa nahradia zodpovedajúce hodnoty:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0,5

y = 113.

Tak je dosiahnuté toho, že po dobu 3,5 hodiny je množstvo baktérií je 113, čo predstavuje strednú úroveň medzi množstvom baktérií v dobe 3 až 4 hodiny.

Cvičenie 2

Luis má továreň na zmrzlinu a chce urobiť štúdiu na určenie príjmu, ktorý mal v auguste z vynaložených výdavkov. Manažér spoločnosti vytvorí graf, ktorý vyjadruje tento vzťah, ale Luis chce vedieť:

Aké sú príjmy za august, ak boli vynaložené náklady vo výške 55 000 dolárov??

riešenie

Graf uvádza hodnoty príjmov a výdavkov. Luis chce vedieť, čo je v auguste príjem, ak továreň mala náklady na 55.000 dolárov. Táto hodnota sa neodráža priamo v grafe, ale hodnoty vyššie a nižšie ako sú tieto hodnoty.

Najprv sa vytvorí tabuľka, kde sa hodnoty dajú ľahko prepojiť:

Interpolačný vzorec sa teraz používa na určenie hodnoty y

y = y0 + (a1 - a0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Potom sa nahradia zodpovedajúce hodnoty:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]

y = 56 000 + (22 000) * (0,588)

y = 56 000 + 12,936

y = 68,936 USD.

Ak sa v auguste vynaložili výdavky vo výške 55 000 USD, príjem bol 68 936 USD.

referencie

  1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
  2. Harpe, P. d. (2000). Témy v teórii geometrických skupín. University of Chicago Press.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Lineárna interpolácia, Encyklopédia matematiky.
  4. , J. M. (1998). Prvky numerických metód pre inžinierstvo. UASLP.
  5. , E. (2002). Chronológia interpolácie: od starovekej astronómie po moderné spracovanie signálu a obrazu. Konanie IEEE.
  6. numerické, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.