Zdieľam:
Euklidovská história geometrie, základné pojmy a príklady
Euklidovská geometria zodpovedá štúdiu vlastností geometrických priestorov, kde sú splnené axiómy Euclidov. Aj keď sa tento termín niekedy používa na zahrnutie geometrií, ktoré majú vynikajúce rozmery s podobnými vlastnosťami, je zvyčajne synonymom klasickej geometrie alebo plochej geometrie..
V treťom storočí a. C. Euclid a jeho učeníci napísali prvky, práca, ktorá zahŕňala matematické poznanie času obdareného logicko-deduktívnou štruktúrou. Odvtedy sa geometria stala vedou, spočiatku na riešenie klasických problémov a vyvinula sa do formatívnej vedy, ktorá pomáha rozumu.
index
- 1 História
- 2 Základné pojmy
- 2.1 Spoločné pojmy
- 2.2 Postuláty alebo axiómy
- 3 Príklady
- 3.1 Prvý príklad
- 3.2 Druhý príklad
- 3.3 Tretí príklad
- 4 Odkazy
histórie
Ak chcete hovoriť o histórii euklidovskej geometrie, je nevyhnutné začať s euklidom Alexandrie a prvky.
Keď bol Egypt v rukách Ptolemaia I, po smrti Alexandra Veľkého začal svoj projekt v škole v Alexandrii.
Medzi mudrcami, ktorí učili v škole, bola Euclid. To je špekuloval, že jeho dátumy narodenia približne od 325 a. C. a jeho smrť 265 a. C. S istotou vieme, že išiel do Platónovej školy.
Viac ako tridsať rokov Euclid učil v Alexandrii, budovať svoje slávne prvky: začal písať vyčerpávajúci opis matematiky svojej doby. Učenie Euclida prinieslo vynikajúcich učeníkov, ako sú Archimedes a Apollonius z Pergy.
Euclid bol zodpovedný za štruktúrovanie rôznorodých objavov klasických Grékov prvky, ale na rozdiel od svojich predchodcov sa neobmedzuje na tvrdenie, že veta je pravdivá; Euclides ponúka ukážku.
prvky Sú to kompendium trinástich kníh. Po Biblii je to najviac publikovaná kniha s viac ako tisíckou edíciou.
prvky je majstrovským dielom Euclida v oblasti geometrie a ponúka definitívne spracovanie geometrie dvoch rozmerov (roviny) a troch dimenzií (priestoru), čo je pôvod toho, čo teraz poznáme ako euklidovská geometria.
Základné pojmy
Prvky sú tvorené definíciami, spoločnými pojmami a postulátmi (alebo axiómami), za ktorými nasledujú vety, konštrukcie a ukážky.
- Bod je ten, ktorý nemá žiadne časti.
- Čiara je dĺžka, ktorá nemá šírku.
- Rovná čiara je tá, ktorá leží rovnako vo vzťahu k bodom, ktoré sú v tomto bode.
- Ak sú dve čiary vyrezané tak, že susedné uhly sú rovnaké, uhly sa nazývajú priamky a čiary sa nazývajú kolmice..
- Paralelné čiary sú tie, ktoré nie sú v tej istej rovine nikdy rezané.
Po týchto a ďalších definíciách Euclid predstavuje zoznam piatich postulátov a piatich pojmov.
Spoločné pojmy
- Dve veci, ktoré sa rovnajú tretine, sú si navzájom rovnocenné.
- Ak sa rovnaké veci pridajú k tým istým veciam, výsledky sú rovnaké.
- Ak sa rovnaké veci odpočítajú od tých istých vecí, výsledky sú rovnaké.
- Veci, ktoré sa navzájom zhodujú, sú si navzájom rovnocenné.
- Celková hodnota je väčšia ako časť.
Postuláty alebo axiómy
- Pre dva rôzne body jeden a len jeden riadok prechádza.
- Priame čiary sa môžu predĺžiť na neurčito.
- Môžete nakresliť kruh s ktorýmkoľvek stredom a ľubovoľným polomerom.
- Všetky pravé uhly sú rovnaké.
- Ak priamka prechádza dvoma rovnými čiarami tak, aby vnútorné uhly tej istej strany sčítali menej ako dva pravé uhly, potom sa tieto dve čiary pretínajú na tejto strane..
Tento posledný postulát je známy ako postulát paralel a bol preformulovaný nasledovne: "Pre bod mimo čiary môžete nakresliť jednu rovnobežku s daným riadkom".
Príklady
Ďalej, niektoré vety prvky budú slúžiť na znázornenie vlastností geometrických priestorov, kde je splnených päť postulátov Euclidu; Okrem toho budú ilustrovať logicko-deduktívne uvažovanie, ktoré používa tento matematik.
Prvý príklad
Návrh 1.4. (LAL)
Ak dva trojuholníky majú dve strany a uhol medzi nimi je rovnaký, potom ostatné strany a ostatné uhly sú rovnaké.
show
ABC a A'B'C 'sú dva trojuholníky s AB = A'B', AC = A'C 'a uhly BAC a B'A'C' rovnaké. Presun na trojuholník A'B'C 'tak, že A'B' sa zhoduje s AB a ten uhol B'A'C 'sa zhoduje s uhlom BAC.
Potom sa čiara A'C 'zhoduje s čiarou AC, takže C' sa zhoduje s C. Potom postulátom 1 sa čiara BC musí zhodovať s čiarou B'C '. Preto sa tieto dva trojuholníky zhodujú, a preto sú ich uhly a strany rovnaké.
Druhý príklad
Návrh 1.5. (Pons Asinorum)
Ak má trojuholník dve rovnaké strany, potom sú uhly oproti týmto stranám rovnaké.
show
Predpokladajme, že trojuholník ABC má rovnaké strany AB a AC.
Potom majú trojuholníky ABD a ACD dve rovnaké strany a uhly medzi nimi sú rovnaké. Teda podľa návrhu 1.4 sú uhly ABD a ACD rovnaké.
Tretí príklad
Návrh 1.31
Môžete vytvoriť čiaru rovnobežnú s čiarou danou daným bodom.
výstavba
Vzhľadom na priamku L a bod P sa nakreslí priamka M, ktorá prechádza cez P a narezáva sa do L. Potom sa pomocou priamky N nakreslí P, ktorá sa prereže na L. Teraz sa pomocou P označí priamka N, ktorá odreže na M, tvoriace uhol rovný uhlu, ktorý L tvorí s M.
vyhlásenie
N je rovnobežná s L.
show
Predpokladajme, že L a N nie sú rovnobežné a pretínajú sa v bode A. Nech B je bod na L za A. Uvažujme priamku O prechádzajúcu cez B a P. Potom sa O rozrezá na M tvoriace uhly, ktoré pridávajú menej ako dve rovné.
Potom o 1,5 musí čiara O narezať na líniu L na druhej strane M, takže L a O sa pretínajú v dvoch bodoch, čo je v rozpore s postulátom 1. Preto musia byť L a N paralelné.
referencie
- Euklidové prvky geometrie. Národná autonómna univerzita v Mexiku
- Euclides. Prvých šesť kníh a jedenásty a dvanásty element Euclida
- Eugenio Filloy Yague. Didaktika a dejiny euklidovskej geometrie Iberoamerická redakčná skupina
- K.Ribnikov. História matematiky Mir Editorial
- Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Venezuelská redakcia C.A.