Čiastkové prípady frakcií a príklady



čiastkových frakcií sú to frakcie tvorené polynómami, v ktorých menovateľom môže byť lineárny alebo kvadratický polynóm a navyše sa môže zvýšiť na určitú moc. Niekedy, keď máme racionálne funkcie, je veľmi užitočné prepísať túto funkciu ako súčet čiastkových zlomkov alebo jednoduchých zlomkov.

Je to tak preto, že týmto spôsobom môžeme s týmito funkciami manipulovať lepšie, najmä v tých prípadoch, keď je potrebné integrovať túto aplikáciu. Racionálna funkcia je jednoducho kvocientom medzi dvoma polynómami a môže byť správna alebo nesprávna.

Ak je stupeň polynómu čitateľa menší ako menovateľ, nazýva sa jeho vlastnou racionálnou funkciou; inak je označovaná ako nesprávna racionálna funkcia.

index

  • 1 Definícia
  • 2 Prípady
    • 2.1 Prípad 1
    • 2.2 Prípad 2
    • 2.3 Prípad 3
    • 2.4 Prípad 4
  • 3 Aplikácie
    • 3.1 Komplexný výpočet
    • 3.2 Zákon hromadného konania
    • 3.3 Diferenciálne rovnice: logistická rovnica
  • 4 Odkazy

definícia

Keď máme nesprávnu racionálnu funkciu, môžeme rozdeliť polynóm čitateľa medzi polynóm menovateľa a teda prepísať zlomok p (x) / q (x) podľa algoritmu delenia ako t (x) + s (x) / q (x), kde t (x) je polynóm a s (x) / q (x) je racionálna funkcia jeho vlastného.

Parciálna frakcia je akákoľvek správna funkcia polynómov, ktorej menovateľ je formy (ax + b)n o (ax2+ bx + c)n, ak je polynómna sekera2 + bx + c nemá skutočné korene a n je prirodzené číslo.

S cieľom prepísať racionálnu funkciu v čiastkových zlomkoch, prvá vec, ktorú treba urobiť, je faktor menovateľa q (x) ako súčin lineárnych a / alebo kvadratických faktorov. Akonáhle sa tak stane, určia sa čiastkové frakcie, ktoré závisia od povahy uvedených faktorov.

prípady

Považujeme niekoľko prípadov samostatne.

Prípad 1. \ T

Faktory q (x) sú lineárne a žiadne sa neopakuje. To je:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Tam nie je žiadny lineárny faktor totožný s iným. Keď nastane tento prípad, napíšeme:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Kde A1,2,..., As sú konštanty, ktoré chcete nájsť.

príklad

Chceme rozložiť racionálnu funkciu na jednoduché zlomky:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Pokračujeme faktorizáciou menovateľa, to znamená:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

potom:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Použitím najmenej spoločného násobku môžete získať:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Chceme získať hodnoty konštánt A, B a C, ktoré možno nájsť nahradením koreňov, ktoré rušia každý z termínov. Nahradenie 0 za x máme:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Nahradenie - 1 za x máme:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Nahradenie - 2 za x máme:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Týmto spôsobom sa získajú hodnoty A = -1/2, B = 2 a C = -3/2..

Existuje iná metóda na získanie hodnôt A, B a C. Ak na pravej strane rovnice x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kombinujeme výrazy, máme:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Keďže ide o rovnosť polynómov, máme, že koeficienty na ľavej strane musia byť rovnaké ako koeficienty na pravej strane. Výsledkom je nasledujúci systém rovníc:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Pri riešení tohto systému rovníc získame výsledky A = -1/2, B = 2 a C = -3/2.

Nahradením získaných hodnôt musíme:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Prípad 2

Faktory q (x) sú lineárne a niektoré sa opakujú. Predpokladajme, že (ax + b) je faktor, ktorý sa opakuje "s" krát; potom k tomuto faktoru zodpovedá súčtu čiastkových zlomkov "s".

s/ (ax + b)s + s-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Kde As,s-1,..., A1 sú to konštanty, ktoré sa majú určiť. Nasledujúcim príkladom ukážeme, ako určiť tieto konštanty.

príklad

Rozklad na čiastkové zlomky:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Racionálnu funkciu píšeme ako súčet čiastkových zlomkov takto:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

potom:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Nahradením 2 za x musíme:

7 = 4C, to znamená C = 7/4.

Nahradenie 0 za x máme:

- 1 = -8A alebo A = 1/8.

Nahradením týchto hodnôt v predchádzajúcej rovnici a vývojom musíme:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +dx3 - 2DX2 + bývalý2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Zodpovedajúcimi koeficientmi získame nasledujúci systém rovníc:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Pri riešení systému máme:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Z tohto dôvodu musíme:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Prípad 3

Faktory q (x) sú kvadratické lineárne bez opakovaného kvadratického faktora. V tomto prípade kvadratický faktor (ax2 + bx + c) zodpovedá čiastočnej frakcii (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), kde konštanty A a B sú tie, ktoré chcete určiť.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako postupovať v tomto prípade

príklad

Rozklad na jednoduché frakcie a (x + 1) / (x3 - 1).

Najprv pristúpime k faktoru menovateľa, ktorý nám dáva výsledok:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Vidíme to (x2 + x + 1) je ireducibilný kvadratický polynóm; to znamená, že nemá skutočné korene. Jeho rozklad na čiastkové frakcie bude nasledovný:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Z toho získame nasledujúcu rovnicu:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Pomocou rovnosti polynómov získame nasledujúci systém:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A - C = 1;

Z tohto systému máme A = 2/3, B = - 2/3 a C = 1/3. Nahradenie, musíme:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Prípad 4

Nakoniec, prípad 4 je taký, v ktorom sú faktory q (x) lineárne a kvadratické, kde sa niektoré lineárne kvadratické faktory opakujú..

V tomto prípade áno (sekera2 + bx + c) je kvadratický faktor, ktorý sa opakuje "s" krát, potom čiastkový zlomok zodpovedajúci faktoru (ax)2 + bx + c) bude:

(A1x + B) / (ax2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (sekera)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (sekera)2 + bx + c)s

Kde As, s-1,..., A a Bs, Bs-1,..., B sú konštanty, ktoré chcete určiť.

príklad

Chceme rozdeliť nasledujúcu racionálnu funkciu na čiastkové zlomky:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Ako x2 - 4x + 5 je ireducibilný kvadratický faktor, máme, že jeho rozklad na čiastkové zlomky je daný:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Zjednodušenie a rozvoj:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (-40A + 5C + E) x + 25A.

Z vyššie uvedeného máme nasledujúci systém rovníc:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Pri riešení systému musíme:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 a E = - 3/5.

Pri nahradení získaných hodnôt máme:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

aplikácie

Komplexný výpočet

Parciálne zlomky sa používajú hlavne na štúdium integrálneho počtu. Nižšie uvidíme niekoľko príkladov, ako urobiť integrály pomocou parciálnych zlomkov.

Príklad 1

Chceme vypočítať integrál:

Vidíme, že menovateľ q (x) = (t + 2)2(t + 1) sa skladá z lineárnych faktorov, kde jedna z týchto opakovaní; za to sme v prípade 2.

Musíme:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Prepíšeme rovnicu a máme:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Ak t = - 1, musíme:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Ak t = - 2, dáva nám:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Potom, ak t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Nahradenie hodnôt A a C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Z vyššie uvedeného máme, že B = - 1.

Integrál prepíšeme ako:

Pokračujeme v jej riešení substitučnou metódou:

Výsledkom je:

Príklad 2

Vyriešte nasledujúci integrál:

V tomto prípade môžeme faktor q (x) = x2 - 4 ako q (x) = (x - 2) (x + 2). Zjavne sme v prípade 1. Preto:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Môže byť vyjadrený aj ako:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ak x = - 2, máme:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

A ak x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Musíme teda vyriešiť daný integrál, ktorý je ekvivalentný riešeniu:

Výsledkom je:

Príklad 3

Vyriešte integrál:

Máme q (x) = 9x4 + x2 , , že môžeme faktor v q (x) = x2(9x2 + 1).

Pri tejto príležitosti máme opakovaný lineárny faktor a kvadratický faktor; to znamená, že sme v prípade 3.

Musíme:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + dx2

Zoskupovanie a používanie rovnosti polynómov, máme:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Z tohto systému rovníc musíme:

D = -9 a C = 0

Týmto spôsobom máme:

Riešením vyššie uvedeného máme:

Zákon hromadného konania

Zaujímavá aplikácia parciálnych frakcií aplikovaných na integrálny počet sa nachádza v chémii, presnejšie v zákone o masovom pôsobení..

Predpokladajme, že máme dve látky, A a B, ktoré sa spájajú a tvoria látku C, takže derivácia množstva C vzhľadom na čas je úmerná súčinu množstiev A a B v danom okamihu.

Zákon hromadného konania môžeme vyjadriť takto:

V tomto výraze α je počiatočné množstvo gramov zodpovedajúce A a β počiatočnému množstvu gramov zodpovedajúcemu B.

Okrem toho r a s predstavujú počet gramov A a B, ktoré sa kombinujú do tvaru r + s gramov C. Pre svoju časť x predstavuje počet gramov látky C v čase t a K je proporcionality. Vyššie uvedená rovnica môže byť prepísaná ako:

Vykonanie nasledujúcich zmien:

Máme, že rovnica sa stane:

Z tohto výrazu môžeme získať:

Ak áno a ≠ b, čiastkové zlomky možno použiť na integráciu.

príklad

Vezmime si napríklad látku C, ktorá vzniká spojením látky A s B, takým spôsobom, že sa splní zákon hmoty, kde hodnoty a a b sú 8 a 6. Dajte rovnicu, ktorá nám dáva hodnotu gramov C ako funkciu času.

Nahradením hodnôt v danom masovom zákone máme:

Pri oddeľovaní premenných máme:

Tu možno 1 / (8 - x) (6 - x) zapísať ako súčet čiastkových zlomkov takto:

1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ak nahradíme x za 6, máme to B = 1/2; a nahradením x za 8 máme A = - 1/2.

Integrácia čiastkovými zlomkami máme:

Výsledkom je:

Diferenciálne rovnice: logistická rovnica

Ďalšia aplikácia, ktorá môže byť aplikovaná na čiastkové zlomky, je v logistickej diferenciálnej rovnici. V jednoduchých modeloch máme, že miera rastu populácie je úmerná jej veľkosti; to je:

Tento prípad je ideálny a považuje sa za realistický, až kým sa nestane, že zdroje dostupné v systéme nie sú dostatočné na udržanie obyvateľstva.

V týchto situáciách je rozumnejšie myslieť si, že existuje maximálna kapacita, ktorú budeme nazývať L, ktorú systém dokáže udržať a že miera rastu je úmerná veľkosti populácie vynásobenej dostupnou veľkosťou. Tento argument vedie k nasledujúcej diferenciálnej rovnici:

Tento výraz sa nazýva logistická diferenciálna rovnica. Ide o separovateľnú diferenciálnu rovnicu, ktorú možno riešiť metódou integrácie čiastkovými zlomkami.

príklad

Príkladom by bolo zvážiť populáciu, ktorá rastie podľa nasledujúcej logistickej diferenciálnej rovnice y '= 0,0004y (1000 - y), ktorej počiatočné údaje sú 400. Chceme poznať veľkosť populácie v čase t = 2, kde t sa meria rokov.

Ak napíšeme a 's notáciou Leibniz ako funkciu, ktorá závisí od t, musíme:

Integrál ľavej strany je možné riešiť metódou integrácie čiastkovými zlomkami:

Túto poslednú rovnosť možno prepísať takto:

- Nahradenie y = 0 máme A rovná 1/1000.

- Nahradením y = 1000 máme, že B sa rovná 1/1000.

Pri týchto hodnotách je integrál ponechaný takto:

Riešením je:

Použitie počiatočných údajov:

Pri zúčtovaní a opustení:

Potom máme, že t = 2:

Na záver, po 2 rokoch je veľkosť populácie približne 597,37.

referencie

  1. A, R. A. (2012). Matematika 1. Andská univerzita. Rada pre publikácie.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 vyriešených integrálov. Národná experimentálna univerzita v Tachire.
  3. Leithold, L. (1992). VÝPOČET s analytickou geometriou. HARLA, S.A..
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). kalkulácie. Mexiko: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Komplexný kalkul. prepona.