Výpočet aproximácií pomocou diferenciálu

Aproximácia v matematike je číslo, ktoré nie je presnou hodnotou niečoho, ale je tak blízko, že sa považuje za užitočné, pretože táto presná hodnota.

Keď sa v matematike robia aproximácie, je to preto, že manuálne je ťažké (alebo niekedy nemožné) poznať presnú hodnotu toho, čo sa chce.

Hlavným nástrojom pri práci s aproximáciami je rozdiel funkcie.

Rozdiel funkcie f, označenej Δf (x), nie je nič viac ako derivácia funkcie f násobenej zmenou nezávislej premennej, to znamená Δf (x) = f '(x) * Δx.

Niekedy df a dx sa použijú namiesto Af a Ax.

Prístupy pomocou diferenciálu

Vzorec, ktorý sa používa na aproximáciu prostredníctvom diferenciálu, vzniká práve z definície derivácie funkcie ako limitu.

Tento vzorec je daný:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Tu sa rozumie, že Ax = x-x0, teda x = x0 + Ax. Pomocou tohto vzorca možno prepísať ako

f (x0 + Ax) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Treba poznamenať, že "x0" nie je ľubovoľná hodnota, ale je to taká hodnota, že f (x0) je ľahko známa; Okrem toho, "f (x)" je len hodnota, ktorú chceme priblížiť.

Existujú lepšie aproximácie?

Odpoveď znie áno. Predchádzajúca je najjednoduchšia aproximácia nazývaná "lineárna aproximácia".

Pre lepšiu aproximáciu kvality (chyba je menšia) sa používajú polynómy s viacerými derivátmi nazývanými "Taylorove polynómy", ako aj iné numerické metódy, ako napríklad metóda Newton-Raphsonova metóda..

stratégia

Nasledujúca stratégia:

- Vyberte vhodnú funkciu f na vykonanie aproximácie a hodnotu "x" tak, aby f (x) bola hodnota, ktorú chcete priblížiť.

- Vyberte hodnotu "x0", blízko "x", takže f (x0) sa dá ľahko vypočítať.

- Vypočítajte Ax = x-x0.

- Vypočítajte deriváciu funkcie a f '(x0).

- Nahraďte údaje vo vzorci.

Riešené aproximačné cvičenia

V tom, čo pokračuje, existuje séria cvičení, pri ktorých sa pomocou diferenciálu robia aproximácie.

Prvé cvičenie

Približne √3.

riešenie

Na základe stratégie musí byť zvolená vhodná funkcia. V tomto prípade je možné vidieť, že zvolená funkcia musí byť f (x) = √x a približná hodnota je f (3) = √3.

Teraz musíme zvoliť hodnotu "x0" v blízkosti "3", takže f (x0) sa dá ľahko vypočítať. Ak zvolíte "x0 = 2", máte "x0" blízko "3", ale f (x0) = f (2) = √2 nie je ľahké vypočítať.

Hodnota "x0", ktorá je vhodná, je "4", pretože "4" sa blíži "3" a tiež f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Ak "x = 3" a "x0 = 4", potom Ax = 3-4 = -1. Teraz pokračujeme na výpočet derivácie f. To znamená, že f '(x) = 1/2 * √x, takže f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Nahradenie všetkých hodnôt vo vzorci získate:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Ak sa použije kalkulačka, získa sa √3≈1,73205 ... To ukazuje, že predchádzajúci výsledok je dobrou aproximáciou reálnej hodnoty.

Druhé cvičenie

Približne √10.

riešenie

Ako predtým sa volí ako funkcia f (x) = √x av tomto prípade x = 10.

Hodnota x0, ktorá sa musí vybrať v tejto príležitosti, je "x0 = 9". Potom máme, že Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 a f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Pri hodnotení vo vzorci to dostanete

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Pomocou kalkulačky dostanete, že √10 ≈ 3.1622776 ... Tu môžete vidieť, že bola dosiahnutá dobrá aproximácia pred.

Tretie cvičenie

Približne √√10, kde ³√ označuje kubický koreň.

riešenie

Funkcia, ktorá by mala byť použitá v tomto cvičení, je zjavne f (x) = ³√x a hodnota „x“ musí byť „10“.

Hodnota blízka "10" taká, že je známy jej koreň kocky, je "x0 = 8". Potom máme, že Δx = 10-8 = 2 a f (x0) = f (8) = 2. Máme tiež to, že f '(x) = 1/3 * ³√x², a teda f' (8) = 1/3 * √8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Nahradením údajov vo vzorci sa získa, že:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666 ... .

Kalkulačka hovorí, že √√10 ≈ 2.15443469 ... Preto je nájdená aproximácia dobrá.

Štvrté cvičenie

Približne ln (1,3), kde "ln" označuje prirodzenú logaritmickú funkciu.

riešenie

Najprv sa zvolí funkcia f (x) = ln (x) a hodnota "x" je 1,3. Teraz, keď vieme trochu o logaritmickej funkcii, môžeme vedieť, že ln (1) = 0, a tiež "1" sa blíži "1,3". Preto sa zvolí "x0 = 1" a tak Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Na druhej strane f '(x) = 1 / x, takže f' (1) = 1. Pri hodnotení v danom vzorci musíte:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 x 0,3 = 0,3.

Pri použití kalkulačky musíte ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Takže aproximácia je dobrá.

referencie

1. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Matematika precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus matematika: prístup riešenia problémov (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). precalculus (8 vyd.). Cengage Učenie.
5. Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Plochá analytická geometria. Mérida - Venezuela: Redakčná Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). kalkulácie (Deviaty ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciálny počet s včasnými transcendentnými funkciami pre vedu a inžinierstvo (Druhé vydanie ed.). prepona.
9. Scott, C. A. (2009). Kartézska rovinná geometria, časť: Analytické kužeľky (1907) (dotlač ed.). Zdroj blesku.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.