Axiomatické metódy, kroky, príklady



axiomatická metóda alebo tiež nazývaný Axiomatika je formálny postup používaný vedami, pomocou ktorého sa formulujú výroky alebo výroky nazývané axiómy, ktoré sú navzájom prepojené vzťahom odpočítateľnosti a ktoré sú základom hypotézy alebo podmienok určitého systému..

Táto všeobecná definícia musí byť formulovaná v rámci vývoja, ktorý mala táto metodika v histórii. Po prvé, existuje starodávna metóda alebo obsah, narodený v starovekom Grécku od Euclida a neskôr vyvinutý Aristotelom.

Po druhé, už v devätnástom storočí sa objavila geometria s axiómami odlišnými od euklidov. A nakoniec, formálna alebo moderná axiomatická metóda, ktorej maximálnym exponentom bol David Hilbert.

Tento postup bol nad rámec svojho vývoja v priebehu času základom deduktívnej metódy používanej v geometrii a logike, kde vznikol. Používa sa aj vo fyzike, chémii a biológii.

A dokonca sa to týkalo právnej vedy, sociológie a politickej ekonomiky. V súčasnosti je však jeho najdôležitejšou oblasťou použitia matematika a symbolická logika a niektoré odbory fyziky, ako je termodynamika, mechanika, okrem iných disciplín..

index

  • 1 Charakteristiky 
    • 1.1 Stará axiomatická metóda alebo obsah 
    • 1.2 Neeuklidovská axiomatická metóda
    • 1.3 Moderná alebo formálna axiomatická metóda
  • 2 kroky 
  • 3 Príklady
  • 4 Odkazy

rysy

Hoci základnou charakteristikou tejto metódy je formulácia axiómov, tieto neboli vždy posudzované rovnakým spôsobom.

Sú niektoré, ktoré možno definovať a konštruovať ľubovoľným spôsobom. A iní, podľa modelu, v ktorom sa berie do úvahy jeho intuitívne zaručená pravda.

Aby sme pochopili, čo presne tento rozdiel spočíva a jeho dôsledky, je potrebné preskúmať vývoj tejto metódy.

Stará axiomatická metóda alebo obsah 

Je to tá, ktorá vznikla v starovekom Grécku okolo 5. storočia pred naším letopočtom. Jej oblasť použitia je geometria. Základnou prácou tejto etapy sú prvky Euclida, aj keď sa predpokladá, že pred ním Pythagoras porodil axiomatickú metódu..

Gréci teda berú určité fakty ako axiómy bez toho, aby vyžadovali akýkoľvek logický dôkaz, to znamená bez potreby demonštrácie, pretože pre nich sú samozrejmou pravdou.

Pre jeho časť Euclides predstavuje päť axiómov pre geometriu:

1 - Vzhľadom na dva body existuje čiara, ktorá ich obsahuje alebo spája.

2-Akýkoľvek segment môže nepretržite pokračovať na neobmedzenej linke na oboch stranách.

3-Môžete nakresliť kruh, ktorý má stred v ľubovoľnom bode a ľubovoľnom polomere.

4-pravé uhly sú rovnaké.

5 - Ak vezmete akúkoľvek priamu čiaru a akýkoľvek bod, ktorý nie je v nej, existuje priamka rovnobežná s touto čiarou, ktorá obsahuje tento bod. Táto axióma je známa, neskôr, ako axióma paralel a bola vyjadrená aj ako: bodom mimo čiary možno nakresliť jednu paralelu.

Avšak, ako Euclid a neskôr matematici, sa zhodujú, že piata axióma nie je tak jasné intuitívne ako ostatné 4. Dokonca aj počas renesancie sa snaží odvodiť piaty z ostatných 4, ale to nie je možné.

Toto robilo to, že už v devätnástom storočí, tí, ktorí udržiavali päť boli priaznivcami euklidovskej geometrie a tí, ktorí popierali piaty, boli tí, ktorí vytvorili neeuklidovské geometrie.

Neeuklidovská axiomatická metóda

Je to práve Nikolaj Ivanovič Lobachevski, János Bolyai a Johann Karl Friedrich Gauss, ktorí vidia možnosť výstavby, bez rozporu, geometrie, ktorá pochádza zo systémov axiómov odlišných od systémov Euclid. Toto ničí vieru v absolútnu alebo a priori pravdu axiómov a teórií, ktoré z nich vyplývajú..

Preto sa axiómy začínajú chápať ako východiská danej teórie. Aj ich voľba a problém ich platnosti jedným alebo druhým spôsobom sa začínajú vzťahovať na fakty mimo axiomatickej teórie.

Týmto spôsobom sa javia geometrické, algebraické a aritmetické teórie vytvorené axiomatickou metódou.

Táto etapa vrcholí vytvorením axiomatických systémov pre aritmetiku, ako napríklad Giuseppe Peano v roku 1891; geometria Davida Huberta v roku 1899; vyhlásenia a predikčné výpočty Alfreda Northa Whiteheada a Bertranda Russella v Anglicku v roku 1910; axiomatická teória súborov Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermela v roku 1908.

Moderná alebo formálna axiomatická metóda

David Hubert iniciuje koncepciu formálnej axiomatickej metódy, ktorá vedie k jej vyvrcholeniu, David Hilbert.

Je to práve Hilbert, ktorý formalizuje vedecký jazyk, pričom jeho výroky posudzuje ako vzorce alebo sledy znakov, ktoré samy o sebe nemajú žiadny význam. Význam majú len v určitom výklade.

VZáklady geometrie„Vysvetľuje prvý príklad tejto metodiky. Odtiaľ sa geometria stáva vedou o čistých logických dôsledkoch, ktoré sú extrahované zo systému hypotéz alebo axiómov, lepšie artikulovaných ako euklidovský systém.

Je to preto, lebo v starom systéme je axiomatická teória založená na dôkazoch axiómov. Kým základom formálnej teórie je demonštrácia protirečenia jej axiómov.

kroky

Postup, ktorý vykonáva axiomatické štruktúrovanie v rámci vedeckých teórií, uznáva:

voľba určitého počtu axiómov, to znamená množstvo návrhov určitej teórie, ktoré sú akceptované bez potreby preukázania.

b-koncepty, ktoré sú súčasťou týchto výrokov, nie sú určené v rámci danej teórie.

c-pravidlá definície a dedukcie danej teórie sú fixné a umožňujú zavádzať nové teórie v rámci teórie a logicky odvodzovať niektoré výroky z iných.

d-ostatné výroky teórie, tj veta, sú odvodené z a na základe c.

Príklady

Túto metódu je možné overiť demonštráciou dvoch najznámejších Euclidových teorém: vety o vetve a výšky..

Obidva z pozorovania tohto gréckeho geometra vyplývajú z toho, že keď je výška zakreslená vzhľadom na preponu v pravom trojuholníku, dva trojuholníky sa javia viac ako originál. Tieto trojuholníky sú si navzájom podobné a zároveň podobné trojuholníku pôvodu. To predpokladá, že ich príslušné homologické strany sú proporcionálne.

Je možné vidieť, že zhodné uhly v trojuholníkoch týmto spôsobom overujú podobnosť, ktorá existuje medzi tromi zapojenými trojuholníkmi podľa kritéria podobnosti AAA. Toto kritérium platí, že ak majú dva trojuholníky všetky svoje rovnaké uhly, sú podobné.

Akonáhle sú trojuholníky ukázané ako podobné, môžu byť stanovené proporcie špecifikované v prvej vete. Uvádza, že v pravom trojuholníku je meranie každého katétru geometrickým proporcionálnym priemerom medzi preponou a projekciou katétra v ňom..

Druhá veta je výšková. Uvádza sa v ňom, že akýkoľvek pravouhlý trojuholník, výška, ktorá je nakreslená podľa prepony, je geometrický proporcionálny priemer medzi segmentmi, ktoré sú určené uvedenou geometrickou hodnotou na preponke..

Samozrejme, že obe vety majú mnoho aplikácií na celom svete nielen v oblasti vzdelávania, ale aj v strojárstve, fyzike, chémii a astronómii..

referencie

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalizmus a intuícia: David Hilbert a formálna axiomatická metóda (1895-1905). Philosophy Magazine, zväzok 39 Núm. 2, str.121-146. Prevzaté z updatestas.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Axiomatické myslenie. V W. Ewald, editor, od Kant po Hilbert: zdroj knihy v základoch matematiky. Zväzok II, str. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Čo je axiomatická metóda? Synthese, november 2011, zväzok 189, str. Prevzaté z odkazu.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Úvod do filozofie súčasného práva. (Pp.48-49). Prevzaté z kníh.google.com.ar.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Axiomatická metóda, čítanie Ricardom Nirenbergom, Fall 1996, University at Albany, Project Renaissance. Prevzaté z Albany.edu.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert medzi formálnou a neformálnou stránkou matematiky. Rukopis vol. 38 č. 2, Campinas júl / august 2015. prevzaté z scielo.br.