Čo sú šikmé trojuholníky? (s riešenými cvičeniami)



šikmé trojuholníky sú tie trojuholníky, ktoré nie sú obdĺžniky. To znamená, že trojuholníky sú také, že žiadny z jeho uhlov nie je pravouhlý (jeho meranie je 90 °).

Bez pravého uhla nie je možné na tieto trojuholníky aplikovať Pytagorovu vetu.

Preto, aby sme poznali údaje v šikmom trojuholníku, je potrebné použiť iné vzorce.

Vzorce potrebné na vyriešenie šikmého trojuholníka sú tzv. Zákony sínusov a kosínusov, ktoré budú opísané neskôr..

Okrem týchto zákonov je možné vždy použiť skutočnosť, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 °..

Šikmé trojuholníky

Ako bolo povedané na začiatku, šikmý trojuholník je trojuholník, takže žiadny z jeho uhlov meria 90 °.

Problém nájdenia dĺžok strán šikmého trojuholníka, ako aj zistenie rozmerov jeho uhlov, sa nazýva "rozlíšenie šikmých trojuholníkov".

Dôležitou skutočnosťou pri práci s trojuholníkmi je, že súčet troch vnútorných uhlov trojuholníka je 180 °. Toto je všeobecný výsledok, preto pre šikmé trojuholníky môže byť tiež použitý.

Zákony prsníkov a kosínov

Vzhľadom na trojuholník ABC so stranami dĺžky "a", "b" a "c":

- Zákon prsníkov uvádza, že a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), kde A, B a C sú opačné uhly k "a", "b" a "c" príslušne.

- Zákon cosines uvádza, že: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Rovnako je možné použiť nasledujúce vzorce:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) alebo a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Pomocou týchto vzorcov môžete vypočítať údaje šikmého uhla.

výcvik

Tu sú niektoré cvičenia, kde by ste mali nájsť chýbajúce údaje z uvedených trojuholníkov, z určitých údajov.

Prvé cvičenie

Vzhľadom na trojuholník ABC tak, že A = 45º, B = 60 ° a a = 12cm, vypočítajte ostatné údaje trojuholníka.

riešenie

Použitím toho, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je rovný 180º, musíte

C = 180 ° - 45 ° - 60 ° = 75 °.

Tri uhly sú už známe. Potom postupujte podľa zákona prsníkov na výpočet dvoch strán, ktoré chýbajú.

Vznesené rovnice sú 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Z prvej rovnosti môžete vymazať "b" a dostať to

b = 12 * hriech (60 °) / hriech (45 °) = 6,6 ≈ 14,696 cm.

Môžete tiež vyčistiť "c" a dostať to

c = 12 * sin (75 °) / hriech (45º) = 6 (1 + 3) ≈ 16,392 cm.

Druhé cvičenie

Vzhľadom na trojuholník ABC tak, že A = 60 °, C = 75 ° a b = 10cm, vypočítajte ostatné údaje trojuholníka.

riešenie

Rovnako ako v predchádzajúcom cvičení, B = 180º - 60º - 75º = 45º. Okrem toho, s použitím práva prsníkov je potrebné, aby a / sin (60º) = 10 / hriech (45º) = c / sin (75º), z ktorého sa získa, že a = 10 * hriech (60º) / hriech (45º) = 5,6 ≈ 12,247 cm a c = 10 x sin (75 °) / hriech (45 °) = 5 (1 + 3) √ 13,660 cm.

Tretie cvičenie

Vzhľadom na trojuholník ABC, že a = 10 cm, b = 15 cm a C = 80 °, vypočítajte ostatné údaje trojuholníka.

riešenie

V tomto cvičení je známy len jeden uhol, preto nemôžete začať tak, ako ste to robili v predchádzajúcich dvoch cvičeniach. Tiež právo prsníkov nemožno použiť, pretože žiadna rovnica sa nedá vyriešiť.

Preto pristúpime k uplatňovaniu práva kosínov. Potom je to tak

c² = 10 ² + 15 ² - 2 (10) (15) cos (80 º) = 325 - 300 x 0,173 ≈ 272 905 cm,

tak, že c ≈ 16,51 cm. Teraz, poznávajúc 3 strany, sa používa zákon prsníkov a dostanete

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80 °).

Odtiaľ, po vymazaní B to vyústi bez (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 94 0.894, čo znamená, že B ≈ 63.38º.

Teraz je možné získať, že A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Štvrté cvičenie

Strany šikmého trojuholníka sú a = 5 cm, b = 3 cm a c = 7 cm. Vypočítajte uhly trojuholníka.

riešenie

Opäť platí, že zákon prsníkov nemožno použiť priamo, pretože žiadna rovnica by slúžila na získanie hodnoty uhlov.

Použitím zákona kosínus máme, že c² = a² + b² - 2ab cos (C), kde keď zistíme, že máme cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * = -15/30 = -1/2 a preto C = 120 °.

Ak teraz môžete aplikovať zákon prsníkov a získať 5 / hriech (A) = 3 / hriech (B) = 7 / hriech (120), kde môžete vymazať B a dostať to bez (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, takže B = 21,79º.

Nakoniec sa vypočíta posledný uhol pomocou A = 180º-120º-21.79º = 38,21º.

referencie

  1. Landaverde, F. d. (1997). geometria (Reprint ed.). pokrok.
  2. Leake, D. (2006). trojuholníky (znázornené na obr.). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
  4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). geometria. Technológia CR.
  5. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria a analytická geometria. Pearson Education.