Čo sú trigonometrické hranice? (s vyriešenými cvičeniami)

goniometrické limity sú limitmi funkcií tak, že tieto funkcie sú tvorené goniometrickými funkciami.

Aby bolo možné pochopiť, ako sa vykonáva výpočet trigonometrického limitu, musia byť známe dve definície.

Tieto definície sú:

- Limit funkcie "f", keď "x" má sklon k "b": spočíva vo výpočte hodnoty, ku ktorej sa f (x) približuje ako "x", približuje sa "b", bez toho, aby dosiahol "b".

- Trigonometrické funkcie: goniometrické funkcie sú sínusové, kosínusové a tangentné funkcie, označené sin (x), cos (x) a tan (x) resp..

Ostatné goniometrické funkcie sa získajú z troch vyššie uvedených funkcií.

Obmedzenia funkcií

Na objasnenie koncepcie limitu funkcie bude ukázané niekoľko príkladov s jednoduchými funkciami.

- Limit f (x) = 3, keď "x" má tendenciu "8", sa rovná "3", pretože funkcia je vždy konštantná. Bez ohľadu na to, koľko stojí "x", hodnota f (x) bude vždy "3".

- Limit f (x) = x-2, keď "x" má tendenciu k "6", je "4". Pretože keď sa "x" približuje "6", potom "x-2" sa blíži "6-2 = 4".

- Limit g (x) = x², keď "x" má tendenciu k "3", sa rovná 9, pretože keď sa "x" blíži "3", potom "x²" sa blíži "3² = 9".

Ako je možné vidieť v predchádzajúcich príkladoch, výpočet limitu spočíva v vyhodnotení hodnoty, na ktorú má "x" tendenciu vo funkcii, a výsledkom bude hodnota limitu, hoci to platí len pre kontinuálne funkcie.

Existujú zložitejšie limity?

Odpoveď znie áno. Vyššie uvedené príklady sú najjednoduchším príkladom limitov. Vo výpočtových knihách sú hlavnými obmedzeniami tie cvičenia, ktoré generujú neurčitosť typu 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 a (∞) ^ 0.

Tieto výrazy sa nazývajú indeterminácie, pretože ide o výrazy, ktoré matematicky nedávajú zmysel.

Okrem toho, v závislosti od funkcií, ktoré sú zahrnuté v pôvodnom limite, môže byť výsledok dosiahnutý pri riešení neurčitostí v každom prípade odlišný..

Príklady jednoduchých trigonometrických limitov

Na vyriešenie limitov je vždy veľmi užitočné poznať grafy príslušných funkcií. Nižšie sú uvedené grafy sínusových, kosínusových a tangentných funkcií.

Niektoré príklady jednoduchých trigonometrických limitov sú:

- Vypočítajte hranicu hriechu (x), keď "x" inklinuje k "0".

Pri prezeraní grafu vidíte, že ak sa "x" blíži "0" (oboje vľavo aj vpravo), sínusový graf sa tiež blíži "0". Preto hranica hriechu (x), keď "x" má sklon k "0", je "0".

- Vypočítajte limit cos (x), keď "x" má tendenciu "0".

Pri pozorovaní kosínusového grafu je možné vidieť, že keď sa "x" blíži "0", potom sa kosínusový graf blíži "1". To znamená, že limit cos (x), keď "x" má tendenciu k "0", sa rovná "1".

Môže existovať limit (môže byť číslo), ako v predchádzajúcich príkladoch, ale môže sa tiež stať, že neexistuje, ako je uvedené v nasledujúcom príklade.

- Limit tan (x), keď "x" má sklon k "Π / 2" vľavo, sa rovná "+ ∞", ako je možné vidieť v grafe. Na druhej strane hranica tan (x), keď "x" má tendenciu "-Π / 2" na pravej strane, sa rovná "-∞".

Identity trigonometrických hraníc

Dve veľmi užitočné identity pri výpočte trigonometrických limitov sú:

- Limit "sin (x) / x", keď "x" má tendenciu "0", sa rovná "1".

- Limit "(1-cos (x)) / x" keď "x" má tendenciu na "0" sa rovná "0".

Tieto identity sa používajú veľmi často, keď máte nejakú neurčitosť.

Vyriešené cvičenia

Vyriešte nasledujúce limity pomocou identít opísaných vyššie.

- Vypočítajte limit "f (x) = sin (3x) / x", keď "x" má tendenciu "0".

Ak sa funkcia "f" vyhodnotí v "0", získa sa indikácia typu 0/0. Preto sa musíme pokúsiť vyriešiť túto neurčitosť pomocou opísaných identít.

Jediným rozdielom medzi týmto limitom a identitou je číslo 3, ktoré sa objavuje v sínusovej funkcii. Aby sa použila identita, funkcia "f (x)" sa musí prepísať nasledujúcim spôsobom "3 * (sin (3x) / 3x)". Teraz sú argumenty sine aj menovateľa rovnaké.

Takže keď "x" inklinuje k "0", použitie identity vedie k "3 * 1 = 3". Preto limit f (x), keď "x" inklinuje k "0", sa rovná "3".

- Vypočítajte limit "g (x) = 1 / x - cos (x) / x", keď "x" má tendenciu "0".

Keď je v g (x) nahradené "x = 0", získa sa neurčitosť typu ∞-∞. Na jeho vyriešenie sa zlomky odčítajú, čím sa získa výsledok "(1-cos (x)) / x".

Teraz, keď aplikujeme druhú goniometrickú identitu, máme limit g (x), keď "x" inklinuje k "0" sa rovná 0.

- Vypočítajte limit "h (x) = 4tan (5x) / 5x", keď "x" má tendenciu "0".

Opäť platí, že ak vyhodnotíte hodnotu h (x) na hodnotu „0“, zobrazí sa typ 0/0.

Prepisovanie tan (5x) ako sin (5x) / cos (5x) znamená, že h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Pomocou limitu 4 / cos (x), keď "x" má tendenciu k "0", sa rovná "4/1 = 4" a získava sa prvá goniometrická identita, že hranica h (x), keď "x" má tendenciu "0" sa rovná "1 * 4 = 4".

pozorovanie

Trigonometrické limity nie je vždy ľahké vyriešiť. V tomto článku boli uvedené iba základné príklady.

referencie

1. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Matematika precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus matematika: prístup riešenia problémov (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). precalculus (8 vyd.). Cengage Učenie.
5. Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Plochá analytická geometria. Mérida - Venezuela: Redakčná Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). kalkulácie (Deviaty ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciálny počet s včasnými transcendentnými funkciami pre vedu a inžinierstvo (Druhé vydanie ed.). prepona.
9. Scott, C. A. (2009). Kartézska rovinná geometria, časť: Analytické kužeľky (1907) (dotlač ed.). Zdroj blesku.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.