Významné vysvetlenie produktov a cvičenia riešené



pozoruhodné produkty sú to algebraické operácie, kde sú vyjadrené násobky polynómov, ktoré sa nemusia riešiť tradične, ale pomocou určitých pravidiel môžete nájsť ich výsledky.

Polynómy sú znásobené samými sebou, preto môžu mať veľký počet termínov a premenných. Aby sa tento proces skrátil, používajú sa pravidlá pozoruhodných produktov, ktoré umožňujú, aby sa násobenia vykonávali bez toho, aby museli prejsť termínom..

index

  • 1 Významné produkty a príklady
    • 1.1 Binomické štvorčeky
    • 1.2 Produkt konjugovaných binomík
    • 1.3 Produkt dvoch dvojčlenov so spoločným výrazom
    • 1.4 Štvorcový polynom
    • 1.5 Binomiálne kocky
    • 1.6 Lopata trojzložkového
  • 2 Cvičenia riešené pre pozoruhodné produkty
    • 2.1 Cvičenie 1
    • 2.2 Cvičenie 2
  • 3 Odkazy

Významné produkty a príklady

Každý pozoruhodný produkt je vzorec, ktorý je výsledkom faktorizácie, pozostávajúcej z polynómov rôznych termínov, ako sú binomické alebo trinomiálne, nazývané faktory.

Faktory sú základom moci a majú exponent. Keď sa faktory násobia, musia sa pridať exponenty.

Existuje niekoľko pozoruhodných vzorcov produktov, niektoré sú viac používané ako iné, v závislosti od polynómov a sú to nasledovné:

Binomické štvorčeky

Samotné násobenie binomického výrazu, vyjadrené vo forme moci, kde sa termíny pridávajú alebo odčítajú:

a. Binomický súčet na námestí: sa rovná štvorcu prvého výrazu plus dvojnásobku súčinu výrazov plus štvorca druhého výrazu. Vyjadruje sa takto:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Nasledujúci obrázok ukazuje, ako je výrobok vyvinutý podľa vyššie uvedeného pravidla. Výsledok sa nazýva trojzubec dokonalého štvorca.

Príklad 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Príklad 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a) * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Binomické odčítanie štvorcové: rovnaké pravidlo platí aj pre dvojzložku sumy, len v tomto prípade je druhý termín záporný. Jeho vzorec je nasledovný:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +2. * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Príklad 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Produkt konjugovaných binomií

Dva binomialy sú konjugované, keď druhý termín každého z nich má rôzne znaky, to znamená, že prvý je pozitívny a druhý negatívny alebo naopak. Vyrieši sa tým, že zvýši každý monomický štvorec a odčíta. Jeho vzorec je nasledovný:

(a + b) * (a - b)

Na nasledujúcom obrázku je vyvinutý produkt dvoch konjugovaných binomií, kde je pozorované, že výsledkom je rozdiel štvorcov.

Príklad 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Produkt dvoch binomií so spoločným výrazom

Je to jeden z najkomplexnejších a málo využívaných pozoruhodných produktov, pretože ide o násobenie dvoch binomií, ktoré majú spoločný výraz. Pravidlo označuje:

  • Námestie spoločného výrazu.
  • Plus pridajte pojmy, ktoré nie sú bežné a potom ich vynásobte spoločným výrazom.
  • Plus súčet násobkov termínov, ktoré nie sú bežné.

Je reprezentovaný vzorcom: (x + a) * (x + b) a je vyvinutá tak, ako je znázornené na obrázku. Výsledkom je štvorcový trojuholník, ktorý nie je dokonalý.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6) * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Existuje možnosť, že druhý termín (odlišný termín) je negatívny a jeho vzorec je nasledovný: (x + a) * (x - b).

Príklad 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Môže to byť aj tak, že obidva odlišné výrazy sú negatívne. Jeho vzorec bude: (x - a) * (x - b).

Príklad 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Štvorcový polynóm

V tomto prípade existuje viac ako dva termíny a rozvíjať ho, každý z nich je štvorcový a pridáva sa spolu s dvojnásobným násobením jedného výrazu s druhým; jej vzorec je: (a + b + c)2 a výsledok operácie je trojzložkový.

Príklad 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4Z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16Z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomické kocky

Je to pozoruhodný komplexný produkt. Ak ho chcete rozvinúť, vynásobte binomický jeho štvorcom nasledujúcim spôsobom:

a. Pre binomický kocku súčtu:

  • Kocka prvého výrazu plus trojnásobok štvorca prvého výrazu druhým.
  • Plus trojnásobok prvého termínu, pre druhý štvorcový.
  • Plus kocka druhého termínu.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2.2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3.2b + 3ab2 + b3.

Príklad 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9a2 + 27a + 27.

b. Pre binomické odčítanie kocky:

  • Kocka prvého výrazu, mínus trojnásobok štvorca prvého termínu druhou.
  • Plus trojnásobok prvého termínu, pre druhý štvorcový.
  • Menej kocky druhého funkčného obdobia.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2.2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = na3 - 3.2b + 3ab2 - b3.

Príklad 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b až 125.

Vedro trojzložkového

Rozvíja sa tým, že ho znásobuje jeho štvorcom. Je to pozoruhodný produkt, ktorý je veľmi rozsiahly, pretože na kocku sú vznesené 3 termíny, plus trikrát každý štvorcový výraz, vynásobený každým z týchto termínov, plus šesťnásobok produktu troch výrazov. Videné lepšie:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + C2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + C3 + 3.2b + 3ab2 + 3.2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Príklad 1

Riešené cvičenia pozoruhodných produktov

Cvičenie 1

Rozvinúť nasledujúce dvojčlenné kocky: (4x - 6)3.

riešenie

Pripomínajúc, že ​​binomický kocka sa rovná prvému výrazu zvýšenému na kocku, menej trojnásobku štvorca prvého výrazu druhým; plus trojnásobok prvého termínu, druhým štvorcom, mínus kocka druhého termínu.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x)2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Cvičenie 2

Vyvinúť nasledujúci binomický: (x + 3) (x + 8).

riešenie

Tam je binomial kde tam je spoločný termín, ktorý je x a druhý termín je pozitívny. Aby ste ho mohli rozvinúť, musíte len vyčísliť spoločný výraz plus súčet termínov, ktoré nie sú spoločné (3 a 8), a potom ich vynásobiť spoločným výrazom plus súčet násobkov výrazov, ktoré nie sú bežné..

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

referencie

  1. Angel, A. R. (2007). Elementárna algebra. Pearson Education,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
  3. Das, S. (s.f.). Matematika Plus 8. Spojené kráľovstvo: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Základná a stredná algebra: kombinovaný prístup. Florida: Cengage Learning.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.