Techniky počítania multiplikatívnych princípov a príklady



multiplikatívny princíp je technika používaná na riešenie problémov s počítaním, aby sa našlo riešenie bez toho, aby bolo potrebné uvádzať jej prvky. Je tiež známy ako základný princíp kombinatorickej analýzy; je založené na postupnom násobení, aby sa určilo, ako môže udalosť nastať.

Táto zásada stanovuje, že v prípade rozhodnutia (d1) možno prijať n spôsobmi a iným rozhodnutím (d2), môže byť prijatý v mnohých smeroch, celkový počet spôsobov, ktorými sa môžu prijímať rozhodnutia1 a d2 sa bude rovnať násobku n * m. Podľa princípu je každé rozhodnutie urobené jeden po druhom: počet ciest = N1 * N2... * Nx spôsoby.

index

  • 1 Príklady
    • 1.1 Príklad 1
    • 1.2 Príklad 2
  • 2 Počítacie techniky
    • 2.1 Princíp pridávania
    • 2.2 Princíp permutácie
    • 2.3 Princíp kombinácie
  • 3 Riešené úlohy
    • 3.1 Cvičenie 1
    • 3.2 Cvičenie 2
  • 4 Odkazy

Príklady

Príklad 1

Paula plánuje ísť do kina so svojimi priateľmi a vybrať si oblečenie, ktoré bude nosiť, oddelím 3 blúzky a 2 sukne. Koľko spôsobov, ako sa môže Paula obliecť??

riešenie

V tomto prípade musí Paula urobiť dve rozhodnutia:

d1 = Vyberte si medzi 3 blúzkami = n

d2 = Vyberte si medzi 2 sukňami = m

Tak má Paula n * m rozhodovanie alebo rôzne spôsoby obliekania.

n * m = 3* 2 = 6 rozhodnutí.

Multiplikatívny princíp vychádza z techniky stromového diagramu, čo je diagram, ktorý súvisí so všetkými možnými výsledkami, takže každý z nich sa môže vyskytnúť konečný počet krát..

Príklad 2

Mario bol veľmi smädný, a tak išiel do pekárne kúpiť šťavu. Luis mu odpovedá a povie mu, že má dve veľkosti: veľkú a malú; a štyri príchute: jablko, pomaranč, citrón a hrozno. Koľko spôsobov si môže Mario vybrať šťavu?

riešenie

V diagrame možno pozorovať, že Mario má 8 rôznych spôsobov, ako si vybrať šťavu a že, ako v multiplikatívnom princípe, tento výsledok sa získa násobením n*m. Jediným rozdielom je, že prostredníctvom tohto diagramu môžete vedieť, ako sú spôsoby, ktorými si Mario vyberá šťavu.

Na druhej strane, keď je počet možných výsledkov veľmi veľký, je praktickejšie použiť multiplikatívny princíp.

Techniky počítania

Techniky počítania sú metódy, ktoré sa používajú na priame počítanie, a teda poznajú počet možných usporiadaní, ktoré môžu mať prvky danej množiny. Tieto techniky sú založené na niekoľkých princípoch:

Princíp pridávania

Tento princíp uvádza, že ak sa dve udalosti m a n nemôžu vyskytnúť súčasne, počet spôsobov, ktorými môže nastať prvá alebo druhá udalosť, bude súčtom m + n:

Počet formulárov = m + n ... + x rôznych formulárov.

príklad

Antonio chce ísť na výlet, ale nerozhodne, na ktoré miesto určenia; v Agentúre pre cestovný ruch v Južnej Európe vám ponúkajú podporu na cestu do New Yorku alebo do Las Vegas, zatiaľ čo agentúra pre cestovný ruch na východe odporúča cestovať do Francúzska, Talianska alebo Španielska. Koľko rôznych cestovných alternatív ponúka Antonio?

riešenie

S agentúrou South Tourism má Antonio dve alternatívy (New York alebo Las Vegas), zatiaľ čo agentúra East Tourism Agency má 3 možnosti (Francúzsko, Taliansko alebo Španielsko). Počet rôznych alternatív je:

Počet alternatív = m + n = 2 + 3 = 5 alternatív.

Princíp permutácie

Ide o objednanie špecificky všetkých alebo niektorých prvkov, ktoré tvoria množinu, aby sa uľahčilo počítanie všetkých možných usporiadaní, ktoré možno vykonať s prvkami..

Počet permutácií n rôznych prvkov, ktoré boli vzaté naraz, je reprezentovaný ako:

nPn = n!

príklad

Štyria priatelia chcú urobiť obrázok a chcú vedieť, koľko rôznych foriem je možné objednať.

riešenie

Chcete poznať súbor všetkých možných spôsobov, ktorými môžu byť 4 osoby umiestnené na to, aby si urobili obrázok. Takže musíte:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 rôznych spôsobov.

Ak je počet permutácií n dostupných prvkov braný časťami množiny, ktorá je tvorená prvkami r, je reprezentovaná ako:

nPr = n! ÷ (n - r)!

príklad

V učebni je 10 miest. Ak 4 triedy navštevujú triedu, koľko rôznych spôsobov môžu študenti obsadiť pozície?

riešenie

Celkový počet súprav stoličiek je 10, z ktorých sa použije iba 4. Daný vzorec sa použije na určenie počtu permutácií:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 spôsobov, ako vyplniť príspevky.

Existujú prípady, v ktorých sa niektoré z dostupných prvkov súboru opakujú (sú rovnaké). Na výpočet počtu opatrení zohľadňujúcich všetky prvky naraz sa používa tento vzorec: \ t

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

príklad

Koľko rôznych slov štyroch písmen možno vytvoriť zo slova "vlk"?

riešenie

V tomto prípade máme 4 prvky (písmená), z ktorých dve sú úplne rovnaké. Použitím daného vzorca vieme, koľko rôznych slov je:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4)*3*2*1) ÷ (2)*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 rôznych slov.

Princíp kombinácie

Ide o upevnenie všetkých alebo niektorých prvkov, ktoré tvoria množinu bez špecifického poradia. Ak máte napríklad pole XYZ, bude totožné okrem iného s poliami ZXY, YZX, ZYX; je to preto, že napriek tomu, že nie sú v rovnakom poradí, sú prvky každého usporiadania rovnaké.

Ak sa použijú niektoré prvky (r) množiny (n), princíp kombinácie je daný nasledujúcim vzorcom: \ t

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

príklad

V obchode predávajú 5 rôznych druhov čokolády. Koľko rôznych spôsobov si môžete vybrať 4 čokolády?

riešenie

V tomto prípade musíte vybrať 4 čokolády z 5 typov predávaných v obchode. Poradie, v ktorom sú zvolené, nezáleží a navyše, druh čokolády môže byť zvolený viac ako dvakrát. Ak použijete vzorec, musíte:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 rôznych spôsobov výberu 4 čokolád.

Ak sa vezmú všetky prvky (r) množiny (n), princíp kombinácie je daný nasledujúcim vzorcom: \ t

nCn = n!

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Máte baseballový tím so 14 členmi. Koľko spôsobov môžete priradiť 5 pozícií pre hru?

riešenie

Sada sa skladá zo 14 prvkov a chcete priradiť 5 špecifických pozícií; to znamená, že poriadok je dôležitý. Vzorec permutácie sa použije tam, kde n dostupných prvkov sú prevzaté časťami množiny, ktorá je tvorená r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Kde n = 14 a r = 5. Je nahradené vzorcom:

14P5 = 14! 14 (14 - 5)!

14P5 = 14! 9 (9)!

14P5 = 240 240 spôsobov, ako priradiť 9 herných pozícií.

Cvičenie 2

Ak rodina s 9 členmi cestuje na výlet a kupuje si lístky s po sebe idúcimi miestami, koľko rôznych spôsobov môže sedieť?

riešenie

Je to asi 9 prvkov, ktoré zaberajú 9 miest za sebou.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 rôzne spôsoby sedenia.

referencie

  1. Hopkins, B. (2009). Zdroje pre vyučovanie diskrétnej matematiky: projekty v triede, moduly histórie a články.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskrétna matematika Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Riešenie konečných a diskrétnych matematických úloh. Redakcia výskumných a vzdelávacích združení.
  4. Padró, F. C. (2001). Diskrétna matematika Politec. Katalánska.
  5. Steiner, E. (2005). Matematika pre aplikované vedy. Reverte.