Minimálna štvorcová metóda, vyriešené úlohy a to, čo slúži



Metóda najmenej štvorcov je jednou z najdôležitejších aplikácií v aproximácii funkcií. Myšlienkou je nájsť krivku tak, že vzhľadom na množinu usporiadaných párov táto funkcia lepšie aproximuje údaje. Funkciou môže byť čiara, kvadratická krivka, kubická krivka atď..

Myšlienkou metódy je minimalizovať súčet štvorcov rozdielov v ordinátoch (zložka Y), medzi bodmi vytvorenými vybranou funkciou a bodmi, ktoré patria k množine údajov.

index

  • 1 metóda najmenších štvorcov
  • 2 Riešené úlohy
    • 2.1 Cvičenie 1
    • 2.2 Cvičenie 2
  • 3 Na čo slúži??
  • 4 Odkazy

Metóda najmenších štvorcov

Predtým, než sa táto metóda deje, musíme najprv jasne povedať, čo znamená „lepší prístup“. Predpokladajme, že hľadáme priamku y = b + mx, ktorá najlepšie predstavuje množinu n bodov, a to (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Ako je znázornené na predchádzajúcom obrázku, ak premenné x a y súviseli s priamkou y = b + mx, potom pre x = x1 by zodpovedajúca hodnota y bola b + mx1. Táto hodnota sa však líši od skutočnej hodnoty y, ktorá je y = y1.

Pripomeňme, že v rovine je vzdialenosť medzi dvoma bodmi daná nasledujúcim vzorcom:

S týmto vedomím, aby sme určili, ako vybrať riadok y = b + mx, ktorý najlepšie približuje dané údaje, má zmysel použiť výber čiary, ktorá minimalizuje súčet štvorcov vzdialeností medzi bodmi ako kritériá. a rovný.

Keďže vzdialenosť medzi bodmi (x1, y1) a (x1, b + mx1) je y1- (b + mx1), náš problém je redukovaný na nájdenie čísel m a b tak, že nasledujúci súčet je minimálny:

Riadok, ktorý spĺňa túto podmienku, je známy ako "aproximácia čiary najmenších štvorcov k bodom (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Akonáhle je problém vyriešený, musíme si vybrať metódu na nájdenie aproximácie najmenších štvorcov. Ak sú body (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) všetky na priamke y = mx + b, museli by sme byť kolineárne a:

V tomto výraze:

Nakoniec, ak body nie sú kolineárne, potom y-Au = 0 a problém môže byť preložený do nájdenia vektora alebo takého, že euklidovská norma je minimálna.

Hľadanie minimalizačného vektora nie je také ťažké, ako si možno myslíte. Pretože A je matica nx2 a u je matica 2 × 1, máme, že vektor Au je vektor v Rn a patrí k obrazu A, čo je podpriestor Rn s rozmerom nie väčším ako dva.

Predpokladáme, že n = 3 ukazuje, ktorý postup by mal nasledovať. Ak n = 3, obraz A bude rovina alebo čiara, ktorá prechádza pôvodom.

Nech v je minimalizačný vektor. Na obrázku vidíme, že y-Au je minimalizovaný, keď je ortogonálny k obrazu A. To znamená, že ak v je minimalizujúci vektor, potom sa stáva, že:

Potom môžeme takto vyjadriť:

K tomu môže dôjsť len vtedy, ak:

Nakoniec, zúčtovanie v, musíme:

Je to možné od ATA je invertibilná, pokiaľ n bodov, ktoré sú dané ako údaje, nie sú kolineárne.

Teraz, ak namiesto toho, aby sme hľadali čiaru, chceme nájsť parabolu (ktorej výraz by mal formu y = a + bx + cx2), ktorá bola lepšou aproximáciou n dátových bodov, postup by bol taký, ako je opísané nižšie.

Ak by n údajov bolo v uvedenej parabole, muselo by:

potom:

Podobným spôsobom môžeme napísať y = Au. Ak všetky body nie sú v parabola, máme, že y-Au sa líši od nuly pre akýkoľvek vektor u a náš problém je opäť: nájsť vektor u v R3 tak, že jeho norma || y-Au || byť čo najmenšie.

Opakovaním predchádzajúceho postupu môžeme dospieť k vektoru, ktorý je hľadaný:

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Nájdite riadok, ktorý najlepšie zodpovedá bodom (1,4), (-2,5), (3, -1) a (4,1).

riešenie

Musíme:

potom:

Preto sme dospeli k záveru, že riadok, ktorý najlepšie zodpovedá bodom, je daný:

Cvičenie 2

Predpokladajme, že objekt spadne z výšky 200 m. Pri páde sa prijímajú tieto opatrenia:

Vieme, že výška predmetu po uplynutí času t je daná:

Ak chceme získať hodnotu g, môžeme nájsť parabolu, ktorá je lepšou aproximáciou k piatim bodom uvedeným v tabuľke, a tak by sme mali koeficient, ktorý sprevádza2 ak sú merania presné, bude to primeraná aproximácia (-1/2) g.

Musíme:

A potom:

Dátové body sú teda upravené nasledujúcim kvadratickým výrazom:

Potom musíte:

Toto je hodnota, ktorá je primerane blízka tej správnej, ktorá je g = 9,81 m / s2. Na získanie presnejšej aproximácie g by bolo potrebné vychádzať z presnejších pozorovaní.

Na čo slúži??

V problémoch, ktoré sa vyskytujú v prírodných alebo spoločenských vedách, je vhodné napísať vzťahy, ktoré sa vyskytujú medzi rôznymi premennými pomocou určitého matematického výrazu..

Napríklad môžeme priradiť náklady (C), príjmy (I) a zisky (U) v ekonomike pomocou jednoduchého vzorca:

Vo fyzike môžeme priradiť zrýchlenie spôsobené gravitáciou, časom pádu objektu a výškou objektu podľa zákona:

V predchádzajúcom výraze salebo je počiatočná výška objektu a valebo je vaša počiatočná rýchlosť.

Avšak nájsť takéto vzorce nie je jednoduchá úloha; zvyčajne záleží na profesionálovi, aby pracoval s mnohými údajmi a opakovane vykonával niekoľko experimentov (aby sa overilo, či získané výsledky sú konštantné) nájsť vzťahy medzi rôznymi údajmi.

Bežným spôsobom, ako to dosiahnuť, je reprezentovať údaje získané v rovine ako body a hľadať kontinuálnu funkciu, ktorá sa k týmto bodom približuje optimálne.

Jedným zo spôsobov, ako nájsť funkciu, ktorá "najlepšie aproximuje" dané údaje, je metóda najmenších štvorcov.

Okrem toho, ako sme videli aj pri cvičení, vďaka tejto metóde môžeme získať aproximácie veľmi blízke fyzikálnym konštantám.

referencie

  1. Charles W Curtis Lineárna algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementárna teória pravdepodobnosti so stochastickými procesmi. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Numerická analýza (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Aplikácie lineárnej algebry. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Lineárna algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO