Vlastnosti Homothety, Typy a Príklady

homotecia je geometrická zmena v rovine, kde z pevného bodu nazývaného stred (O) sú vzdialenosti násobené spoločným faktorom. Týmto spôsobom každý bod P zodpovedá inému bodu P 'produktu transformácie a tieto sú zarovnané s bodom O.

Potom sa rozťahuje je zhoda medzi dvoma geometrických obrazcov, kde sú transformované body zvané homotetická, a tieto sú v súlade s pevným bodom a paralelných.

index

• 1 Homotecia
• 2 Vlastnosti
• 3 Typy
  • 3.1 Priama homote
  • 3.2 Reverzná homote
• 4 Zloženie
• 5 Príklady
  • 5.1 Prvý príklad
  • 5.2 Druhý príklad
• 6 Referencie

homotecia

Dilatácie je transformácia, ktorá má zhodný obraz, pretože z obrázku sú pre získanie jedného alebo viacerých čísla väčšie alebo menšie ako pôvodné obrázku; to znamená, že homote transformuje polygón na iný podobný.

Rozťahuje za dodržiavanie by mala zodpovedať bodu k bodu a priamky, tak, že dvojica súhlasné body sú v súlade s tretím pevným bodom, ktorý je stredom homotecia.

Podobne musia byť dvojice riadkov, ktoré ich spájajú, paralelné. Vzťah medzi týmito segmentmi je konštanta, ktorá sa nazýva homotetický pomer (k); takým spôsobom, že homote možno definovať ako:

Ak chcete tento typ transformácie začnete výberom ľubovoľného bodu, ktorý bude centrom homote.

Od tohto bodu sa úsečky čiary nakreslia pre každý vrchol obrázku, ktorý sa má transformovať. Stupnica, v ktorej sa vykonáva reprodukcia nového čísla, je daná dôvodom homote (k).

vlastnosti

Jednou z hlavných vlastností homoteety je, že z dôvodu homoteety (k) sú všetky hometické hodnoty podobné. Medzi ďalšie vynikajúce vlastnosti patria: \ t

- Stred homoteety (O) je jediným dvojitým bodom a transformuje sa do seba; to znamená, že sa nemení.

- Čiary, ktoré prechádzajú stredom, sa transformujú (sú dvojité), ale body, ktoré ju tvoria, nie sú dvojité.

- Rovnice, ktoré neprechádzajú stredom, sa transformujú na rovnobežné čiary; týmto spôsobom zostávajú uhly homotnosti rovnaké.

- Obraz segmentu prostredníctvom homotetická pomeru stredu O a k je rovnobežná so segmentom a jeho dĺžka je k časy. Napríklad, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku, segment AB výsledok homotecia druhého segmentu A'B, tak, že AB je rovnobežná s A'B 'a K je:

- Homotetické uhly sú zhodné; to znamená, že majú rovnaké opatrenie. Preto obraz uhla je uhol, ktorý má rovnakú amplitúdu.

Na druhej strane sa homote líši v závislosti od hodnoty jej pomeru (k) a môžu nastať nasledujúce prípady:

- Ak je konštanta k = 1, všetky body sú pevné, pretože sa transformujú. Homotetické číslo sa teda zhoduje s originálom a transformácia sa nazýva funkcia identity.

- Ak k ≠ 1, jediný pevný bod bude stredom homote (O).

- Ak k = -1, homote sa stáva centrálnou symetriou (C); to znamená, že rotácia okolo C nastane v uhle 180 °^alebo.

- Ak k> 1, veľkosť transformovaného obrázku bude väčšia ako veľkosť originálu.

- Áno 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Áno -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Ak k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

typ

Homote môže byť tiež rozdelená do dvoch typov v závislosti od hodnoty jej pomeru (k):

Priama homote

Stáva sa, ak konštanta k> 0; to znamená, že homotetické body sú na rovnakej strane vzhľadom na stred:

Faktor proporcionality alebo pomeru podobnosti medzi priamymi homotickými údajmi bude vždy pozitívny.

Reverzné homotetikum

Stáva sa, ak konštanta k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Faktor proporcionality alebo pomer podobnosti medzi homotetickými inverznými údajmi bude vždy negatívny.

zloženie

Keď sa postupne vykoná niekoľko pohybov, až kým sa nedosiahne hodnota rovnajúca sa originálu, nastane zloženie pohybov. Zloženie viacerých pohybov je tiež pohybom.

Zloženie medzi dvoma homotéciami vedie k novej homotécii; teda majú homotecias produkt, v ktorom je stred v osi so stredom dvoch pôvodných transformáciou, a pomer (K) je súčin dvoch pomerov.

Teda v zložení dvoch homotecov H₁(O₁, k₁) a H₂(O₂, k₂), vynásobením vašich dôvodov: k₁ x k₂ = 1 bude mať za následok homotitu pomeru k₃ = K₁ x k₂. Centrum tejto novej homote (O₃) bude umiestnený na O rovine₁ O₂.

Homotety zodpovedajú plochej a nezvratnej zmene; ak sa použijú dve homotéky, ktoré majú rovnaký stred a pomer, ale s iným znakom, získa sa pôvodná hodnota.

Príklady

Prvý príklad

Použite homote na daný stredový polygón (O), ktorý sa nachádza 5 cm od bodu A a ktorého pomer je k = 0,7.

riešenie

Akýkoľvek bod je vybraný ako stred homote, a z tohto lúča sú nakreslené vrcholmi obrázku:

Vzdialenosť od stredu (O) k bodu A je OA = 5; s týmto môžete určiť vzdialenosť jedného z homotetických bodov (OA ') s vedomím, že k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Tento proces možno vykonať pre každý vrchol, alebo môžete tiež nakresliť homotetický polygón, ktorý si pamätá, že dva polygóny majú rovnobežné strany:

Transformácia vyzerá takto:

Druhý príklad

Použite homote na daný stredový polygón (O), umiestnený na 8,5 cm od bodu C a ktorého pomer y k = -2.

riešenie

Vzdialenosť od stredu (O) k bodu C je OC = 8,5; s týmito údajmi je možné určiť vzdialenosť jedného z homotetických bodov (OC ') s vedomím, že k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Po sledovaní segmenty vrcholy transformovaného polygónu má byť východiskové body a ich homotetická sú umiestnené na protiľahlých koncoch vzhľadom ku stredu:

referencie

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technický výkres: aktivity poznámkového bloku.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Afinita, homológia a homote.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineárna algebra a projektívna geometria. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Všeobecná matematika, pravdepodobnosť a štatistika.
5. Meserve, B.E. (2014). Základné pojmy geometrie. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Úvod do algebry. Reverte.