Faktorizačné metódy a príklady

faktorizácia je metóda, prostredníctvom ktorej sa polynóm vyjadruje vo forme násobenia faktorov, ktorými môžu byť čísla, písmená alebo oboje. Faktorizácia faktorov, ktoré sú spoločné pre termíny, sú zoskupené a týmto spôsobom sa polynóm rozkladá na niekoľko polynómov.

Keď sa teda faktory násobia navzájom, výsledkom je pôvodný polynóm. Factoring je veľmi užitočná metóda, keď máte algebraické výrazy, pretože môže byť premenená na násobenie niekoľkých jednoduchých výrazov; Napríklad: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Existujú prípady, v ktorých polynóm nie je možné započítať, pretože medzi jeho pojmami neexistuje spoločný faktor; teda tieto algebraické výrazy sú deliteľné iba medzi sebou a pomocou 1. Napríklad: x + y + z.

V algebraickom výraze je spoločným faktorom najväčší spoločný deliteľ termínov, ktoré ho tvoria.

index

• 1 Metódy faktoringu
  • 1.1 Faktoring podľa spoločného faktora
  • 1.2 Príklad 1
  • 1.3 Príklad 2
  • 1.4 Faktoring podľa zoskupení
  • 1.5
  • 1.6 Faktoring kontrolou
  • 1.7 Príklad 1
  • 1.8 Príklad 2
  • 1.9 Faktoring s pozoruhodnými výrobkami
  • 1.10 Príklad 1
  • 1.11 Príklad 2
  • 1.12 Príklad 3
  • 1.13 Faktoring s Ruffiniho pravidlom
  • 1.14 Príklad 1
• 2 Referencie

Metódy faktoringu

Existuje niekoľko faktoringových metód, ktoré sa uplatňujú v závislosti od prípadu. Niektoré z nich sú nasledovné:

Faktoring podľa spoločného faktora

V tejto metóde sú identifikované tie faktory, ktoré sú spoločné; to znamená tie, ktoré sa opakujú v zmysle výrazu. Potom sa použije distribučná vlastnosť, maximálny spoločný delič sa odstráni a faktorizácia sa dokončí.

Inými slovami, spoločný faktor vyjadrenia je identifikovaný a každý pojem je medzi nimi rozdelený; výsledné výrazy sa vynásobia najväčším spoločným faktorom na vyjadrenie faktorizácie.

Príklad 1

Faktor (b²x) + (b²y).

riešenie

Najprv je to spoločný faktor každého termínu, ktorý je v tomto prípade b², a potom sú pojmy rozdelené medzi spoločný faktor takto:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Faktorizácia je vyjadrená násobením spoločného faktora výslednými výrazmi:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Príklad 2

Faktorizácia (2a)²b³) + (3ab)²).

riešenie

V tomto prípade máme dva faktory, ktoré sa opakujú v každom termíne, ktoré sú "a" a "b", a ktoré sú zvýšené na moc. Aby sme ich zapísali, prvé dva pojmy sú rozdelené do ich dlhej podoby:

2_*na_*na_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Je možné pozorovať, že faktor "a" sa opakuje len raz v druhom termíne a faktor "b" sa v ňom opakuje dvakrát; takže v prvom termíne je iba 2, faktor "a" a "b"; zatiaľ čo v druhom funkčnom období sú len 3.

Preto píšeme časy, ktoré sa opakujú "a" a "b" a vynásobia faktormi, ktoré zostali z každého termínu, ako je vidieť na obrázku:

Faktorizácia podľa skupín

Keďže nie je vo všetkých prípadoch jednoznačne vyjadrený maximálny spoločný deliteľ polynómu, je potrebné vykonať ďalšie kroky, aby bolo možné polynóm prepísať a tým aj faktor.

Jedným z týchto krokov je zoskupiť pojmy polynómu do niekoľkých skupín a potom použiť metódu spoločného faktora.

Príklad 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

riešenie

Existujú 4 faktory, kde dva sú spoločné: v prvom termíne je to "c" av druhom je "d". Týmto spôsobom sú tieto dva pojmy zoskupené a oddelené:

(ac + bc) + (reklama + bd).

Teraz je možné aplikovať metódu spoločného faktoru, rozdeliť každý pojem podľa spoločného faktora a potom vynásobiť tento spoločný faktor výslednými výrazmi, ako je tento:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Teraz dostanete binomický, ktorý je spoločný pre oba termíny. Faktor je násobený zostávajúcimi faktormi; takto musíte:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktorizácia kontrolou

Táto metóda sa používa na faktorovanie kvadratických polynómov, tiež nazývaných trinomálie; to znamená tie, ktoré sú štruktúrované ako sekera² ± bx + c, kde hodnota „a“ sa líši od hodnoty 1. Táto metóda sa používa aj vtedy, keď má trojzložka formu x² ± bx + c a hodnota "a" = 1.

Príklad 1

Faktor x² + 5x + 6.

riešenie

Máte kvadratický trojzložkový tvar x² ± bx + c. Aby ste ho mohli najprv spočítať, musíte nájsť dve čísla, ktoré, keď sú vynásobené, dávajú ako výsledok hodnotu "c" (to znamená 6) a že jej súčet sa rovná koeficientu "b", ktorý je 5. Tieto čísla sú 2 a 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Týmto spôsobom je výraz takto zjednodušený:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Každý termín je zahrnutý:

- Pre (x² + 2x) je extrahovaný spoločný výraz: x (x + 2)

- Pre (3x + 6) = 3 (x + 2)

Výraz teda zostáva:

x (x +2) + 3 (x +2).

Keďže máte spoločný binomický, na zníženie výrazu vynásobte ho nadbytočnými podmienkami a musíte:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Príklad 2

Faktor 4a² + 12a + 9 = 0.

riešenie

Máte kvadratický trojzložkový tvar sekery² ± bx + c a pre jej výpočet sa celý výraz vynásobí koeficientom x²; v tomto prípade 4.

4.² + 12a +9 = 0

4.² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16a² + 12a (4) + 36 = 0

4² na² + 12a (4) + 36 = 0

Teraz musíme nájsť dve čísla, ktoré, keď sa vynásobia, dávajú ako výsledok hodnotu "c" (čo je 36) a že keď sa sčítajú, výsledkom je koeficient výrazu "a", ktorý je 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Týmto spôsobom sa tento výraz prepíše s prihliadnutím na to² na² = 4a _* 4A. Vlastnosť distribúcie sa preto používa pre každé obdobie:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Nakoniec sa tento výraz vydelí koeficientom²; to znamená 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Výraz je nasledovný:

4.² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoring s pozoruhodnými produktmi

Existujú prípady, v ktorých sa plne faktorizuje polynómy s predchádzajúcimi metódami, stáva sa veľmi dlhým procesom.

Preto je možné vyvinúť výraz pomocou vzorcov pozoruhodných produktov, a tak sa tento proces stáva jednoduchším. Medzi najpoužívanejšie produkty patria:

- Rozdiel dvoch štvorcov: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Dokonalý štvorec súčtu: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Dokonalý štvorec rozdielu: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Rozdiel dvoch kociek: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Súčet dvoch kociek: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Príklad 1

Faktor (5). \ T² - x²)

riešenie

V tomto prípade je rozdiel dvoch štvorcov; preto sa používa vzorec pozoruhodného produktu:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Príklad 2

Faktor 16x² + 40x + 25²

riešenie

V tomto prípade máme dokonalý štvorec súčtu, pretože môžeme identifikovať dva výrazy štvorcové, a zostávajúci termín je výsledkom vynásobenia druhej odmocninou prvého výrazu druhou odmocninou druhého termínu.

na² + 2ab + b² = (a + b)²

Na výpočet sa vypočítajú iba odmocniny prvého a tretieho výrazu:

√ (16x²) = 4x

25 (25. \ T²) = 5.

Potom sú dva výsledné výrazy oddelené znamienkom operácie a celý polynóm je štvorcový:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Príklad 3

Faktor 27a³ - b³

riešenie

Expresia predstavuje odčítanie, pri ktorom sa na kocku zvýšia dva faktory. Na ich výpočet sa použije vzorec pozoruhodného produktu rozdielu kocky, ktorý je:

na³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Takže, aby sme faktorizovali, kubický koreň každého výrazu binomického je extrahovaný a vynásobený štvorcom prvého výrazu plus súčinom prvého podľa druhého výrazu plus druhý výraz štvorca..

27th³ - b³

³√ (27a³) = 3a

√ (-b³) = -b

27th³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27th³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Faktoring s Ruffiniho pravidlom

Táto metóda sa používa, keď máte polynóm stupňa väčší ako dva, aby sa zjednodušil výraz na niekoľko polynómov menšieho stupňa.

Príklad 1

Faktor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

riešenie

Najprv sa pozrite na čísla, ktoré sú deliteľmi 12, čo je nezávislý pojem; tieto hodnoty sú ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 a ± 12.

Potom sa x nahradí týmito hodnotami, od najnižšej po najvyššiu, a teda sa určí, s ktorou z hodnôt bude rozdelenie presné; to znamená, že zvyšok musí byť 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 ods.² + 4 (2) + 12 = 0.

A tak ďalej pre každého deliča. V tomto prípade sú zistené faktory pre x = -1 a x = 2.

Teraz je použitá Ruffiniho metóda, podľa ktorej budú koeficienty výrazu rozdelené medzi faktory, ktoré boli pre divíziu presné. Termíny polynómu sú usporiadané od najvyššieho k najnižšiemu exponentu; v prípade, že chýba termín s nasledujúcim stupňom v poradí, je na jeho miesto umiestnená 0.

Koeficienty sú umiestnené v schéme, ako je vidieť na nasledujúcom obrázku.

Prvý koeficient sa zníži a násobí deliteľom. V tomto prípade je prvý deliteľ -1 a výsledok je umiestnený v nasledujúcom stĺpci. Potom sa hodnota koeficientu pridá vertikálne s týmto výsledkom, ktorý sa získal a výsledok sa umiestni nižšie. Týmto spôsobom sa proces opakuje až do posledného stĺpca.

Potom sa ten istý postup opakuje znova, ale s druhým deliteľom (čo je 2), pretože výraz sa môže ešte zjednodušiť.

Takže pre každý získaný koreň bude mať polynóm termín (x - a), kde "a" je hodnota koreňa:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Na druhej strane, tieto termíny musia byť vynásobené zvyškom Ruffiniho pravidla 1: 1 a -6, čo sú faktory, ktoré predstavujú stupeň. Takto vytvorený výraz je: (x² + x - 6).

Získanie výsledku faktorizácie polynómu metódou Ruffini je:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Na ukončenie možno polynóm stupňa 2, ktorý sa objaví v predchádzajúcom výraze, prepísať ako (x + 3) (x-2). Konečná faktorizácia je preto:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

referencie

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Ako učiť deti o faktoringu na Polynomial.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Základná matematika s aplikáciami.
4. Roelse, P. L. (1997). Lineárne metódy pre polynomiálnu faktorizáciu v konečných poliach: teória a implementácie. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Prstene a faktorizácia.