Polynomiálne rovnice (s riešenými úlohami)

polynomiálne rovnice sú vyjadrením, ktoré zvyšuje rovnosť dvoch výrazov alebo členov, pričom aspoň jeden z termínov, ktoré tvoria každú stranu rovnosti, sú polynómy P (x). Tieto rovnice sú pomenované podľa stupňa ich premenných.

Všeobecne platí, že rovnica je vyhlásenie, ktoré stanovuje rovnosť dvoch výrazov, kde aspoň v jednom z nich sú neznáme množstvá, ktoré sa nazývajú premenné alebo neznámy. Hoci existuje mnoho typov rovníc, sú všeobecne klasifikované do dvoch typov: algebraické a transcendentné.

Polynomiálne rovnice obsahujú iba algebraické výrazy, ktoré môžu mať v rovnici jeden alebo viac neznámych. Podľa exponenta (stupňa), ktoré majú, možno klasifikovať do: prvého stupňa (lineárneho), druhého stupňa (kvadratického), tretieho stupňa (kubického), štvrtého stupňa (kvartického), väčšieho alebo rovného päť a iracionálneho.

index

• 1 Charakteristiky
• 2 Typy
  • 2.1 Prvý stupeň
  • 2.2 Druhý stupeň
  • 2.3 Resolver
  • 2.4 Vyšší stupeň
• 3 Riešené úlohy
  • 3.1 Prvé cvičenie
  • 3.2 Druhé cvičenie
• 4 Odkazy

rysy

Polynomiálne rovnice sú výrazy, ktoré sú tvorené rovnosťou medzi dvoma polynómami; tj konečnými súčtmi násobkov medzi hodnotami, ktoré sú neznáme (premenné) a pevnými číslami (koeficientmi), kde premenné môžu mať exponenty a ich hodnota môže byť kladné celé číslo, vrátane nula.

Exponenty určujú stupeň alebo typ rovnice. Tento výraz výrazu, ktorý má exponent najvyššej hodnoty, bude reprezentovať absolútny stupeň polynómu.

Polynomiálne rovnice sú tiež známe ako algebraické rovnice, ich koeficienty môžu byť reálne alebo komplexné čísla a premenné sú neznáme čísla reprezentované písmenom, napríklad: „x“.

Ak nahradenie hodnoty premennej "x" v P (x), výsledok sa rovná nule (0), potom sa hovorí, že táto hodnota spĺňa rovnicu (je to riešenie) a vo všeobecnosti sa nazýva koreň polynómu.

Keď sa vyvinie polynómová rovnica, chcete nájsť všetky korene alebo riešenia.

typ

Existuje niekoľko typov polynomiálnych rovníc, ktoré sú diferencované podľa počtu premenných a tiež podľa stupňa exponentu.

Takže polynómové rovnice, kde prvý termín je polynóm s iba jedným neznámym, pričom sa predpokladá, že jeho stupeň môže byť akékoľvek prirodzené číslo (n) a druhý výraz je nula-, môže byť vyjadrený takto:

na_{n *} xⁿ + na_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + na_{0 *} x₀ = 0

kde:

- na_n, na_n-1 a₀, sú to reálne koeficienty (čísla).

- na_n líši sa od nuly.

- Exponent n je kladné celé číslo, ktoré predstavuje stupeň rovnice.

- x je premenná alebo neznáma, ktorú je potrebné hľadať.

Absolútny alebo väčší stupeň polynomiálnej rovnice je taký exponent, ktorý má väčšiu hodnotu medzi všetkými tými, ktoré tvoria polynóm; takto sú rovnice klasifikované ako:

Prvá trieda

Polynomiálne rovnice prvého stupňa, tiež známe ako lineárne rovnice, sú tie, v ktorých je stupeň (najväčší exponent) rovný 1, polynóm je vo forme P (x) = 0; a skladá sa z lineárneho a nezávislého pojmu. Je napísané takto:

ax + b = 0.

kde:

- a a b sú reálne čísla a a ≠ 0.

- ax je lineárny výraz.

- b je nezávislý pojem.

Napríklad rovnica 13x - 18 = 4x.

Na riešenie lineárnych rovníc musia byť všetky výrazy, ktoré obsahujú neznáme x, odovzdané na jednu stranu rovnosti a tie, ktoré nie sú, sa presunú na druhú stranu, aby sa vyčistili a získali riešenie:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ° 9

x = 2.

Týmto spôsobom má daná rovnica jedno riešenie alebo koreň, čo je x = 2.

Druhá trieda

Polynomiálne rovnice druhého stupňa, známe tiež ako kvadratické rovnice, sú tie, v ktorých je stupeň (najväčší exponent) rovný 2, polynóm je tvaru P (x) = 0 a skladá sa z kvadratického výrazu , jeden lineárny a jeden nezávislý. Vyjadruje sa takto:

sekera² + bx + c = 0.

kde:

- a, b a c sú reálne čísla a a ≠ 0.

- sekera² je kvadratický výraz a "a" je koeficient kvadratického výrazu.

- bx je lineárny pojem a "b" je koeficient lineárneho výrazu.

- c je nezávislý pojem.

resolvente

Všeobecne platí, že riešenie tohto typu rovníc je dané zúčtovaním x z rovnice a je ponechané takto, čo sa nazýva resolver:

Tam, (b² - 4ac) sa nazýva diskriminant rovnice a tento výraz určuje počet riešení, ktoré môže mať rovnica:

- Áno (b² - 4ac) = 0, rovnica bude mať jedno riešenie, ktoré je dvojité; to znamená, že budete mať dve rovnaké riešenia.

- Áno (b² - 4ac)> 0, rovnica bude mať dve rôzne reálne riešenia.

- Áno (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Napríklad máte rovnicu 4x² + 10x - 6 = 0, aby ste ju vyriešili, najprv identifikujte pojmy a, b a c, a potom ich vložte do vzorca:

a = 4

b = 10

c = -6.

Existujú prípady, v ktorých polynomiálne rovnice druhého stupňa nemajú tri termíny, a preto sa riešia odlišne:

- V prípade, že kvadratické rovnice nemajú lineárny výraz (tj b = 0), rovnica bude vyjadrená ako ax² + c = 0. Vyrieši sa x² a štvorcové odmocniny sa aplikujú v každom členovi, pričom si uvedomujú, že dva možné znaky, ktoré môže neznáma mať, sú:

sekera² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Napríklad 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Ak kvadratická rovnica nemá nezávislý pojem (tj c = 0), rovnica bude vyjadrená ako ax² + bx = 0. Aby sme to vyriešili, musíme v prvom člene extrahovať spoločný faktor neznámej x; keďže rovnica sa rovná nule, je pravda, že aspoň jeden z faktorov bude rovný 0:

sekera² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Týmto spôsobom musíte:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Napríklad: máte rovnicu 5x² + 30x = 0. Prvý faktor:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Sú generované dva faktory, ktoré sú x a (5x + 30). Predpokladá sa, že jeden z nich bude rovný nule a druhé riešenie:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ° 5

x₂ = -6.

Hlavný stupeň

Polynomiálne rovnice väčšieho stupňa sú tie, ktoré idú od tretieho stupňa smerom dopredu, ktoré možno vyjadriť alebo vyriešiť pomocou všeobecnej polynómovej rovnice pre akýkoľvek stupeň:

na_{n *} xⁿ + na_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + na_{0 *} x₀ = 0

Toto sa používa preto, že rovnica s stupňom väčším ako dva je výsledkom faktorizácie polynómu; to znamená, že je vyjadrený ako násobenie polynómov stupňa jedna alebo viac, ale bez skutočných koreňov.

Riešenie tohto typu rovníc je priame, pretože násobenie dvoch faktorov sa rovná nule, ak ktorýkoľvek z faktorov je nulový (0); preto musí byť každá z nájdených polynomiálnych rovníc vyriešená, pričom každý z jej faktorov musí byť nulový.

Napríklad máte rovnicu tretieho stupňa (kubický) x³ + x² +4x + 4 = 0. Aby ste to vyriešili, musíte postupovať nasledovne:

- Termíny sú zoskupené:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Končatiny sú rozdelené tak, aby sa dosiahol spoločný faktor neznáma:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Týmto spôsobom sa získajú dva faktory, ktoré sa musia rovnať nule:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Je možné vidieť, že faktor (x² + 4) = 0 nebude mať reálne riešenie, zatiaľ čo faktor (x + 1) = 0 áno. Preto je riešením:

(x + 1) = 0

x = -1.

Vyriešené cvičenia

Vyriešte nasledujúce rovnice:

Prvé cvičenie

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

riešenie

V tomto prípade je rovnica vyjadrená ako násobenie polynómov; to znamená, že je faktická. Na jeho vyriešenie musí byť každý faktor rovný nule:

- 2x² + 5 = 0, nemá žiadne riešenie.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Daná rovnica má teda dve riešenia: x = 3 a x = -1.

Druhé cvičenie

x⁴ - 36 = 0.

riešenie

Dostal polynóm, ktorý sa dá prepísať ako rozdiel štvorcov, aby sa dosiahlo rýchlejšie riešenie. Rovnica teda zostáva:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Ak chcete nájsť riešenie rovníc, oba faktory sa rovnajú nule:

(x² + 6) = 0, nemá žiadne riešenie.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Počiatočná rovnica má teda dve riešenia:

x = √6.

x = - √6.

referencie

1. Andres, T. (2010). Matematická olympiáda Tresure. Springer. New York.
2. Angel, A. R. (2007). Elementárna algebra Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineárna algebra a projektívna geometria. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultúra.
5. Castaño, H. F. (2005). Matematika pred výpočtom. Univerzita Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Matematický manuál pre olympijskú prípravu. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superior Algebra I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematika 3.