Koľko riešení má kvadratická rovnica?

Kvadratická rovnica alebo rovnica druhého stupňa môže mať nula, jedno alebo dve reálne riešenia, v závislosti od koeficientov, ktoré sa objavujú v uvedenej rovnici.

Ak pracujete na zložitých číslach, potom môžete povedať, že každá kvadratická rovnica má dve riešenia.

Na spustenie kvadratickej rovnice je rovnica tvaru ax² + bx + c = 0, kde a, b a c sú reálne čísla a x je premenná.

Hovorí sa, že x1 je riešením predchádzajúcej kvadratickej rovnice, ak nahradenie x za x1 spĺňa rovnicu, tj ak a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Ak máte napríklad rovnicu x²-4x + 4 = 0, potom x1 = 2 je riešenie, pretože (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Naopak, ak je x2 = 0 nahradené, dostaneme (0) ²-4 (0) + 4 = 4 a ako 4 ≠ 0 potom x2 = 0 nie je riešením kvadratickej rovnice.

Riešenia kvadratickej rovnice

Počet riešení kvadratickej rovnice možno rozdeliť na dva prípady, ktorými sú:

1.- V reálnych číslach

Pri práci s reálnymi číslami môžu mať kvadratické rovnice:

-Nulové riešenia: to znamená, že neexistuje žiadne reálne číslo, ktoré by vyhovovalo kvadratickej rovnici. Napríklad rovnica daná rovnicou x² + 1 = 0, neexistuje žiadne reálne číslo, ktoré by spĺňalo túto rovnicu, pretože obe x² sú väčšie alebo rovné nule a 1 je väčšia ako nula, takže jej súčet bude väčší prísne, že nula.

-Opakovaný roztok: existuje jedna reálna hodnota, ktorá spĺňa kvadratickú rovnicu. Napríklad jediné riešenie rovnice x²-4x + 4 = 0 je x1 = 2.

-Dve rôzne riešenia: existujú dve hodnoty, ktoré spĺňajú kvadratickú rovnicu. Napríklad x2 + x-2 = 0 má dve rôzne riešenia, ktoré sú x1 = 1 a x2 = -2.

2.- V zložitých číslach

Pri práci s komplexnými číslami majú kvadratické rovnice vždy dve riešenia, ktorými sú z1 a z2, kde z2 je konjugát z1. Okrem toho môžu byť zaradené do: \ t

-komplex: riešenia sú vo forme z = p ± qi, kde p a q sú reálne čísla. Tento prípad zodpovedá prvému prípadu predchádzajúceho zoznamu.

-Čisté komplexy: Ak je skutočná časť riešenia rovná nule, to znamená, že riešenie má formu z = ± qi, kde q je reálne číslo. Tento prípad zodpovedá prvému prípadu predchádzajúceho zoznamu.

-Komplexy s imaginárnou časťou rovnou nule: je, keď je komplexná časť riešenia rovná nule, to znamená, že riešenie je reálne číslo. Tento prípad zodpovedá posledným dvom prípadom predchádzajúceho zoznamu.

Ako sa vypočítavajú riešenia kvadratickej rovnice??

Na výpočet riešení kvadratickej rovnice sa používa vzorec známy ako "resolver", ktorý hovorí, že riešenia rovnice ax² + bx + c = 0 sú dané výrazom nasledujúceho obrazu:

Množstvo, ktoré sa objaví vo vnútri druhej odmocniny, sa nazýva diskriminátor kvadratickej rovnice a označuje sa písmenom „d“.

Kvadratická rovnica bude mať:

-Dve reálne riešenia, ak a len vtedy, ak d> 0.

-Reálne riešenie sa opakuje, ak a len vtedy, ak d = 0.

-Nulové reálne riešenia (alebo dve komplexné riešenia), ak a len vtedy, ak d<0.

Príklady:

-Riešenia rovnice x² + x-2 = 0 sú dané:

-Rovnica x²-4x + 4 = 0 má opakované riešenie, ktoré je dané:

-Riešenia rovnice x² + 1 = 0 sú dané:

Ako vidíte v tomto poslednom príklade, x2 je konjugát x1.

referencie

1. Zdroje, A. (2016). ZÁKLADNÉ MATEMATIKA. Úvod do výpočtu. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematika pre správu a ekonomiku. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. prah.
5. Preciado, C. T. (2005). Matematický kurz 3o. Editorial Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra I je ľahké! Tak ľahké. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometria. Pearson Education.