Zdieľam:
Ako vypočítať boky a uhly trojuholníka?
Existujú rôzne spôsoby vypočítať strany a uhly trojuholníka. Závisia od typu trojuholníka, s ktorým pracujete.
V tejto príležitosti ukážeme, ako vypočítať strany a uhly pravouhlého trojuholníka, za predpokladu, že určité údaje trojuholníka so známymi.
Prvky, ktoré budú použité, sú:
- Pythagorova veta
Vzhľadom k tomu, pravý trojuholník s nohami "a", "b" a prepona "c", je pravda, že "c² = a² + b²".
- Plocha trojuholníka
Vzorec pre výpočet plochy akéhokoľvek trojuholníka je A = (b × h) / 2, kde "b" je dĺžka základne a "h" dĺžka výšky..
- Uhly trojuholníka
Súčet troch vnútorných uhlov trojuholníka je 180 °.
- Trigonometrické funkcie:
Zvážte pravouhlý trojuholník. Potom sú sínusové, kosínusové a tangenciálne trigonometrické funkcie uhla beta (β) definované nasledovne:
sin (β) = CO / Hip, cos (β) = CA / Hip a tan (β) = CO / CA.
Ako vypočítať strany a uhly pravouhlého trojuholníka?
Vzhľadom na pravouhlý trojuholník ABC sa môžu vyskytnúť tieto situácie:
1 - obe nohy sú známe
Ak katéter "a" meria 3 cm a katéter "b" meria 4 cm, potom sa na výpočet hodnoty "c" používa Pytagorova veta. Pri nahradení hodnôt "a" a "b" sa získa, že c² = 25 cm², čo znamená, že c = 5 cm.
Ak je uhol β oproti katétru „b“, potom sin (β) = 4/5. Pri použití inverznej funkcie sínus, v tejto poslednej rovnosti získame, že β = 53,13º. Dva vnútorné uhly trojuholníka sú už známe.
Nech θ je uhol, ktorý zostáva známy, potom 90 ° + 53,13º + θ = 180º, z ktorého dostaneme θ = 36,87º.
V tomto prípade nie je nutné, aby známe strany boli dve nohy, dôležité je poznať hodnotu ktorejkoľvek z dvoch strán.
2- Katéter a oblasť je známa
Nech a = 3 cm známa noha a A = 9 cm² plocha trojuholníka.
V pravom trojuholníku možno jednu nohu považovať za základňu a druhú ako výšku (pretože sú kolmé).
Predpokladajme, že "a" je báza, teda 9 = (3 × h) / 2, z ktorej sa získa, že druhý katéter meria 6 cm. Pri výpočte prepony postupujeme ako v predchádzajúcom prípade a získame, že c = √45 cm.
Teraz, ak je uhol β oproti nohe "a", potom sin (β) = 3 / √45. Pri zúčtovaní β dostaneme, že jeho hodnota je 26,57º. Zostáva len poznať hodnotu tretieho uhla θ.
Je splnené, že 90º + 26,57º + θ = 180º, z ktorého sa usudzuje, že θ = 63,43º.
3 - Uhol a noha sú známe
Nech β = 45 ° je známy uhol a a = 3 cm známa noha, kde noha "a" je oproti uhlu β. Pomocou vzorca tangenta získame tg (45º) = 3 / CA, z ktorého sa ukazuje, že CA = 3 cm.
Pomocou Pythagorovej teorémy získame, že c² = 18 cm², to znamená c = 3√2 cm.
Je známe, že uhol meria 90 ° a že β meria 45 °, z čoho vyplýva, že tretí uhol meria 45 °.
V tomto prípade nemusí byť známa strana noha, môže to byť ktorákoľvek z troch strán trojuholníka.
referencie
- Landaverde, F. d. (1997). geometria (Reprint ed.). pokrok.
- Leake, D. (2006). trojuholníky (znázornené na obr.). Heinemann-Raintree.
- Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). geometria. Technológia CR.
- Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometria a analytická geometria. Pearson Education.