Zdieľam:
Sarrus pravidlo v tom, čo sa skladá a typy determinantov
Sarrusove pravidlo používa sa na výpočet výsledku determinantov 3 × 3. Používajú sa na riešenie lineárnych rovníc a poznajú, či sú kompatibilné.
Kompatibilné systémy vám umožňujú ľahšie získať riešenie. Používajú sa tiež na určenie, či sú sady vektorov lineárne nezávislé a tvoria základ vektorového priestoru.
Tieto aplikácie sú založené na invertovateľnosti matríc. Ak je matica pravidelná, jej determinant je odlišný od 0. Ak je singulárny, jeho determinantom je 0. Determinanty sa dajú vypočítať len v štvorcových maticiach.
Na výpočet matíc ľubovoľného rádu je možné použiť Laplaceovu vetu. Táto veta nám umožňuje zjednodušiť matice vysokých rozmerov v súčte malých determinantov, ktoré sa rozkladajú z hlavnej matice.
Potvrdzuje, že determinant matice sa rovná súčtu produktov každého riadku alebo stĺpca determinantom jeho pripojenej matice..
Toto je redukcia determinantov tak, že determinant stupňa n sa stáva n determinantmi n-1. Ak toto pravidlo aplikujeme postupne, môžeme získať determinanty rozmeru 2 (2 × 2) alebo 3 (3 × 3), kde je oveľa ľahšie vypočítať.
Pravidlo Sarrus
Pierre Frederic Sarrus bol francúzsky matematik 19. storočia. Väčšina jeho matematických prác je založená na metódach riešenia rovníc a výpočte variácií v rámci numerických rovníc.
V jednom zo svojich spisov vyriešil jednu z najzložitejších záhad mechaniky. Na riešenie problémov kĺbových častí Sarrus zaviedol transformáciu alternatívnych priamočiarych pohybov v rovnomerných kruhových pohyboch. Tento nový systém je známy ako Sarrusov mechanizmus.
Najznámejším výskumom, ktorý dal tomuto matematikovi, bol nový spôsob výpočtu determinantov v článku „Nouvelles méthodes pour la résolution des équations“ (Nová metóda riešenia rovníc), ktorý bol publikovaný v Tento spôsob riešenia lineárnych rovníc je známy ako Sarrusove pravidlo.
Pravidlo Sarrus umožňuje vypočítať determinant matice 3 × 3, bez toho, aby bolo potrebné používať Laplaceovu vetu, zavádzajúc oveľa jednoduchšiu a intuitívnejšiu metódu. Aby sme mohli kontrolovať hodnotu Sarrusovho pravidla, berieme akúkoľvek maticu rozmeru 3:
Výpočet jeho determinantu by bol vykonaný produktom jeho hlavných uhlopriečok, odčítaním produktu od inverzných uhlopriečok. To by bolo nasledovné:
Pravidlo Sarrus nám umožňuje získať oveľa jednoduchšie videnie pri výpočte uhlopriečok determinantu. Zjednodušilo by to pridaním prvých dvoch stĺpcov do zadnej časti matice. Týmto spôsobom môžete jasnejšie vidieť, ktoré sú vaše hlavné uhlopriečky a ktoré sú inverzné, pre výpočet produktu.
Prostredníctvom tohto obrazu môžeme vidieť aplikáciu Sarrusovho pravidla, do grafického znázornenia počiatočnej matice sme zaradili riadok 1 a 2. \ t Týmto spôsobom sú hlavnými uhlopriečkami tri uhlopriečky, ktoré sa objavujú na prvom mieste.
Tri obrátené uhlopriečky sú zase tie, ktoré sa objavujú ako prvé vzadu.
Týmto spôsobom sa uhlopriečky zobrazujú vizuálne, bez toho, aby to komplikovalo rozlíšenie determinantu a snažilo sa zistiť, ktoré prvky matice patria ku každej diagonále..
Ako sa objavuje na obrázku, vyberieme uhlopriečky a vypočítame výsledný produkt každej funkcie. Diagonály, ktoré sa objavujú v modrej farbe, sú tie, ktoré sa sčítajú. K súčtu týchto hodnôt odčítame hodnotu uhlopriečok, ktoré sa zobrazujú červenou farbou.
Na uľahčenie komprimácie môžeme použiť numerický príklad namiesto použitia algebraických výrazov a sub-termínov.
Ak vezmeme nejakú maticu 3 × 3, napríklad:
Na uplatnenie pravidla Sarrus a jeho riešenie vizuálnejším spôsobom by sme mali zahrnúť riadok 1 a 2, ako riadok 4 a 5. Je dôležité držať riadok 1 v 4. polohe a riadok 2 v 5. pozícii. Pretože ak ich vymeníme, Sarrusov zákon nebude účinný.
Pre výpočet determinantu by naša matica vyzerala takto:
Ak chcete pokračovať vo výpočte, vynásobíme prvky hlavných uhlopriečok. Zostávajúce tie, ktoré začínajú vľavo, budú mať pozitívne znamenie; zatiaľ čo spätné uhlopriečky, ktoré začínajú na pravej strane, nesú záporné znamienko.
V tomto príklade by modré smerovali s pozitívnym znamením a červené s negatívnym znamienkom. Výsledný výpočet Sarrusovho pravidla bude vyzerať takto:
Druhy determinantov
Determinant rozmeru 1
Ak je rozmer matice 1, matica má tento tvar: A = (a)
Preto by jeho determinantom bolo: det (A) = | A | = a
Stručne povedané, determinant matice A sa rovná absolútnej hodnote matice A, ktorá v tomto prípade je a.
Determinant rozmeru 2
Ak pôjdeme na matice rozmeru 2, dostaneme matice typu:
Ak je jeho determinant definovaný ako: \ t
Rozlíšenie tohto determinantu je založené na násobení jeho hlavnej uhlopriečky, odčítania produktu od jeho inverznej diagonály.
Ako pravidlo mnemoniky môžeme použiť nasledujúci diagram na zapamätanie si jeho determinant:
Determinant rozmeru 3
Ak je rozmer matice 3, výsledná matica bude tohto typu:
Determinant tejto matice by sa takto riešil pomocou Sarrusovho pravidla takto:
referencie
- Jenny Olive (1998) Matematika: Študentská príručka prežitia. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-sekundová matematika: 50 najrozšírenejších teórií mysle v matematike. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Awol Assen (2013) Štúdia výpočtu determinantov matice 3 × 3. Lap Lambert Academic Publishing.
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Pass Publikácia.
- Jesse Russell (2012) Pravidlo Sarrus.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Úvod do lineárnej algebry. Redakcia ESIC.