Zdieľam:
Čo je to Vektor a aké sú jeho vlastnosti?
vektor je to množstvo alebo jav, ktorý má dve nezávislé vlastnosti: veľkosť a smer. Termín tiež označuje matematické alebo geometrické znázornenie takéhoto množstva.
Príkladmi vektorov v prírode sú rýchlosť, sila, elektromagnetické polia a hmotnosť. Množstvo alebo jav, ktorý ukazuje len veľkosť, bez špecifického smeru, sa nazýva skalárny.
Príklady skalárov zahŕňajú rýchlosť, hmotnosť, elektrický odpor a kapacitu pevného disku.
Vektory môžu byť reprezentované graficky v dvoch alebo troch rozmeroch. Veľkosť je zobrazená ako dĺžka segmentu. Smer je znázornený orientáciou segmentu a šípkou na jednom konci.
Na obrázku vyššie sú znázornené tri vektory v dvojrozmerných pravouhlých súradniciach (karteziánska rovina) a ich ekvivalenty v polárnych súradniciach.
Vektory vo fyzike
Vo fyzike, keď máte vektor, musíte vziať do úvahy dve veličiny: smer a veľkosť. Množstvá, ktoré majú len jednu veľkosť, sa nazývajú skaláre. Ak je daný smer skalárnej veličiny, vytvorí sa vektor.
Vizuálne vidíte vektory nakreslené ako šípky, čo je dokonalé, pretože šípka má jasný smer a jasnú veľkosť (dĺžka šípky).
Na nasledujúcom obrázku šípka predstavuje vektor, ktorý začína na nohe šípky (tiež nazývanej chvost) a končí v hlave.
Vo fyzike sa tučné písmo zvyčajne používa na reprezentáciu vektora, aj keď na ňom môže byť znázornené aj písmeno so šípkou..
Šípka znamená, že to nie je len skalárna hodnota, ktorá by bola reprezentovaná A, ale aj niečo smerové.
Rozdiely medzi vektorom a skalármi
Hodnoty, ktoré nie sú vektory, sú skalárne. Napríklad takéto množstvo 500 jabĺk je skalárne, nemá adresu, je to len veľkosť. Čas je tiež skalárny, nemá žiadny smer.
Rýchlosť je však vektor, pretože špecifikuje nielen veľkosť (rýchlosť) trasy, ale aj smer (a smer) trasy..
Napríklad čiara pôsobenia vektora rýchlosti môže
30 ° od horizontály. Preto vieme, ktorým smerom sa objekt pohybuje.
To však ešte nešpecifikuje smer cesty, či už ide o odklon od nás, alebo sa k nám približuje. Preto tiež špecifikujeme smer, v ktorom vektor pôsobí šípkou.
Sila, zrýchlenie a prejdená vzdialenosť sú tiež vektory. Napríklad povedzme, že vozidlo sa pohybuje 10 metrov neznamená, ktorým smerom sa pohyboval. Pre úplné určenie pohybu je tiež potrebné určiť smer a smer pohybu.
Sila je tiež vektor, pretože ak vytiahnete objekt smerom k sebe, priblíži sa vám a ak ho odtlačíte. Takže sila má smer a zmysel, a preto je to vektor.
príklad
Ako príklady informácií, ktoré vektor poskytuje, máme nasledovné:
Hľadajte zlatú tašku
Predpokladajme, že učiteľ vám povie: "Vrecko zo zlata je mimo učebne, aby ste ho našli, pohybujte 20 metrov." Toto vyhlásenie vás určite zaujme, avšak vo vyhlásení nie je dostatok informácií na nájdenie zlatého vrecka.
Posunutie potrebné na nájdenie zlatého vrecka nebolo úplne opísané. Na druhej strane, predpokladajme, že vám učiteľ hovorí: "Vrecko zo zlata sa nachádza mimo učebne, aby sa zistilo, že sa pohybuje od stredu dverí triedy 20 metrov v smere 30 ° na západ od severu".
Toto vyhlásenie teraz poskytuje úplný opis vektora posunu, ktorý uvádza veľkosť (20 metrov) a smer (30 ° západne od severu) vzhľadom na referenčnú polohu alebo východiskovú polohu (stred dverí triedy). ).
Vektorové veličiny nie sú úplne popísané, pokiaľ nie je uvedená veľkosť ani smer.
Výtlak vozidla
Keď sa pohybujeme v aute, používame rôzne vektory. Tieto vektory sa objavujú zakaždým, keď zmeníme rýchlosť.
Keď zrýchľujeme predbiehať ďalšie auto, pridávame smerové a rýchlostné premenné, ktoré tvoria nový vektor.
Na druhej strane, ak chceme znížiť rýchlosť, odpočítavame vektory zodpovedajúce spomínanému spomaleniu.
V inom zmysle, keď zvrátime bez zmeny rýchlosti, zmeníme zmysel na vektor, ktorý vychádza z pohybu auta..
Otvorte dvere
Keď otvoríme dvere, použijeme niekoľko vektorov. Po prvé, musíme vytlačiť silu v danom smere, aby sme otočili gombík dverí, potom musíme tlačiť dvere v danom smere a vytlačiť silu..
Tieto hodnoty sily a smeru zodpovedajú vektorom, ktoré sa používajú na otvorenie dverí. Proces zatvárania dverí vytvorí nový vektor, v ktorom bude jeho hodnota záporná vo vzťahu k tej, ktorá bola pôvodne otvorená..
Premiestnite rámček
Keď chceme zatlačiť krabicu, ktorá je veľmi ťažká, musíme vyvinúť silu na jej bočný povrch. Táto sila musí pôsobiť v jednom smere, aby sa box mohol pohybovať.
V tomto prípade bude vektor vychádzať z kombinácie sily a smeru, ktorý sa použije na pohyb krabice.
V prípade, že sila nie je použitá na stlačenie boxu, ale na jeho vertikálne zdvihnutie, objaví sa nový vektor.
Tento vektor sa bude skladať zo zvislej osi, na ktorej je skrinka zdvihnutá, a sily, ktorou sa zdvíha.
Presun šachovej dlaždice
Podobne ako v predchádzajúcom príklade, šachový čip sa môže pohybovať na povrchu stola - v danom smere a pri použití špecifickej sily - meniť svoju pozíciu na doske, vytvárať vektor.
To môže tiež byť zrušená z dosky, generovanie nového vektora vertikálne.
Stlačte tlačidlo
Botó bude stlačené len jedným smerom, daným systémom, ktorý obsahuje tlačidlo.
Ak chcete toto tlačidlo stlačiť, je potrebné aplikovať silu prstom. Výsledkom tohto pohybu bude vektor.
Zahrajte si biliard
Výsledkom zásahu do biliardovej gule s dreveným tágom je okamžite vektor, pretože má účinok dvoch veličín: sily a smeru.
Sila sa bude aplikovať na gulečník, aby sa pohybovala v určitom smere. Biliardová guľa na stole bude mať vopred stanovený zmysel, ktorý bude závisieť od rozhodnutia hráča.
Ťahanie autíčka
Keď dieťa vezme svoje autíčko a ťahá ho za lano, alebo ho jednoducho manipuluje rukami, bude generovať početné vektory.
Zakaždým, keď dieťa zmení rýchlosť alebo smer, v ktorom sa vozidlo pohybuje, vytvorí nový vektor.
Premenné vektora by v tomto prípade pozostávali z energie, ktorú dieťa aplikuje na vozidlo a zo smeru, ktorým sa chce pohybovať..
Reprezentácia vektorov
Vektorové veličiny sú často reprezentované zmenšenými vektorovými diagramami.
Vektorové diagramy predstavujú vektor pomocou šípky nakreslenej v mierke v špecifickom smere. Vhodný vektorový diagram by mal mať niekoľko charakteristík:
- Váha je jasne uvedená.
- Vektorová šípka je nakreslená (so šípkou) v špecifickom smere. Vektorová šípka má hlavu a chvost.
- Veľkosť a smer vektora je jasne označený.
Adresa vektora
Vektory môžu byť orientované na východ, na západ, na juh a na sever. Niektoré vektory sú však smerované na severovýchod (v uhle 45 °). Preto existuje jasná potreba identifikovať smer vektora, ktorý nezávisí od severu, juhu, východu alebo západu.
Existuje celý rad konvencií, ktoré opisujú smer každého vektora, avšak iba dva z nich budú vysvetlené nižšie.
1 - Smer vektora je často vyjadrený ako uhol natočenia vektora okolo jeho „chvosta“ na východ, západ, sever alebo juh.
Napríklad možno povedať, že vektor má adresu 40 ° severne od západu (čo znamená, že vektor smerujúci na západ bol otočený o 40 ° smerom na sever) alebo že má smer 65 °. na východ od juhu (čo znamená, že vektor smerujúci na juh sa otočil o 65 ° východne).
2 - Smer vektora je často vyjadrený ako uhol otáčania vektora proti smeru hodinových ručičiek. Pomocou tejto konvencie je vektor s 30 ° smerom vektorom, ktorý bol otočený o 30 ° v protismere hodinových ručičiek vzhľadom na východ..
Vektor so smerom 160 ° je vektor, ktorý bol otočený o 160 ° proti smeru hodinových ručičiek vzhľadom na východ. Vektor s smerom 270 ° je vektor, ktorý bol otočený o 270 ° proti smeru hodinových ručičiek vzhľadom na východ.
Veľkosť vektora
Veľkosť vektora v mierkovom vektorovom diagrame je reprezentovaná dĺžkou šípky. Šípka je nakreslená presnou dĺžkou podľa zvolenej mierky.
Napríklad, ak chcete nakresliť vektor, ktorý má veľkosť 20 metrov, môžete zvoliť ako mierku 1 cm = 5 metrov a nakresliť šípku s dĺžkou 4 cm..
Použitím rovnakej stupnice (1 cm = 5 m) bude vektor posunu 15 metrov reprezentovaný 3 cm dlhým vektorovým šípkom.
Rovnakým spôsobom je vektor posunu 25 metrov reprezentovaný šípkou s dĺžkou 5 cm. A nakoniec, vektor posunu 18 metrov je reprezentovaný šípkou dlhou 3,6 cm.
Ďalšie charakteristiky vektorov
rovnosťHovorí sa, že dva vektory sú rovnaké, ak majú rovnakú veľkosť a smer. Ekvivalentne budú rovnaké, ak ich súradnice budú rovnaké.
odpor: dva vektory sú opačné, ak majú rovnakú veľkosť, ale opačný smer.
Paralelos: dva vektory sú paralelné, ak majú rovnaký smer, ale nie nevyhnutne rovnakú veľkosť, alebo antiparalelné, ak majú opačný smer, ale nie nevyhnutne rovnakú veľkosť..
Vektorová jednotka: jednotkový vektor je akýkoľvek vektor s dĺžkou jedného.
Vektor nula: nulový vektor je vektor s nulovou dĺžkou. Na rozdiel od iných vektorov má svojvoľný alebo neurčitý smer a nemôže byť normalizovaný
referencie
- Jong IC, Rogers BG. Strojárska mechanika: statika (1991). Saunders College Publishing.
- Ito K. Encyklopedický slovník matematiky (1993). MIT Stlačte.
- Ivanov AB. Encyklopédia matematiky (2001). skokan.
- Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
- Lang S. Úvod do lineárnej algebry (1986). skokan.
- Niku S. Inžinierske zásady v každodennom živote pre neinžinierov (2016). Morgan & Claypool.
- Pedoe D. Geometry: komplexný kurz (1988). Dover.