3 Systémy lineárnych rovníc a ich riešenie

lineárne rovnice sú to polynomiálne rovnice s jedným alebo viacerými neznámymi. V tomto prípade nie je neznáma zvýšená na sily, ani nie je znásobená medzi sebou (v tomto prípade sa hovorí, že rovnica je stupňa 1 alebo prvého stupňa).

Rovnica je matematická rovnosť, kde existuje jeden alebo viac neznámych prvkov, ktoré budeme volať neznáme alebo neznáme v prípade, že existuje viac ako jedna. Na vyriešenie tejto rovnice je potrebné zistiť hodnotu neznámych.

Lineárna rovnica má nasledujúcu štruktúru:

na₀· 1 + a₁X₁+ na₂X₂+... + a_nX_n= b

Kde₀, na₁, na₂,..., a_n sú reálne čísla, o ktorých vieme ich hodnota a ktoré sa nazývajú koeficienty, b je tiež známe reálne číslo, ktoré sa nazýva nezávislý termín. A nakoniec sú to X₁, X_2,..., X_n ktoré sú známe ako neznáme. Toto sú premenné, ktorých hodnota nie je známa.

Systém lineárnych rovníc je súbor lineárnych rovníc, kde hodnota neznámych hodnôt je rovnaká v každej rovnici.

Logicky je spôsob, ako vyriešiť systém lineárnych rovníc, priradenie hodnôt neznámym, takže je možné overiť rovnosť. To znamená, že neznáme sa musia vypočítať tak, aby boli súčasne splnené všetky rovnice systému. Reprezentujeme sústavu lineárnych rovníc

na₀· 1 + a₁X₁ + na₂X₂ +... + a_nX_n = a_{n + 1}

b₀1 + b₁X₁ + b₂X₂ +... + b_nX_n = b_{n + 1}

C₀1 + c₁X₁ + C₂X₂ +... + c_nX_n = c_{n + 1}

... .

d₀1 + d₁X₁ + d₂X₂ +... + d_nX_n = d_{n + 1}

 kde a_0, na₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,C₀ ,C₁,..., c_n atď nám skutočné čísla a neznámy riešiť X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Každá lineárna rovnica predstavuje priamku, a preto systém rovníc N lineárnych rovníc predstavuje N rovný nakreslený v priestore.

V závislosti na počte neznámych, ktoré má každá lineárna rovnica, čiara, ktorá predstavuje uvedenú rovnicu, bude reprezentovaná v inej dimenzii, to znamená v rovnici s dvoma neznámymi (napríklad 2 · X₁ + X₂ = 0) predstavuje čiaru v dvojrozmernom priestore, rovnicu s tromi neznámymi (napríklad 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) by bol reprezentovaný v trojrozmernom priestore a tak ďalej.

Pri riešení sústavy rovníc sú hodnoty X₀,..., X_n ,X_{n + 1} medzi bodmi sú rezné body.

Riešením systému rovníc môžeme dosiahnuť rôzne závery. V závislosti od typu výsledku, ktorý získame, môžeme rozlišovať medzi 3 typmi systémov lineárnych rovníc:

1 - Neurčitá kompatibilita

Aj keď to môže znieť ako vtip, je možné, že keď sa pokúsite vyriešiť systém rovníc, dospejeme k zjavnosti štýlu 0 = 0.

Tento typ situácie nastáva, keď existujú nekonečné riešenia pre systém rovníc, a to nastáva, keď sa ukáže, že v našom systéme rovníc predstavujú rovnice tú istú čiaru. Môžeme to vidieť graficky:

Ako systém rovníc berieme:

Tým, že máme 2 rovnice s 2 neznámymi na vyriešenie, môžeme reprezentovať čiary v dvojrozmernej rovine

Ako môžeme vidieť čiary s tým istým, všetky body prvej rovnice sa zhodujú s bodmi druhej rovnice, preto má toľko bodov rezu, koľko bodov má čiara, to znamená nekonečno.

2- Nekompatibilné

Pri čítaní mena si vieme predstaviť, že náš ďalší systém rovníc nebude mať riešenie.

Ak sa napríklad pokúsime vyriešiť tento systém rovníc

Graficky by to bolo:

Ak vynásobíme všetky termíny druhej rovnice, zistíme, že X + Y = 1 sa rovná 2 · X + 2 · Y = 2. A ak je tento posledný výraz odpočítaný od prvej rovnice, dostaneme

2-X-2 X + 2 · Y-2 = Y = 3-2

Alebo čo je rovnaké

0 = 1

Keď sme v tejto situácii, znamená to, že čiary, ktoré sú reprezentované v systéme rovníc, sú paralelné, čo znamená, že podľa definície sa nikdy neporezú a nie je žiadny bod rezu. Keď je systém prezentovaný týmto spôsobom, hovorí sa, že je nekonzistentný nezávislý.

3- Určená podpora

Nakoniec sa dostávame k prípadu, v ktorom má náš systém rovníc jediné riešenie, v ktorom máme čiary, ktoré sa pretínajú a vytvárajú bod priesečníka. Pozrime sa na príklad:

Na jeho vyriešenie môžeme pridať dve rovnice, aby sme získali

(3 X-4 Y) + (2 X + 4 Y) = -6 + 16

Ak to zjednodušíme, opustili sme

5 X + 0 Y = 5 X = 10

Z toho ľahko odvodíme, že X = 2 a nahradenie alebo X = 2 v ktorejkoľvek z pôvodných rovníc získame Y = 3.

Vizuálne by to bolo:

Metódy riešenia sústav lineárnych rovníc

Ako sme videli v predchádzajúcej časti, pre systémy s 2 neznámymi a 2 rovnicami, založené na jednoduchých operáciách, ako je sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie a substitúcia, ich môžeme vyriešiť v priebehu niekoľkých minút. Ak sa však pokúsime aplikovať túto metodiku na systémy s viacerými rovnicami a viac neznámymi, výpočty sa stanú únavnými a my sa môžeme ľahko mýliť..

Na zjednodušenie výpočtov existuje niekoľko spôsobov riešenia, ale bezpochyby najrozšírenejšími metódami sú Cramerovo pravidlo a Elussancia Gauss-Jordánsko..

Cramerova metóda

Aby bolo možné vysvetliť, ako je táto metóda aplikovaná, je nevyhnutné vedieť, čo je jej matica a vedieť, ako nájsť jej determinantu..

matrice nie je to nič viac ako množina čísel alebo algebraických symbolov umiestnených v horizontálnych a vertikálnych líniách a usporiadaných vo forme obdĺžnika. Pre našu tému použijeme maticu ako zjednodušený spôsob vyjadrenia nášho systému rovníc.

Pozrime sa na príklad:

Bude to systém lineárnych rovníc

Tento jednoduchý systém rovníc, ktorý môžeme zhrnúť, je prevádzka dvoch matíc 2 × 2, čo vedie k matrici 2 × 1.

Prvá matica zodpovedá všetkým koeficientom, druhá matica je neznáma, ktorá sa má riešiť a matica umiestnená po rovnosti je identifikovaná s nezávislými pojmami rovníc.

determinant je operácia, ktorá je aplikovaná na maticu, ktorej výsledkom je reálne číslo.

V prípade matice, ktorú sme našli v našom predchádzajúcom príklade, by jej determinantom bolo:

Akonáhle sú definované pojmy matice a determinant, môžeme vysvetliť, čo pozostáva z Cramerovej metódy.

Touto metódou môžeme ľahko vyriešiť systém lineárnych rovníc, pokiaľ systém neprekročí tri rovnice s tromi neznámymi, pretože výpočet determinantov matice je pre matice 4 × 4 alebo vyšší veľmi zložitý. V prípade systému s viac ako tromi lineárnymi rovnicami sa odporúča metóda eliminácie Gauss-Jordan.

Pokračovanie s predchádzajúcim príkladom, pomocou Cramera jednoducho musíme vypočítať dva determinanty as ním nájdeme hodnotu našich dvoch neznámych.

Máme náš systém:

A máme systém reprezentovaný maticami:

Hodnota X sa nájde:

Jednoducho vo výpočte determinantu, ktorý sa nachádza v menovateli divízie, sme prvú obec nahradili maticou nezávislých výrazov. A v menovateli rozdelenia máme determinant našej pôvodnej matice.

Vykonaním rovnakých výpočtov nájdeme Y:

Eliminácia Gauss-Jordánsko

Definujeme rozšírená matica matice, ktorá vyplýva zo systému rovníc, kde na konci matice pridáme nezávislé výrazy.

Metóda odstránením Gauss-Jordán spočíva v operáciách medzi riadkami matice, že transformujeme našu rozšírenú maticu na oveľa jednoduchšiu maticu, kde mám nuly vo všetkých poliach okrem uhlopriečky, kde musím získať niektoré. Takto:

Kde X a Y by boli reálne čísla, ktoré zodpovedajú našim neznámym.

Tento systém vyriešime odstránením Gauss-Jordán:

Už sa nám podarilo získať nulu v ľavej dolnej časti našej matice, ďalším krokom je získať 0 v pravej hornej časti..

Dosiahli sme 0 v ľavom hornom rohu matice, teraz musíme len zmeniť uhlopriečku na tie a náš systém sme už vyriešili Gauss-Jordan.

Preto sme dospeli k záveru, že:

referencie

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Systémy lineárnych rovníc (bez dátumu). Získané z uco.es.
4. Systémy lineárnych rovníc. Kapitola 7. (nedatované). Získané z sauce.pntic.mec.es.
5. Lineárna algebra a geometria (2010/2011). Systémy lineárnych rovníc. Kapitola 1. Oddelenie algebry. Univerzita v Seville. Španielsko. Obnovené z algebra.us.es.